江西省萍乡市黄冈学校2021-2022学年高三数学理期末试题含解析

江西省萍乡市黄冈学校2021-2022学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是A．

B．或

C．

D．参考答案：B略2.已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在半径为1的球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，PC为球O的直径，则该三棱锥的底面ABC上的高为（）A． B． C． D．参考答案：【考点】球内接多面体．【专题】综合题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】根据题意，利用截面圆的性质即可求出点O到平面ABC的距离，进而求出点P到平面ABC的距离．【解答】解：因为△ABC是边长为1的正三角形，所以△ABC外接圆的半径r=，所以点O到平面ABC的距离d=，PC为球O的直径，点P到平面ABC的距离为2d=，故选：D．【点评】本题考查三棱锥的底面ABC上的高，考查学生的计算能力，求出点O到平面ABC的距离，进而求出点P到平面ABC的距离是关键．3.已知两个不共线向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，则下列说法不正确

的是A．(a＋b)⊥(a－b)

B．a与b的夹角等于α－βC．|a＋b|＋|a－b|>2

D．a与b在a＋b方向上的投影相等参考答案：Ba＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，则|a|＝|b|＝1，设a，b的夹角是θ，则cosθ＝＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，∴θ与α－β不一定相等4.已知各项不为0的等差数列{an}满足a4﹣2a72+3a8=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则b2b8b11等于(

) A．1 B．2 C．4 D．8参考答案：D考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知方程结合等差数列的性质求解a7，再利用等比数列的性质求解答案．解答： 解：∵数列{an}是各项不为0的等差数列，由a4﹣2+3a8=0，得，，，∴，解得：a7=2．则b7=a7=2．又数列{bn}是等比数列，则b2b8b11=．故选：D．点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了学生的计算能力，是中档题．5.在复平面内，复数的对应点位于（

）A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限参考答案：B略6.已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M与双曲线C的焦点不重合，点M关于F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在双曲线的右支上，若|AN|﹣|BN|=12，则a=（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：A【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据已知条件，作出图形，MN的中点连接双曲线的两个焦点，便会得到三角形的中位线，根据中位线的性质及双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值为2a，求出||AN|﹣|BN||，可得结论．【解答】解：设双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，如图，连接PF1，PF2，∵F1是MA的中点，P是MN的中点，∴F1P是△MAN的中位线，∴|PF1|=|AN|，同理|PF2|=|BN|，∴||AN|﹣|BN||=2||PF1|﹣|PF2||，∵P在双曲线上，根据双曲线的定义知：||PF1|﹣|PF2||=2a，∴||AN|﹣|BN||=4a=12，∴a=3．故选A．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，同时考查三角形的中位线，运用定义法是解题的关键，属于中档题．7.设函数,则（）A．

B．3

C．

D．参考答案：D8.若集合

（

）

A．[—1，0]

B．

C．

D．参考答案：答案：B9.正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E为棱BB1的中点（如图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）A. B. C. D.参考答案：C试题分析：如图补全过的平面，将上半部分切去，所以左视图如C选项，故选C.考点：三视图10.化简=（）A．1 B．2 C． D．﹣1参考答案：B【考点】二倍角的余弦；三角函数中的恒等变换应用．【分析】用倍角公式化简后，再用诱导公式即可化简求值．【解答】解：===2．故选：B．【点评】本题主要考察了二倍角的余弦公式的应用，三角函数中的恒等变换应用，属于基本知识的考查．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知三个平面，若，且与相交但不垂直，直线分别为内的直线，给出下列命题：①任意；

②任意；

③存在；④存在；

⑤任意；

⑥存在.其中真命题的序号是_________.（把你认为正确的命题序号都填上）参考答案：④⑥略12.如图，在圆中有结论：“是圆的直径，直线、是圆过、的切线，是圆上任意一点，是过的切线，则有．”类比到椭圆：“是椭圆的长轴，，是椭圆的焦点，直线、是椭圆过、的切线，是椭圆上任意一点，是过的切线，则有

；参考答案：13.从2男3女共5名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等），这2名都是男生或都是女生的概率等于．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】计算从2男3女5名学生中任选2名学生和选出的2名都是男同学或都是女同学的选法种数，利用古典概型概率公式计算可得答案．【解答】解：从2男3女5名学生中任选2名学生有=10种选法；其中选出的2名都是女同学的有=3种选法，其中选出的2名都是男同学的有=1种选法，∴这2名都是男生或都是女生的概率是=，故答案为：．14.若存在实数，使成立，则实数的取值范围是

．参考答案：

略15.在曲线xy=1上，横坐标为的点为An，纵坐标为的点为Bn，记坐标为（1，1）的点为M，Pn（xn，yn）是△AnBnM的外心，Tn是{xn}的前n项和，则Tn=

．参考答案：考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知可得An，Bn，则线段AnBn的垂直平分线为y=x．可得线段AnM的垂直平分线为：=，把y=x代入解得xn．再利用“裂项求和”即可得出．解答： 解：由已知可得An，Bn，则线段AnBn的垂直平分线为y=x．线段AnM的垂直平分线为：=，把y=x代入解得xn=2+．∴{xn}的前n项和Tn=2n++…+=2n+=2n+=．故答案为：．点评：本题考查了线段的垂直平分线及其性质、三角形的外心、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.已知，则

.参考答案：-4函数的导数为，所以，解得，所以，所以，所以。17.已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于

参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点和的直线与原点的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知定点，若直线与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以为直径的圆过点?请说明理由．参考答案：（Ⅰ）直线AB方程为：依题意解得

∴椭圆方程为． 4分（Ⅱ）假若存在这样的k值，由得．∴① 6分设，、，，则② 7分而． 8分要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则，即

∴

③将②式代入③整理解得． 10分经验证，，使①成立． 11分综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E． 12分19.(本小题满分12分)设函数在点A（1，f(1)）处的切线平行于x轴.(Ⅰ)当时，讨论函数的单调性；(Ⅱ)证明：当a=-3时，对任意，都有.参考答案：解：(Ⅰ)，，∴，∴

……1分.

(1)当时，，的递增区间为，递减区间为；

………2分(2)当时，=0的两个根为x1=1和x2=，若，则，由得或,由得；∴的递增区间为和，递减区间为.

…4分若，则，由得,由得或，∴的递增区间为，递减区间为和.

……6分

(Ⅱ)当时，由(Ⅰ)知，函数在为减函数，∴，，，∴对任意，，即．

……………12分略20.（1）是否存在正整数的无穷数列，使得对任意的正整数n都有。（2）是否存在正无理数的无穷数列，使得对任意的正整数n都有。参考答案：解析：（1）假设存在正整数数列满足条件。又所以有对n=2，3，4，…成立。所以。设，取，则有，这与是正整数矛盾。所以不存在正整数数列满足条件。（2）就是满足条件的一个无理数数列。此时有。

21.（本大题12分）

某出版社新出版一本高考复习用书，该书的成本为元一本，经销过程中每本书需

付给代理商元的劳务费，经出版社研究决定，新书投放市场后定价为

元一本，，预计一年的销售量为万本.

（Ⅰ）求该出版社一年的利润（万元）与每本书的定价的函数关系式；

（Ⅱ）若时，当每本书的定价为多少元时，该出版社一年利润最大，并求出

的最大值.

参考答案：（1）

（2）略22.（12分）某项科研活动共进行了5次试验，其数据如表所示：特征量第1次第2次第3次第4次第5次x555559551563552y601605597599598（Ⅰ）从5次特征量y的试验数据中随机地抽取两个数据，求至少有一个大于600的概率；（Ⅱ）求特征量y关于x的线性回归方程；并预测当特征量x为570时特征量y的值．（附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，）参考答案：【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）利用对立事件的概率公式，可得结论；（Ⅱ）求出回归系数，即可求特征量y关于x的线性