河北省邯郸市成安县第三中学2021-2022学年高三数学文测试题含解析

河北省邯郸市成安县第三中学2021-2022学年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若集合，，则=

A．

B．

C．

D．参考答案：B略2.i为虚数单位，则=（）A．﹣i B．﹣1 C．i D．1参考答案：A【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入计算得答案．【解答】解：，则=i2007=（i4）501?i3=﹣i．故选：A．3.设是等差数列，是其前n项和，且，，则下列结论错误的是(

)

A．

B．

C．

D．和均为的最大值参考答案：C4.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的实轴长是虚轴长的一半，则该双曲线的方程为

（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：A5.定义运算：，将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是

A．

B．1

C．

D．2参考答案：B略6.已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，椭圆的一个短轴端点为，直线与双曲线的一条渐近线平行，椭圆与双曲线的离心率分别为，则取值范围为

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略7.已知函数（k∈R），若函数有三个零点，则实数k的取值范围是（A）k≤2

（B）－1＜k＜0

（C）－2≤k＜－1

（D）k≤－2参考答案：D略8.执行图中的程序框图（其中表示不超过的最大整数），则输出的值为．

．

．

．参考答案：．每次循环的结果分别为：，；，；，；，；，；，，这时，输出．故选．【解题探究】本题考查程序框图的运算和对不超过的最大整数的理解．要得到该程序运行后输出的的值，主要依据程序逐级运算，并通过判断条件调整运算的续与结束，注意执行程序运算时的顺序．9.若i（x+yi）=3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是(

)A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：D【考点】复数求模；复数相等的充要条件．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则把i（x+yi）可化为3+4i，利用复数相等即可得出x=4，y=﹣3．再利用模的计算公式可得|x+yi|=|4﹣3i|==5．【解答】解：∵i（x+yi）=xi﹣y=3+4i，x，y∈R，∴x=4，﹣y=3，即x=4，y=﹣3．∴|x+yi|=|4﹣3i|==5．故选D．【点评】熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键．10.等比数列的前项和为，若，则公比（

）A．－1

B．1

C．－2

D．2参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对函数，现有下列命题：①函数是偶函数；②函数的最小正周期是；③点是函数的图象的一个对称中心；④函数在区间上单调递增，在区间上单调递减。其中是真命题的是

参考答案：①④解：对于①，由于f（-x）=-xsin（-x）=xsinx=f（x），故函数f（x）是偶函数①正确；对于②，由于f（x+2π）=（x+2π）sinx≠f（x），故函数f（x）的最小正周期是2π，②不正确；对于③，由于f（）+f（）=-=-π≠0故点（π，0）不是函数f（x）的图象的一个对称中心，故③不正确；对于④，由于f'（x）=sinx+xcosx，在区间[0，]上f'（x）＞0，在区间[-，0]上f'（x）＜0，由此知函数f（x）在区间[0,]上单调递增，在区间[-，0]上单调递减，故④正确．故答案为：①④12.函数的最小正周期是

．参考答案：13.（5分）（2015?庆阳模拟）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，E为AA1的中点，OA⊥平面BDE，则球O的表面积为．参考答案：16π【考点】：球的体积和表面积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：根据已知结合长方体锥的几何特征和球的几何特征，求出球的半径，代入可得球的表面积．解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，设AA1=2a，E为AA1的中点，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x，y，z轴建立空间坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，a），C1（2，2，2a），O（1，1，a），则=（﹣2，2，0），=（﹣2，0，a），=（1，1，a），若OA⊥平面BDE，则，即，即a2﹣2=0，解得a=，∴球O的半径R满足：2R==4，故球O的表面积S=4πR2=16π，故答案为：16π．【点评】：本题考查的知识点是球的表面积，其中根据已知求出半径是解答的关键．14.设各项均为正整数的无穷等差数列{an}，满足a54=2014，且存在正整数k，使a1，a54，ak成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为．参考答案：92【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由a54=2014，可得a1+53d=2014，即+d=38，d＞0，且为正整数，可得a1是53的倍数，a1，a54，ak成等比数列，则a542=a1ak=2×2×19×19×53×53，分类讨论，可得结论．【解答】解：∵a54=2014，∴a1+53d=2014，∴+d=38，d＞0，且为正整数，∴a1是53的倍数，∵a1，a54，ak成等比数列，∴a542=a1ak=2×2×19×19×53×53（1）若a1=53，53+53d=2014，d=37，（2）若a1=2×53，106+53d=2014，d=36，（3）若a1=4×53，212+53d=2014，d=34，ak=19×19×53=4×53+34（k﹣1），k不是整数，舍去（4）a1=1007，1007+53d=2014，53d=1007，d=19∴公差d的所有可能取值之和为37+36+19=92．故答案为：92．【点评】本题考查等比数列的性质，考查分类讨论的数学思想，确定a1是53的倍数是关键．15.若变量x，y满足约束条件则的最大值为____________.参考答案：916.已知复数（i是虚数单位），则z的共轭复数为_______．参考答案：【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得，再由共轭复数的定义得答案．【详解】∴．故答案为：【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的基本概念，属于基础题．17.在R上定义运算△：x△y=x(1-y)若不等式(x-a)△(x+a)<1,对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面，，，，，，.（I）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（II）求证：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.参考答案：（Ⅰ）.（Ⅱ）见解析;（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）由已知AD//BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角，然后在Rt△PDA中求解即可；（Ⅱ）因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD，PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC；（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角，且为直线DF和平面PBC所成的角，然后在Rt△DPF中求解即可.【详解】解：（Ⅰ）如图，由已知AD//BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得，故.所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.（Ⅱ）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD平面PDC，所以AD⊥PD.又因为BC//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC.（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以为直线DF和平面PBC所成的角.由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC–BF=2.又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得,在Rt△DPF中，可得.所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.考点：两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角【点睛】本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直的证明、直线与平面所成的角，要求一定的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.求两条异面直线所成的角，首先要借助平行线找出异面直线所成的角，证明线面垂直只需寻求线线垂直，求线面角首先利用转化思想寻求直线与平面所成的角，然后再计算即可.19.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+an=1，数列{bn}满足bn+log2an=0．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求数列的前n项和Tn。参考答案：略20.(本小题满分12分)英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语单词；每周五对一周内所学单词随机抽取若干个进行检测（一周所学的单词每个被抽到的可能性相同）（Ⅰ）英语老师随机抽了4个单词进行检测，求至少有3个是后两天学习过的单词的概率；（Ⅱ）某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为，对前两天所学过的单词每个能默写对的概率为．若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测，求该学生能默写对的单词的个数ξ的分布列和期望．参考答案：解：（Ⅰ）设英语老师抽到的4个单词中，至少含有3个后两天学过的事件为A，则由题意可得

…………………5分

（Ⅱ）由题意可得ξ可取0，1，2，3，则有P(ξ=0)

………6分P(ξ=1)，P(ξ=2)，………9分P(ξ=3)

………10分

所以ξ的分布列为:

……………11分

故Eξ=0×+1×+2×+3×=………12分21.已知过点的直线与椭圆交于不同的两点，其中，O为坐标原点.（1）若，求的面积；（2）在x轴上是否存在定点T，使得直线TA与TB的斜率互为相反数.参考答案：（1）（2）在轴上存在定点，使得直线TA与TB的斜率互为相反数.【分析】（1）由题意不妨设点A(0,1),写出直线AB方程，与椭圆方程联立，得点B坐标，根据面积公式即可得结果；（2）设过点D的直线方程，与椭圆方程联立，用韦达定理，即可得到定点T的坐标.详解】(1)当时，或，由对称性，不妨令，此时直线：，联立，消去整理得，解得，，故.所以的面积为.（2）显然直线斜率不为0，设直线：，联立，消去整理得所以，即，，，设，则因为直线与的斜率互为相反数，所以，即，故，故在轴上存在定点，使得直线与的斜率互为相反数.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系以及曲线过定点问题，解决曲线过定点问题一般有两种方法：①探索曲线过定点时，可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.22.已知函数f（x）=|x﹣2|．（1）解不等式：f（x+1）+f（x+2）＜4；（2）已知a＞2，求证：?x∈R，f（ax）+af（x）＞2恒成立．参考答案：【考点】分段函数的应用；绝对值不等式的解法．【分析】（1）f（x+1）+f（x+2）＜4，即|x﹣1|+|x|＜4，利用零点分段法求出各段上的解，综合可得答案；（2）由a＞2，结合绝对值的性质，可得?x∈R，f（ax）+af（x）＞2恒成