巴特沃斯滤波器

会计学1巴特沃斯滤波器本节内容：1.模拟滤波器的设计总述；2.巴特沃斯低通滤波器的设计原理；3.关于巴特沃斯低通滤波器设计的例题；第1页/共28页

I.模拟滤波器的设计总述

模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Cauer)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。第2页/共28页

典型滤波器巴特沃斯（Butterworth）滤波器:具有单调下降的幅频特性；切比雪夫（Chebyshev）滤波器：幅频特性在通带或阻带有波动，可提高选择性；贝塞尔（Bessel）滤波器：通带内有较好的线性相位；椭圆（Ellipse）滤波器：选择性最好，但相位特性的非线性严重。第3页/共28页选频型模拟滤波器按频率特性可分为低通，高通，带通和带阻滤波器。它们的理想幅频特性如图所示：

图6.2.1各种理想滤波器的幅频特性

第4页/共28页模拟滤波器设计指标

图6.1.1典型模拟低通滤波器幅频特性及其指标描述第5页/共28页滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的技术指标，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此(6.2.6)第6页/共28页

Butterworth低通滤波器具有通带最平幅度逼近特性，是一全极点型滤波器，且极点均匀分布上Ωc的圆上,并且与虚轴对称。其最主要特点：在通带内，幅频最平坦，随着频率的升高而单调下降。其幅度平方函数为

II.巴特沃斯低通滤波器的设计原理(6.2.7)第7页/共28页在Ω=Ωc附近，随Ω加大，幅度迅速下降，幅度特性与Ω和N的关系如下图所示：

图6.2.3巴特沃斯幅度特性和N的关系

幅度下降的速度与阶数N有关，N愈大，通带愈平坦，过渡带愈窄，过渡带与阻带幅度下降的速度愈快，总的频响特性与理想低通滤波器的误差愈小。第8页/共28页

将幅度平方函数|Ha(jΩ)|2写成s的函数：

(6.2.8)

此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk用下式表示：(6.2.9)k=0,1,2,3，······，2N-1。当N=3时：第9页/共28页图6.2.4三阶巴特沃斯滤波器极点分布极点在s平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，共2N点

极点间的角度间隔为∏/Nrad第10页/共28页为形成因果稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(-s)。Ha(s)的表示式为(6.2.10)第11页/共28页取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)：

eg：设N=3，极点有6个，它们分别为第12页/共28页

由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率Ωc归一化，归一化后的Ha(s)表示为

Gɑ(s/Ωc)

令λ=Ω/Ωc，p=s/Ωc=jΩ/Ωc,λ称为归一化频率；p称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为(6.2.11)(6.2.12)G第13页/共28页

式中，pk为归一化极点，用下式表示：

(6.2.13)显然，

Sk=Ωcpk(6.2.14)

这样，只要根据技术指标求出阶数N，再求出N个极点Pk，按照(6.2.12)得到归一化低通原型系统函数Ga(p),若给定Ωc,再去归一化，即将p=s/Ωc代入Gs(p)中(或求出Sk),便得到期望设计的系统函数Ha(s)。第14页/共28页将极点表达式（6.2.13）代入（6.2.12）式，得到Ga(p)的分母是p的N阶多项式，如下：归一化原型系统函数Ga(p)的系数bk，K=0,1,2,······,N-1，以及极点Pk，可以由表6.2.1得到。另外，表中还给出了Ga(p)的因式分解形式中的各系数，这样只要求出阶数N，查表就可以得到Ga(p)及各极点，而且还可以选择级联型和直连型结构的系统函数表示形式，避免了因式分解的运算工作。(6.2.15)第15页/共28页表6.2.1巴特沃斯归一化低通滤波器参数第16页/共28页第17页/共28页第18页/共28页

将Ω=Ωs代入(6.2.7)式中，再将|Ha(jΩs)|2代入(6.2.3)式中，得到：(6.2.16)(6.2.17)由(6.2.9)和(6.2.10)可知，只要求出巴特沃斯滤波器的阶数N和3dB截止频率Ωc，就可求出滤波器的系统函数Ha(s)，故，巴特沃斯滤波器的设计实质就是根据设计指标求阶数N和3dB截止频率Ωc的过程。下面先介绍阶数N的确定方法。阶数N的大小主要影响通带幅频特性的平坦程度和过渡带，阻带的幅度下降速度,它由技术指标Ωp，αp，Ωs和αs确定。将Ω=Ωp代入幅度平方函数(6.2.7)中,再将幅度平方函数|Ha(jΩs)|2代入(6.2.2)中，得到：第19页/共28页由(6.2.16)和(6.2.17)式得到：令则N由下式表示：(6.2.18c)(6.2.18a)(6.2.18b)第20页/共28页

用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。关于3dB截止频率Ωc，如果技术指标中没有给出，可以按照(6.2.16)式或(6.2.17)式求出，由(6.2.16)式得到：由(6.2.17)式得到：(6.2.19)(6.2.20)通带指标刚好满足要求，阻带指标有富余阻带指标刚好满足要求，通带指标有富余第21页/共28页

总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：(1)根据技术指标Ωp,αp,Ωs和αs,用(6.2.18)式求出滤波器的阶数N。(2)按照(6.2.13)式,求出归一化极点pk,将pk代入(6.2.12)式,得到归一化低通原型系统函数Ga(p)。(3)将Ga(p)去归一化。将p=s/Ωc代入Ga(p),得到实际的滤波器系统函数Ha(s):

Ha(s)=

Ga(p)|

p=s/Ωc第22页/共28页

例6.2.1已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减αp=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减αs=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。

解(1)确定阶数N。

III.关于巴特沃斯低通滤波器设计的例题第23页/共28页

(2)按照(6.2.13)式，其极点pK为按照(6.2.12)式，归一化传输函数为第24页/共28页

上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。

G极点：-0.3090±j0.9511;-0.8090±j0.5878;-1.0000五阶多项式这里不如直接查表6.2.1简单，由N=5，直接查表得到：式中：b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2