四川省成都市四川音乐学院附属中学2023年高三数学理月考试题含解析

四川省成都市四川音乐学院附属中学2023年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，a=2，b=，B=，则A=A．

B．

C．

D．或参考答案：D2.已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为

()参考答案：C略3.已知点的坐标满足，，点为坐标原点，则的最小值是

A.-21

B.12

C.-6

D.5参考答案：A4.在复平面内，复数对应点的坐标为 A．（0，一1）

B．（0，1） C．

D．参考答案：A5.记全集，集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合是（

）A．{7,8}

B．{2}

C．{4,6,7,8}

D．{1,2,3,4,5,6}参考答案：A由题意，图中阴影部分所表示的区域为，由于，，故，选A．6.函数f（x）=ex+x2+x+1与g（x）的图象关于直线2x﹣y﹣3=0对称，P，Q分别是函数f（x），g（x）图象上的动点，则|PQ|的最小值为（）A． B． C． D．2参考答案：D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据函数f（x）和g（x）关于直线2x﹣y﹣3=0，则利用导数求出函数f（x）到直线的距离的最小值即可．【解答】解：∵f（x）=ex+x2+x+1，∴f′（x）=ex+2x+1，∵函数f（x）的图象与g（x）关于直线2x﹣y﹣3=0对称，∴函数f（x）到直线的距离的最小值的2倍，即可|PQ|的最小值．直线2x﹣y﹣3=0的斜率k=2，由f′（x）=ex+2x+1=2，即ex+2x﹣1=0，解得x=0，此时对于的切点坐标为（0，2），∴过函数f（x）图象上点（0，2）的切线平行于直线y=2x﹣3，两条直线间距离d就是函数f（x）图象到直线2x﹣y﹣3=0的最小距离，此时d=，由函数图象的对称性可知，|PQ|的最小值为2d=2．故选：D．7.（2013?黄埔区一模）若z=cosθ+isinθ（θ∈R，i是虚数单位），则|z﹣2﹣2i|的最小值是（）A．B．C．D．参考答案：D略8.设集合A={x|x2﹣16＞0}，B={x|﹣2＜x≤6}，则A∩B等于（）A．（﹣2，4） B．（4，6] C．（﹣4，6） D．（﹣4，﹣2）参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】解不等式得集合A，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|x2﹣16＞0}={x|x＜﹣4或x＞4}，B={x|﹣2＜x≤6}，则A∩B={x|4＜x≤6}=（4，6]．故选：B．9.若不等式｜2x一a｜＞x－2对任意x(0,3)恒成立，则实数a的取值范围是（）

A.(－,2]U[7,+)B.(－,2)U(7,+)

C.(－,4)U[7,+）D.（－,2)U(4,+)参考答案：C10.对于给定的实数，按下列方法操作一次产生一个新的实数，由甲、乙同时各掷一颗质地均匀的骰子，记出现向上的点数分别为m，n，如果m+n是偶数，则把乘以2后再减去2；如果m+n是奇数，则把除以2后再加上2，这样就可得到一个新的实数，对仍按上述方法进行一狄操作，又得到一个新的实数当>时，甲获胜，否则乙获胜，若甲获胜的概率为，则的值不可能是

A.0

B．2

C．3

D．4参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数，若，则的值为

．参考答案：0略12.直三棱柱ABC-A1B1C1中，，设其外接球的球心为O，已知三棱锥O-ABC的体积为1，则球O表面积的最小值为__________．参考答案：16π【分析】设，由三棱锥的体积为可得．然后根据题意求出三棱柱外接球的半径为，再结合基本不等式可得外接球表面积的最小值．【详解】如图，在中，设，则．分别取的中点，则分别为和外接圆的圆心，连，取的中点，则为三棱柱外接球的球心．连，则为外接球的半径，设半径为．∵三棱锥的体积为，即，∴．在中，可得，∴，当且仅当时等号成立，∴球表面积的最小值为．故答案为：．【点睛】解答几何体外接球的体积、表面积问题的关键是确定球心的位置，进而得到球的半径，解题时注意球心在过底面圆圆心且垂直于底面的直线上，且球心到几何体各顶点的距离相等．在确定球心的位置后可在直角三角形中求出球的半径，此类问题考查空间想象力和计算能力，难度较大．13.已知不等式，对任意恒成立，则a的取值范围为

.参考答案：14.设A，B是球O的球面上两点，∠AOB=，C是球面上的动点，若四面体OABC的体积V的最大值为，则此时球的表面积为．参考答案：36π【考点】球的体积和表面积．【分析】当点C位于垂直于面AOB时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，求出半径，即可求出球O的体积【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO﹣ABC=VC﹣AOB=×R2×sin60°×R=，故R=3，则球O的表面积为4πR2=36π，故答案为：36π．【点评】本题考查球的半径，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．属于中档题15.在极坐标系中，点到直线的距离为

．参考答案：16.函数与函数的图像所有交点的橫坐标之和为

．参考答案：1717.函数的定义域为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=|x2﹣1|，g（x）=a|x|﹣1．（Ⅰ）求不等式f（x）≤3的解集；（Ⅱ）若f（x）≥g（x）对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）不等式f（x）≤3，等价于0≤x2≤4，由此求得x的范围．（Ⅱ）由题意可得a|x|≤|x2﹣1|+1①恒成立，当x=0时，①显然成立．当x≠0时，分|x|＞1、0＜|x|≤1两种情况，分别求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）≤3，等价于|x2﹣1|≤3，即﹣3≤x2﹣1≤3，即0≤x2≤4，故有﹣2≤x≤2．（Ⅱ）f（x）≥g（x）对任意x∈R恒成立，即|x2﹣1|≥a|x|﹣1，即a|x|≤|x2﹣1|+1①，当x=0时，①显然成立．当x≠0时，若|x|＞1，①即a|x|≤x2﹣1+1=x2，∴a≤|x|恒成立，故a≤1．当0＜|x|≤1时，①即a|x|≤1﹣x2+1，∴a≤=﹣|x|恒成立，∴a≤2﹣1=1．综上可得，a≤1．19.

已知函数，．(Ⅰ)求函数的单调区间；(Ⅱ)函数在区间上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．参考答案：解：（I），.由，得，或.①当，即时，在上，，单调递减；②当，即时，在上，，单调递增，在上，，单调递减。

综上所述：时，的减区间为；时，的增区间为，的减区间为。（II）（1）当时，由（I）在上单调递减，不存在最小值；

（2）当时，

若，即时，在上单调递减，不存在最小值；

若，即时，在上单调递增，在上单调递减，因为，且当时，，所以时，。又因为，所以当，即时，有最小值；，即时，没有最小值。综上所述：当时，有最小值；当时，没有最小值。

略20.函数f（x）=x?ex．（1）求f（x）的极值；（2）k×f（x）≥x2+x在[﹣1，+∞）上恒成立，求k值的集合．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的最小值即可；（2）分离参数，令φ（x）=，根据函数的单调性求出k的值即可．【解答】解：（1）f′（x）=ex（x+1），令f′（x）＞0，解得：x＞﹣1，令f′（x）＜0，解得：x＜﹣1，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，∴f（x）在极小值是f（﹣1）=﹣，无极大值；（2）x＞0时，k≥，令φ（x）=，则φ′（x）=＜0，φ（x）在（0，+∞）递减，故φ（x）≤φ（0）=1，即k≥1；﹣1≤x＜0时，k≤，φ′（x）=＜0，故φ（x）在[﹣1，0]递减，φ（x）≥φ（0）=1，故k≤1，综上，k=1，故k∈{1}．21.（本小题满分12分）正项数列的前项和为满足：．（1）求数列的通项公式；（2）令，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有．参考答案：（1），，解得当时，；当时，（不适合）所以（2）当时，，；当时，综上，对于任意的，都有．22.人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0﹣25db（分贝），并规定测试值在区间（0，5]为非常优秀，测试值在区间（5，10]为优秀，某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图：（Ⅰ）现从听力等级为（0，10]的同学中任意抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数X，求X的分布列与数学期望．（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽出的4人中任选一人参加一个更高级别的听力测试，测试规则如下：四个音叉的发声情况不同，由强到弱的次序分别为1，2，3，4，测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号a1，a2，a3，a4（其中a1，a2，a3，a4为1，2，3，4的一个排列），若Y为两次排序偏离程度的一种描述，Y=|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|，求Y≤2的概率．参考答案：【考点】B8：频率分布直方图；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）根据题意得X的可能值为0，1，2，3，4，求出对应的概率，写出X的分布列，计算数学期望值；（Ⅱ）序号a1，a2，a3，a4的排列总数为，计算Y≤2对应的种数为Y=0或Y=2时共4种，求出对应的概率值．【解答】解：（Ⅰ）X的可能值为0，1，2，3，4，则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==；∴X的分布列为X01234P数学期望为EX=0×+1×+2×+3×+4×=1.6；（Ⅱ）序号a1，a2，a3，a4的排列总数