2023年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析

高一数学竞赛训练试题〔2〕一．填空题：本大题共10小题，每题7分，共70分．1．设方程的根大于，且小于，那么实数的范围是．2．从6双不同号码的鞋中取出4只，至少配成一双的概率为．3．设实数，满足x2-4x+y2+3＝0，那么的最大值与最小值之差是．4．假设存在正实数，满足〔是虚数单位，〕，那么的最小值是．5．假设三角形的三边，，成等差数列，那么的取值范围是．6．假设数列满足，〔〕，那么满足条件的的所有可能值之积是．7．，那么．8．设，，且满足，那么的最大值为．9．复数z1，z2满足|z1|＝3，|z2|＝5，|z1+z2|＝6，那么|z1-z2|＝___________10．将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完全平方数，再过31年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完全平方数，小王现在的年龄是．二．解答题：本大题共4小题，每题20分，共80分．11．在中，分别是角的对边，设．求的值．12．如图，梯形中，、关于对角线对称的点分别是、，、关于对角线对称的点分别是、．证明：四边形是梯形．13．设关于x的一元二次方程2x2－tx－2＝0的两个根为、，(t为实数，<)．⑴假设x1，x2为区间[，]上的两个不同点，求证：4x1x2－t(x1＋x2)－4<0；⑵设f(x)＝eq\f(4x－t,x2+1)，f(x)在区间[，]上的最大值与最小值分别为fmax与fmin，g(t)＝fmax－fmin，求g(t)的最小值．14．正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一．证明：必存在四个同色点，恰为某等腰梯形的顶点．11．在中，分别是角的对边，设．求的值．分析化角为边转化为三角关系处理．解由正弦定理及角变换求解．由，得．再由三角形内角和定理及得，所以，，又，代入到中得，由得，从而，所以．13．设关于x的一元二次方程2x2－tx－2＝0的两个根为、，(t为实数，<)．⑴假设x1，x2为区间[，]上的两个不同点，求证：4x1x2－t(x1＋x2)－4<0；⑵设f(x)＝eq\f(4x－t,x2+1)，f(x)在区间[，]上的最大值与最小值分别为fmax与fmin，g(t)＝fmax－fmin，求g(t)的最小值．(湖南省2002年高中数学竞赛)解⑴考察函数h(x)=2x2－tx－2．由于<x1，x2<，故2x12－tx1－2<0，2x22－tx2－2<0，两式相加得2(x12＋x22)－t(x1＋x2)－4<0．又4x1x2≤2(x12＋x22)．所以4x1x2－t(x1＋x2)－4≤2(x12＋x22)－t(x1＋x2)－4<0．⑵由得2x2－2＝tx，所以2x2＋2＝tx＋4>0。对于t≠0，及tx＋4>0，f(x)＝eq\f(2(4x－t),tx+4)=eq\f(2,t)(4－eq\f(t2+16,tx+4))．此时f(x)单调增．所以fmax＝f()，fmin＝f()．所以g(t)＝f()－f()＝eq\f(2(t2+16),t)(eq\f(1,t+4)－eq\f(1,t+4))=eq\f(2(t2+16),t)(eq\f(t