《微积分基本定理》试卷（） 市赛一等奖

《微积分基本定理》试卷一、选择题1．(2022·山东济南一模)设a＝eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x)dx，b＝eq\i\in(1,3,)eq\f(1,x)dx，c＝eq\i\in(1,5,)eq\f(1,x)dx，则下列关系式成立的是()A．eq\f(a,2)<eq\f(b,3)<eq\f(c,5) B．eq\f(b,3)<eq\f(a,2)<eq\f(c,5)C．eq\f(c,5)<eq\f(a,2)<eq\f(b,3) D．eq\f(a,2)<eq\f(c,5)<eq\f(b,3)[答案]C[解析]∵a＝eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x)dx＝ln2，b＝eq\i\in(1,3,)eq\f(1,x)dx＝ln3，c＝eq\i\in(1,5,)eq\f(1,x)dx＝ln5，∴eq\f(a,2)＝eq\f(1,2)ln2＝lneq\r(2)，eq\f(b,3)＝eq\f(1,3)ln3＝lneq\r(3,3)，eq\f(c,5)＝eq\f(1,5)ln5＝lneq\r(5,5)，而eq\r(5,5)<eq\r(2)<eq\r(3,3)，∴eq\f(c,5)<eq\f(a,2)<eq\f(b,3)，选C．2．(2022·河南南阳第一中学月考)设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若eq\i\in(0,3,)f(x)dx＝3f(x0)，则x0＝()A．±1 B．eq\r(2)C．±eq\r(3) D．2[答案]C[解析]因为eq\i\in(0,3,)f(x)dx＝eq\i\in(0,3,)(ax2＋b)dx＝(eq\f(1,3)ax3＋bx)|eq\o\al(3,0)＝9a＋3b,3f(x0)＝3axeq\o\al(2,0)＋3b，所以9a＋3b＝3axeq\o\al(2,0)＋3b，所以xeq\o\al(2,0)＝3，x0＝±eq\r(3)，故选C．3．(2022·湖北理，7)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋eq\f(25,1＋t)(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A．1＋25ln5 B．8＋25lneq\f(11,3)C．4＋25ln5 D．4＋50ln2[答案]C[解析]由于v(t)＝7－3t＋eq\f(25,1＋t)，且汽车停止时速度为0，因此由v(t)＝0可解得t＝4，即汽车从刹车到停止共用4s.该汽车在此期间所行驶的距离s＝eq\i\in(0,4,)(7－3t＋eq\f(25,1＋t))dt＝[7t－eq\f(3t2,2)＋25ln(t＋1)]|eq\o\al(4,0)＝4＋25ln5(m)．4．曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与直线y＝1所围成的图形面积是()A．2π B．3πC．eq\f(3π,2) D．π[答案]A[解析]如图，S＝∫eq\o\al(2π,0)(1－cosx)dx＝(x－sinx)|eq\o\al(2π,0)＝2π.[点评]此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，π))，则对称性就无能为力了．5.(2022·广东深圳调研)如图所示，在矩形OABC内：记抛物线y＝x2＋1与直线y＝x＋1围成的区域为M(图中阴影部分)．随机往矩形OABC内投一点P，则点P落在区域M内的概率是()A．eq\f(1,18) B．eq\f(1,12)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,3)[答案]B[解析]根据定积分知识可得阴影部分面积S＝eq\i\in(0,1,)[(x＋1)－(x2＋1)]dx＝eq\f(1,6)，点落在区域内的概率为面积型几何概型，所以由几何概型的概率计算公式得P＝eq\f(\f(1,6),2)＝eq\f(1,12)，故选B．6．(2022·广东中山实验高中段考)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1－1≤x≤0,cosx0<x≤\f(π,2)))，则＝()A．eq\f(3,2) B．1C．2 D．eq\f(1,2)[答案]A[解析]，故选A．二、填空题7.(2022·济宁一模)如图，长方形的四个顶点为O(0,0)，A(2,0)，B(2,4)，C(0,4)．曲线y＝ax2经过点B，现将一质点随机投入正方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是________.[答案]eq\f(2,3)[解析]∵y＝ax2过点B(2,4)，∴a＝1，∴所求概率为1－eq\f(\i\in(0,2,)x2dx,2×4)＝eq\f(2,3).8.(2022·山西大学附中月考)如图，圆O：x2＋y2＝π2内的正弦曲线y＝sinx与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率为________.[答案]eq\f(4,π3)[解析]圆的面积S＝π3，区域M的面积S′＝2eq\i\in(0,π,)sinxdx＝2(－cosx)eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(,,,))eq\o\al(π,0)＝2(－cosπ＋cos0)＝4，故所求概率P＝eq\f(4,π3).9．(2022·河北名校名师俱乐部模拟)已知在函数f(x)＝ex2＋aex图象上点(1，f(1))处切线的斜率为e，则eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝________.[答案]1－eq\f(2,3)e[解析]f′(x)|x＝1＝(2ex＋aex)|x＝1＝2e＋ae＝e⇒a＝－1，则eq\i\in(0,1,)(ex2－ex)dx＝(eq\f(1,3)ex3－ex)|eq\o\al(1,0)＝1－eq\f(2,3)e.10．(2022·北京东城区检测)图中阴影部分的面积等于________．[答案]1[解析]由题知所求面积为eq\i\in(0,1,)3x2dx＝x3|eq\o\al(1,0)＝1.一、选择题11．(2022·长春一模)与定积分∫eq\o\al(3π,0)eq\r(1－cosx)dx相等的是()A．eq\r(2)∫eq\o\al(3π,0)sineq\f(x,2)dx B．eq\r(2)∫eq\o\al(3π,0)|sineq\f(x,2)|dxC．|eq\r(2)∫eq\o\al(3π,0)sineq\f(x,2)dx| D．以上结论都不对[答案]B[解析]∵1－cosx＝2sin2eq\f(x,2)，∴∫eq\o\al(3π,0)eq\r(1－cosx)dx＝∫eq\o\al(3π,0)eq\r(2)|sineq\f(x,2)|dx＝eq\r(2)∫eq\o\al(3π,0)|sineq\f(x,2)|dx.12.(2022·河源龙川一中月考)如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y＝x2和曲线y＝eq\r(x)围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC内随机投一点，则所投的点落在叶形图内部的概率是()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,6)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,3)[答案]D[解析]依题意知，题中的正方形区域的面积为12＝1，阴影区域的面积等于eq\i\in(0,1,)(eq\r(x)－x2)dx＝(eq\f(2,3)xeq\f(3,2)－eq\f(1,3)x3)|eq\o\al(1,0)＝eq\f(1,3)，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于eq\f(1,3)，选D．13．(2022·抚顺六校联合体期中)设(eq\f(1,x)＋x2)3的展开式中的常数项为a，则直线y＝ax与直线y＝x2围成图形的面积为()A．eq\f(27,2) B．9C．eq\f(9,2) D．eq\f(27,4)[答案]C[解析](eq\f(1,x)＋x2)3，即(x2＋eq\f(1,x))3的通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,3)(x2)3－r(eq\f(1,x))r＝Ceq\o\al(r,3)x6－3r，令6－3r＝0，得r＝2，∴常数项为3.则直线y＝3x与曲线y＝x2围成图形的面积为S＝eq\i\in(0,3,)(3x－x2)dx＝(eq\f(3,2)x2－eq\f(1,3)x3)|eq\o\al(3,0)＝eq\f(9,2).故选C．14．(2022·山西诊断)若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx－4，x>0,2x＋∫\f(π,6)0cos3tdt，x≤0))，则f(2022)＝()A．1 B．2C．eq\f(4,3) D．eq\f(5,3)[答案]C[解析]依题意得，当x≤0时，f(x)＝2x＋eq\f(1,3)sin3t|eq\f(π,6)0＝2x＋eq\f(1,3)，故f(2022)＝f(4×503)＝f(0)＝20＋eq\f(1,3)＝eq\f(4,3)，选C．15．已知(xlnx)′＝lnx＋1，则eq\i\in(1,e,)lnxdx＝()A．1 B．eC．e－1 D．e＋1[答案]A[解析]由(xlnx)′＝lnx＋1，联想到(xlnx－x)′＝(lnx＋1)－1＝lnx，于是eq\i\in(1,e,)lnxdx＝(xlnx－x)|eq\o\al(e,1)＝(elne－e)－(1×ln1－1)＝1.二、填空题16．(2022·江西省七校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝∫eq\o\al(n＋1,n)eq\f(1,x)dx(n∈N*)，则S100＝________.[答案]ln101[解析]依题意，an＝lnx|eq\o\al(n＋1,n)＝ln(n＋1)－lnn，因此S100＝(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋…＋(ln101－ln100)＝ln101.17．(2022·豫东、豫北十所名校联考)设a＝eq\i\in(,0,)－π(sinx－cosx)dx，则二项式(eq\r(x)－eq\f(a,\r(x)))8展开式中的常数项是________．(用数字作答)[答案]1120[解析]a＝eq\i\in(,0,)－π(sinx－cosx)dx＝－cosx－sinxeq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(,,,))eq\o\al(0,－π)＝－2，∴二项式(eq\r(x)－eq\f(a,\r(x)))8＝(eq\r(x)＋eq\f(2,\r(x)))8，∴Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)(eq\r(x))8－r(eq\f(2,\r(x)))r＝2rCeq\o\al(r,8)x4－r，令4－r＝0，∴r＝4∴常数项为24×Ceq\o\al(4,8)＝16×70＝1120.三、解答题18.已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的