2022年湖南省株洲市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)

2022年湖南省株洲市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.∫-11(3x2+sin5x)dx=()。A.-2B.-1C.1D.2

2.∫1+∞e-xdx=()

A.-eB.-e-1

C.e-1

D.e

3.微分方程y"-y=ex的一个特解应具有的形式为(下列各式中α、b为常数)。A.aex

B.axex

C.aex+bx

D.axex+bx

4.A.A.

B.B.

C.C.

D.D.

5.

6.交换二次积分次序等于()．A.A.

B.

C.

D.

7.

8.

9.下列关于构建的几何形状说法不正确的是()。

A.轴线为直线的杆称为直杆B.轴线为曲线的杆称为曲杆C.等截面的直杆称为等直杆D.横截面大小不等的杆称为截面杆10.A.f(x)+CB.f'(x)+CC.f(x)D.f'(x)11.已知y=ksin2x的一个原函数为y=cos2x，则k等于（）．A.A.2B.1C.－lD.－212.平面π1：x-2y+3x+1=0，π2：2x+y+2=0的位置关系为()A.垂直B.斜交C.平行不重合D.重合13.（）A.A.1/2B.1C.2D.e

14.

15.级数(a为大于0的常数)()．A.A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与a有关

16.方程z=x2+y2表示的曲面是（）

A.椭球面B.旋转抛物面C.球面D.圆锥面

17.

18.微分方程(y)2=x的阶数为()A.1B.2C.3D.4

19.

20.A.A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件也非必要条件二、填空题(20题)21.22.微分方程y"+y'=0的通解为______．

23.24.设是收敛的，则后的取值范围为______．

25.

26.

27.

28.29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.函数f(x)=ex，g(x)=sinx，则f[g(x)]=__________。36.函数f(x)=x3-12x的极小值点x=_______.

37.38.39.40.三、计算题(20题)41.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．42.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．43.

44.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．45.

46.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

47.证明：

48.

49.50.求曲线在点(1，3)处的切线方程．51.

52.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则53.54.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

55.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

56.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．57.求微分方程的通解．58.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

59.

60.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．四、解答题(10题)61.

62.63.

64.

65.(本题满分10分)

66.

67.将周长为12的矩形绕其一边旋转得一圆柱体，问绕边长为多少的边旋转才能使圆柱体的体积最大?

68.计算

69.

70.五、高等数学(0题)71.已知同上题若产品以每件500元出售，问：要使利润最大，应生产多少件?

六、解答题(0题)72.函数y=y(x)由方程ey=sin(x+y)确定，求dy.

参考答案

1.D

2.C

3.B方程y"-y=0的特征方程是r2-1=0，特征根为r1=1，r2=-1。

方程y"-y=ex中自由项f1(x)=ex，α=1是特征单根，故应设定y*=αxex，因此选B。

4.B本题考查了已知积分函数求原函数的知识点

5.B

6.B本题考查的知识点为交换二次积分次序．

由所给二次积分可知积分区域D可以表示为

1≤y≤2，y≤x≤2，

交换积分次序后，D可以表示为

1≤x≤2，1≤y≤x，

故应选B．

7.A解析：

8.B

9.D

10.C

11.D本题考查的知识点为原函数的概念、复合函数求导．

12.A本题考查的知识点为两平面的位置关系。两平面的关系可由平面的法向量n1，n2间的关系确定。若n1⊥n2，则两平面必定垂直。若n1//n2，则两平面平行，其中当时，两平面平行，但不重合。当时，两平面重合。若n1与n2既不垂直，也不平行，则两平面斜交。由于n1={1，-2，3}，n2={2，1，0)，n1，n2=0，可知，n1⊥n2，因此π1⊥π2，故选A。

13.C

14.D解析：

15.A本题考查的知识点为级数绝对收敛与条件收敛的概念．

注意为p=2的p级数，因此为收敛级数，由比较判别法可知收敛，故绝对收敛，应选A．

16.B旋转抛物面的方程为z=x2+y2.

17.D解析：

18.A

19.D解析：

20.B

21.22.y=C1+C2e-x，其中C1，C2为任意常数本题考查的知识点为二阶线性常系数齐次微分方程的求解．

二阶线性常系数齐次微分方程求解的一般步骤为：先写出特征方程，求出特征根，再写出方程的通解．

微分方程为y"+y'=0．

特征方程为r3+r=0．

特征根r1=0．r2=-1．

因此所给微分方程的通解为

y=C1+C2e-x，

其牛C1，C2为任意常数．

23.

24.k＞1本题考查的知识点为广义积分的收敛性．

由于存在，可知k＞1．

25.

26.

27.

28.F(sinx)＋C．

本题考查的知识点为不定积分的换元法．

29.本题考查的知识点为两个：参数方程形式的函数求导和可变上限积分求导．

30.-3sin3x-3sin3x解析：

31.y

32.

33.x/1=y/2=z/-1

34.e35.由f(x)=exg(x)=sinx；∴f[g(x)]=f[sinx]=esinx

36.22本题考查了函数的极值的知识点。f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),当x=2或x=-2时,f'(x)=0,当x＜-2时,f'(x)＞0；当-2＜x＜2时,f'(x)＜0;当x＞2时,f’(x)＞0,因此x=2是极小值点，

37.

38.本题考查的知识点为定积分的换元法．

39.

本题考查的知识点为定积分计算．

可以利用变量替换，令u＝2x，则du＝2dx，当x＝0时，u＝0；当x＝1时，u＝2．因此

40.

41.

列表：

说明

42.函数的定义域为

注意

43.

则

44.由二重积分物理意义知

45.

46.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

47.

48.

49.

50.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

51.由一阶线性微分方程通解公式有

52.由等价无穷小量的定义可知

53.

54.

55.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

56.

57.

58.

59.

60.

61.

62.63.积分区域D如下图所示：

被积函数f(x,y)=y/x,化为二次积分时对哪个变量皆易于积分;但是区域D易于用X—型不等式表示,因此选择先对y积分,后对x积分的二次积分次序.

64.特征方程为

r2—2r－8＝0．

特征根为r1＝－2，r2＝4．

65.本题考查的知识点为计算二重积分，选择积分次序．

积分区域D如图1—3所示．

D可以表示为

【解题指导】

如果将二重积分化为先对x后对y的积分，将变得复杂，因此考