函数的极值与最大（小）值（第三课时）同步检测-高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

.3.2函数的极值与最大（小）值（第三课时）（同步检测）一、选择题1.某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x(x∈N*)满足y＝－x2＋12x－25，则每辆客车营运多少年使其营运年平均利润最大()A.3B.4C.5D.62.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．设该商品零售价定为p元，销售量为Q件，且Q与p有如下关系：Q＝8300－170p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)()A.30元B.60元C.28000元D.23000元3.现要做一个容积为256m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为()A.6mB.8mC.4mD.2m4.一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的体积最大时，帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为()A.eq\f(\r(3),2)mB.1mC.eq\r(3)mD.2m5.某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克藕，成本增加1元．销售额y(单位：万元)与莲藕种植量x(单位：万千克)满足y＝－eq\f(1,6)x3＋ax2＋x(a为常数)，若种植3万千克，利润是eq\f(23,2)万元，则要使销售利润最大，每年需种植莲藕 ()A.6万千克B.8万千克C.7万千克D.9万千克6.圆柱的表面积为6π，当圆柱的体积最大时，圆柱的底面半径为() ()A.1B.eq\r(2)C.2D.37.如果圆柱轴截面的周长l为定值，那么体积的最大值为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,6)))eq\s\up12(3)πB.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,3)))eq\s\up12(3)πC.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,4)))eq\s\up12(3)πD.eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,4)))eq\s\up12(3)π8.不期而至的新冠肺炎疫情，牵动了国人的心，全国各地纷纷捐赠物资驰援武汉．有一批捐赠物资需要通过轮船沿长江运送至武汉，已知该运送物资的轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知当速度为10海里/时，燃料费是6元/时，而其他与速度无关的费用是96元/时，要使航行1海里所需的费用总和最小，轮船的速度应是()A.15海里/时B.20海里/时C.25海里/时D.30海里/时9.某产品的销售收入y1(单位：万元)是产量x(单位：千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)，生产成本y2(单位：万元)是产量x(单位：千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产()A.9千台B.8千台C.7千台D.6千台10.(多选)将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒．设方盒的容积为V(x)，则下列结论正确的是()A.V(x)＝(a－2x)2x，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))B.V′(x)＝12x2－8ax＋a2C.V(x)在区间eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(a,4)))上单调递增D.V(x)在x＝eq\f(a,6)时取得最大值二、填空题11.某车间要盖一间长方形小屋，其中一边利用已有的墙壁，另三边新砌，现有存砖只够砌20m长的墙壁，问应围成长为________m，宽为________m的长方形才能使小屋面积最大．12.某工厂要围建一个面积为128m2的矩形堆料场，一边可以用原有的墙壁，其他三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，则堆料场的长、宽应分别是___________13.已知正四棱锥S－ABCD中，SA＝2eq\r(3)，那么当该棱锥体积最大时，它的高为__________三、解答题14.有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？15.某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是8万千克，每种植1万千克莲藕，成本增加0.5万元．种植x万千克莲藕的销售额(单位：万元)是f(x)＝－eq\f(1,8)x3＋eq\f(9,16)ax2＋eq\f(1,2)x(a是常数)，若种植2万千克莲藕，利润是1.5万元，求：(1)种植x万千克莲藕的利润(单位：万元)g(x)的解析式；(2)要使利润最大，每年需种植多少万千克莲藕，并求出利润的最大值．参考答案及解析：一、选择题1.C解析：由题意得，年平均利润为f(x)＝eq\f(－x2＋12x－25,x)＝－x＋12－eq\f(25,x)(x>0)，f′(x)＝－1＋eq\f(25,x2)，令f′(x)＝0，得x＝5，经检验得，当x＝5时，年平均利润最大．2.D解析：由题意知，毛利润等于销售额减去成本，即L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．此时，L(30)＝23000.因为在p＝30附近的左侧L′(p)＞0，右侧L′(p)＜0.所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值．3.C解析：设底边长为x(x＞0)，由题意可得，高h＝eq\f(256,x2)，用料y＝x2＋4xh＝x2＋eq\f(4×256,x)＝x2＋eq\f(512,x)＋eq\f(512,x)≥3eq\r(3,5122)＝192，当且仅当x2＝eq\f(512,x)即x＝8时，取等号，故它的底边长为8，高为4时最省材料．故选C．4.D解析：设OO1为xm(1<x<4)，底面正六边形的面积为Sm2，帐篷的体积为Vm3.由题设得正六棱锥底面边长为eq\r(32－(x－1)2)＝eq\r(8＋2x－x2)(m)，所以底面正六边形的面积为S＝6×eq\f(\r(3),4)(eq\r(8＋2x－x2))2＝eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)．帐篷的体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)(x－1)＋eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)＝eq\f(\r(3),2)(8＋2x－x2)[(x－1)＋3]＝eq\f(\r(3),2)(16＋12x－x3)，V′＝eq\f(\r(3),2)(12－3x2)．令V′＝0，解得x＝2或x＝－2(不合题意，舍去)．当1＜x＜2时，V′＞0；当2＜x＜4时，V′＜0，所以当x＝2时，V最大．5.B解析：设销售利润为f(x)，则f(x)＝y－(2＋x×1)＝－eq\f(1,6)x3＋ax2－2(0<x≤10)，∵f(3)＝eq\f(23,2)，∴eq\f(1,6)×33＋a×32－2＝eq\f(23,2)，解得a＝2，∴f(x)＝－eq\f(1,6)x3＋2x2－2，f′(x)＝－eq\f(1,2)x2＋4x＝－eq\f(1,2)x(x－8)．当0<x<8时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当8<x<10时，f′(x)<0，f(x)单调递减，∴当x＝8时，销售利润f(x)最大．6.A解析：设该圆柱的高为h，底面半径为r，∴表面积为2πr2＋2πrh＝6π，即r2＋rh＝3，∴h＝eq\f(3－r2,r)，∴圆柱的体积为V＝πr2h＝πr2·eq\f(3－r2,r)＝πr(3－r2)＝3πr－πr3，∴V′＝3π－3πr2，令V′＝0，解得r＝1，此时V最大．故选A．7.A解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，则2(2r＋h)＝l，h＝eq\f(l－4r,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜r＜\f(l,4)))，体积V＝πr2·eq\f(l－4r,2)＝eq\f(1,2)π(lr2－4r3)，V′＝π(lr－6r2)．令V′＝0，得r＝0(舍去)或r＝eq\f(l,6).当0＜r＜eq\f(l,6)时，V′＞0，V单调递增；当eq\f(l,6)＜r＜eq\f(l,4)时，V′＜0，V单调递减，所以当r＝eq\f(l,6)时，V有最大值为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,6)))eq\s\up12(3)π8.B9.D10.ABD解析：依题意，折成无盖盒子的底面是边长为a－2x的正方形，高为x，则V(x)＝(a－2x)2xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(a,2)))，选项A正确；由V(x)＝4x3－4ax2＋a2x，得V′(x)＝12x2－8ax＋a2，选项B正确；令V′(x)＞0，解得0＜x＜eq\f(a,6)，令V′(x)＜0，解得eq\f(a,6)＜x＜eq\f(a,2)，故V(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,6)))单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,6)，\f(a,2)))单调递减，且在x＝eq\f(a,6)处取得最大值，选项C错误，选项D正确．故选ABD．二、填空题11.答案：10，5解析：要使长方形的小屋面积最大，已有的墙壁一定是小屋的长，设小屋宽为xm，则长为(20－2x)m，小屋面积S＝x(20－2x)，S′＝－4x＋20，令S′＝0，解得x＝5，∴20－2x＝10，∴当小屋长为10m，宽为5m时，面积最大．12.答案：16m，8m解析：设场地宽为xm，则长为eq\f(128,x)m，则新墙总长度为y＝2x＋eq\f(128,x)(x＞0)，y′＝2－eq\f(128,x2)，令y′＝0，∵x>0，∴x＝8.∵当0＜x＜8时，y′＜0；当x＞8时，y′＞0，∴当x＝8时，y取最小值，此时宽为8m，长为16m，即当堆料场的长为16m，宽为8m时，可使砌墙所用的材料最省．13.答案：2解析：设底面边长为a，则高h＝eq\r(SA2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)a,2)))\s\up12(2))＝eq\r(12－\f(a2,2))，所以体积V＝eq\f(1,3)a2h＝eq\f(1,3)·eq\r(12a4－\f(a6,2)).设y＝12a4－eq\f(a6,2)，则y′＝48a3－3a5，由y′＝0，得a＝4，当a＝4时，y取得最大值，体积V也最大，此时h＝eq\r(12－\f(a2,2))＝2.三、解答题14.解：设截下的小正方形边长为x，容器容积为V(x)，则做成的长方体形无盖容器底面边长为a－2x，高为x，V(x)＝(a－2x)2x，0<x<eq\f(a,2)，即V(x)＝4x3－4ax2＋a2x，0<x<eq\f(a,2).实际问题归结为求V(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))上的最大值点．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))内，V′(x)＝12x2－8ax＋a2.令V′(x)＝0，得12x2－8ax＋a2＝0，解得x1＝eq\f(1,6)a，x2＝eq\f(1,2)a(舍去)．当0<x<x1时，V′(x)>0；当x1<x<eq\f(a,2)时，V′(x)<0，因此x1＝eq\f(1,6)a是极大值点，也是最大值点，所以当截下的小正方形边长为eq\f(1,6)a时，容积最大．15.解：种植x万千克莲藕的利润(单位：万元)为g(x)＝－eq\f(1,8)x3＋eq\f(9,16)ax2＋eq\f(1,2)x－2－eq\f(1,2)x