2022年度湖南省衡阳市衡东县东烟中学高二数学文测试题含解析

2022年度湖南省衡阳市衡东县东烟中学高二数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.点P是抛物线上一动点，则点P到点的距离与P到直线的距离和的最小值是（

）A. B. C.3 D.参考答案：D【分析】先求出焦点及准线方程，过P作PN垂直直线x＝﹣1，有|PN|＝|PF|，连接F、A，有|FA|≤|PA|+|PF|，从而只求|FA|即可．【详解】由y2＝4x得p＝2，1，所以焦点为F（1，0），准线x＝﹣1，过P作PN垂直直线x＝﹣1，根据抛物线的定义，抛物线上一点到准线的距离等于到焦点的距离，所以有|PN|＝|PF|，连接F、A，有|FA|≤|PA|+|PF|，所以P为AF与抛物线的交点，点P到点A（0，﹣1）的距离与点P到直线x＝﹣1的距离之和的最小值为|FA|，所以点P到点的距离与P到直线的距离和的最小值是.故选D．【点睛】本题考查抛物线的定义及简单性质，考查数形结合思想，属中档题．2.某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数的茎叶图如图所示，则下列结论错误的一个是（）A．甲的极差是29 B．甲的中位数是25C．乙的众数是21 D．甲的平均数比乙的大参考答案：B【考点】茎叶图．【分析】通过茎叶图找出甲的最大值及最小值求出极差判断出A正确；找出甲中间的两个数，求出这两个数的平均数即数据的中位数，判断出B错误，根据众数的定义判断C正确；根据图的集中于离散程度，判断出甲的平均值比乙的平均值大，判断出D正确；【解答】解：由茎叶图知，甲的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为29，A正确；甲中间的两个数为22，24，所以甲的中位数为×（22+24）=23，B错误；乙的数据中出现次数最多的是21，所以众数是21，C正确；甲命中个数集中在20以上，乙命中个数集中在10和20之间，所以甲的平均数大，D正确．故选：B．3.抛物线上的两点、到焦点的距离之和是，则线段的中点到轴的距离是（）

A．B．C．D．参考答案：A4.已知向量,则的充要条件是（）

参考答案：A略5.已知等差数列{an}的公差d不为0，等比数列{bn}的公比q是小于1的正有理数．若a1=d，b1=d2，且是正整数，则q等于（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】数列的应用．【分析】确定的表达式，利用是正整数，q是小于1的正有理数，即可求得结论．【解答】解：根据题意：a2=a1+d=2d，a3=a1+2d=3d，b2=b1q=d2q，b3=b1q2=d2q2∴=∵是正整数，q是小于1的正有理数．令=t，t是正整数，则有q2+q+1=∴q=对t赋值，验证知，当t=8时，有q=符合题意故选C．6.若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．2 B．3 C．6 D．8参考答案：C【考点】椭圆的标准方程；平面向量数量积的含义与物理意义．【专题】综合题；压轴题．【分析】先求出左焦点坐标F，设P（x0，y0），根据P（x0，y0）在椭圆上可得到x0、y0的关系式，表示出向量、，根据数量积的运算将x0、y0的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x0，y0），则有，解得，因为，，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2，因为﹣2≤x0≤2，所以当x0=2时，取得最大值，故选C．【点评】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力．7.已知椭圆的一个焦点为F（0，1），离心率，则该椭圆的标准程为(

)A． B． C． D．参考答案：A【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意得，椭圆的焦点在y轴上，且c=1，e==，从而可得a=2，b=，从而写出椭圆的标准方程．【解答】解：由题意得，椭圆的焦点在y轴上，且c=1，e==，故a=2，b=，则椭圆的标准方程为，故选A．【点评】本题考查了椭圆的标准方程的求法，属于基础题．8.等比数列中，,,,则（

）

A

B

C7

D6参考答案：D9.设是三个内角所对应的边，且，那么直线与直线的位置关系A.平行

B.垂直

C.相交但不垂直

D.重合参考答案：B略10.等差数列的前项和为，

A．36

B．18

C．72

D．9

参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线及直线0截圆C所得的弦长均为10，则圆C的面积是__________。参考答案： 12.下列命题中_________为真命题．①“A∩B=A”成立的必要条件是“AB”；②“若x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题；③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．参考答案：②④13.设，，且，则

.参考答案：

略14.已知双曲线的离心率为2，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点，点P为线段MN上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为则______．参考答案：4【分析】由离心率公式可得a、b、c的关系，设出的方程，以及点，运用向量数量积的坐标表示及两点间距离公式，可得取最值时P的位置，由三角形的面积公式，可得答案.【详解】解：离心率为，即，，可得的方程为，设，可得由表示原点与的距离的平方，显然垂直于时，最小，由，即，联立直线，可得，即，当与重合时，可得的距离最大，可得即有故答案为：4．【点睛】本题考察双曲线的性质，考察推理论证和运算求解能力，属于中档题型.15.已知函数，若成立，则＝______参考答案：

14,

15,1

16，16.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论： ① ②AB与CM所成的角为600③EF与MN是异面直线 ④以上四个命题中，正确命题的序号是_______.参考答案：1,3略17.过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】把x=﹣c代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据∠F1PF2=60°推断出=整理得e2+2e﹣=0，进而求得椭圆的离心率e．【解答】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），∵∠F1PF2=60°，∴=，即2ac=b2=（a2﹣c2）．∴e2+2e﹣=0，∴e=或e=﹣（舍去）．故答案为：．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力，属基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知在全部人中随机抽取人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；（2）能否认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；(参考公式：，其中)参考答案：解：(1)列联表补充如下：

(4分）（2）∵

（10分）∴有99%以上的把握认为喜爱打篮球与性别有关.

（12分）

略19.（本小题满分12分）已知过点且斜率为的直线与圆C：相交于两点。（1）求实数的取值范围；（2）若O为坐标原点，且,求直线的方程.参考答案：（本小题满分10分）已知过点且斜率为的直线与圆C：相交于两点。（1）求实数的取值范围；（2）若O为坐标原点，且，求直线的方程.解：（1）设过点的直线方程：，即：。………2分已知，圆C的圆心C：（2,3），半径R=1。故，解得：，。Ks5u此时，当时，过点的直线与圆C：相交于两点。

……………4分（2）设圆C上两点,,经过M、N、A的直线方程：，（，），圆C:。由已知条件，可列：，

……………①，

……………②，

……………③，

……………④①

-②：，即：

……………⑤由④和⑤得，，

……………⑥解之为，，。恰好为（2，3），即为圆心C。

……………8分故，直线的方程为:，写成一般式为：。……………10分略20.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=5，cosB=． （1）求b的值； （2）求sinC的值． 参考答案：【考点】正弦定理；余弦定理． 【专题】解三角形． 【分析】（1）由余弦定理代入数据计算可得；（2）由cosB=可得sinB=，由正弦定理=，代值计算即可． 【解答】解：（1）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB， 代入数据可得b2=4+25﹣2×2×5×=17， ∴b=； （2）∵cosB=，∴sinB== 由正弦定理=，即=， 解得sinC= 【点评】本题考查正余弦定理的简单应用，属基础题． 21.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点A（，﹣）．（1）求椭圆的方程；（2）已知y=kx+1，是否存在k使得点A关于l的对称点B（不同于点A）在椭圆C上？若存在求出此时直线l的方程，若不存在说明理由．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由已知，焦距为2c=2，解得c=．又在椭圆C上，=1，又a2=b2+c2，联立解得a2，b2．（2）当k=0时，直线l：y=1，点不在椭圆上；当k≠0时，可设直线，即，代入椭圆方程整理得（4k2+12）y2+4k（k﹣3）y+（k﹣3）2﹣12=0，若点A与点B关于l的对称，则其中点在直线y=kx+1上，解得k，进而判断出结论．【解答】解：（1）由已知，焦距为2c=2，解得c=．又在椭圆C上，∴=1，又a2=b2+c2，联立解得a2=3，b2=1．故所求椭圆的方程为：=1．…（2）当k=0时，直线l：y=1，点不在椭圆上；…当k≠0时，可设直线，即，代入椭圆方程整理得（4k2+12）y2+4k（k﹣3）y+（k﹣3）2﹣12=0，∵，∴，…若点A与点B关于l的对称，则其中点在直线y=kx+1上，∴，解得k=﹣1．因为此时点在直线y=﹣x+1上，…所以对称点B与点A重合，不合题意所以不存在y2=4x满足条件…22.(本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准,用水量不超过的部分按照平价收费，超过的部分按照议价收费).为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量(单位:)，制作了频率分布直方图.(1)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；(2)用样本估计总体，如果希望80%的居民每月的用水量不超出标准,则月均用水量的最低标准定为多少吨，请说明理由；