正态分布-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册同步讲义（机构专用）

PAGE7.5正态分布知识梳理知识梳理1、函数。其中为参数。对任意的，，它的图象在x轴的上方，x轴和曲线之间的区域的面积为1，称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。若随机变量X的概率密度函数为，则称随机变量X服从正态分布，记为。特别地，当，时，称随机变量X服从标准正态分布2、正态曲线的特点(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(3)曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．3、正态分布的三个常用数据(1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827；(2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9545；(3)P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.9973.知识典例知识典例题型一正态分布的计算例1已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)．若P(X>2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)＝()A．0.477 B．0.628C．0.954 D．0.977C[解析]因为μ＝0，所以P(X>2)＝P(X<－2)＝0.023，所以P(－2≤X≤2)＝1－2×0.023＝0.954.巩固练习巩固练习已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X＞2)＝0.15，则P(0≤X≤1)＝()A．0.85 B．0.70C．0.35 D．0.15【解析】P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)＝0.5－P(X＞2)＝0.35.题型二正态分布实际应用例2某投资者在两个投资方案中选择一个,这两个投资方案的利润X(单位:万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(7,12).投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大,那么他应该选择哪一个方案?解对于第一个方案有X~N(8,32),其中μ1=8,σ1=3,P(X>5)=1+P(5≤X≤11)2对于第二个方案有X~N(7,12),其中μ2=7,σ2=1,P(X>5)=1+P(5≤X≤9)2显然第二个方案“利润超过5万元”的概率比较大,故他应该选择第二个方案.巩固练习巩固练习从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得频率分布直方图如图所示.(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2);②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用①的结果,求E(X).附:150≈12.2.若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)≈0.9545.解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.(2)①由(1)知,Z~N(200,150),从而P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2)≈0.6827.②由①知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6827,依题意知X~B(100,0.6827),所以E(X)=100×0.6827=68.27.巩固提升巩固提升1、若随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X>5)＝P(X<－1)＝0.2，则P(2<X<5)＝________．[解析]因为随机变量X～N(μ，σ2)，所以正态曲线关于直线x＝μ对称．又P(X>5)＝P(X<－1)＝0.2，所以μ＝eq\f(5－1,2)＝2，所以P(2<X<5)＝P(X>2)－P(X>5)＝0.5－0.2＝0.3.[答案]0.32、已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为()(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)≈68.27%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)≈95.45%)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)≈0.6827，P(－6＜ξ＜6)≈0.9545，故P(3＜ξ＜6)＝eq\f(P（－6＜ξ＜6）－P（－3＜ξ＜3）,2)＝eq\f(0.9545－0.6827,2)＝0.1359＝13.59%，故选B．3、已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),若P(ξ<4)=0.9,则P(-2<ξ<1)=()A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6解析由题意可知正态曲线关于x=1对称,P(ξ>4)=1-P(ξ<4)=0.1,根据对称性可知,P(ξ<-2)=P(ξ>4)=0.1,故P(-2<ξ<1)=0.5-P(ξ<-2)=0.5-0.1=0.4.答案C4、某班有50名学生,一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100,σ2),已知P(90≤ξ≤100)=0.3,估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为.

解析由题意知,P(ξ>110)=1-2P(90≤ξ≤100)2=0.2,故估计该班学生数学成绩在110答案105、已知某地农民工年均收入X服从正态分布,其正态曲线如图所示.(1)写出此地农民工年均收入的密度函数解析式;(2)求此地农民工年均收入在8000~8500元之间的人数所占的百分比.解设此地农民工年均收入X~N(μ,σ2),结合题图可知,μ=8000,σ=500.(1)此地农民工年均收入的密度函数解析式为f(x)=15002πe-(2)∵P(7500≤X≤8500)=P(8000-500≤X≤8000+500)≈0.6827,∴P(8000<X≤8500)=12P(7500≤X≤8500)≈0.34135=34.135%故此地农民工年均收入在8000~8500元之间的人数所占的百分比为34.135%.6、云南省2016年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名高中男生的身高服从正态分布N(170.5，16)．现从云南省某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[157.5，162.5)，第2组[162.5，167.5)，…，第6组[182.5，187.5]，如图是按上述分组方式得到的频率分布直方图．(1)试评估该校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况；(2)求这50名男生身高在177.5cm以上(含177.5cm)的人数；(3)从这50名男生身高在177.5cm以上(含177.5cm)的人中任意抽取2人，该2人中身高排名(从高到低)在全省前135名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.9973.[解](1)由频率分布直方图知，该校高三年级男生平均身高为160×0.1＋165×0.2＋170×0.3＋175×0.2＋180×0.1＋185×0.1＝171.5(cm)，该校高三年级男生的平均身高高于全省高中男生身高的平均值170.5(cm)．(2)由频率分布直方图知，后两组频率和为0.2，所以人数和为0.2×50＝10，即这50名男生中身高在177.5cm以上(含177.5cm)的人数为10.(3)因为P(170.5－3×4<ξ≤170.5＋3×4)≈0.9973，所以P(ξ≥182.5)＝eq\f(1－0.9973,2)＝0.00135，又0.00135×100000＝135.所以身高在182.5cm以上(含182.5cm)的高中男生可排进全省前135名．因为该校这50名男生中身高在182.5cm以上(含182.5cm)的有5人，身高在177.5cm以上(含177.5cm)的有10人，随机变量ξ可取0，1，2，于是P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(10,45)＝eq\f(2,9)，P(ξ