2018高考江苏数学试题与解析解析版

2017年一般高等学校招生全国一致考试（卷）数学I一、填空题：本大题共14小题，每题5分，合计70分．请把答案填写在答题卡相应地点上．．．．．．．．．（1）【2017年，1，5分】已知会合A{1，2}，B{a,a23}．若AIB1，则实数a的值为_______．【答案】122【分析】∵会合A{1，2}，B{a,a3}．AIB1，∴a1或a31，解得a1．（2）【2017年，2，5分】已知复数z1i12i，此中i是虚数单位，则z的模是_______．【答案】10【分析】复数z1i12i123i13i，∴z23210．1【评论】此题观察了复数的运算法例、模的计算公式，观察了推理能力与计算能力，属于基础题．（3）【2017年，3，5分】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不一样型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_______件．【答案】18【分析】产品总数为2004003001001000件，而抽取60辆进行检验，抽样比率为606，则应从丙1000100618件．种型号的产品中抽取300100【评论】此题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的构造和整体的构造保持一致，依据必定的比率，即样本容量和整体容量的比值，在各层中进行抽取．（4）【2017年，4，5分】如图是一个算法流程图：若输入x的值为1，则输出y的值是_______．【答案】21611log224【分析】初始值x，不满足x1，所以y2log21622．16【评论】此题观察程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的累积，属于基础题．（5）【2017年，5，5分】若tan41．则tan_______．6【答案】75tantantan117【分析】Qtan46tan1，解得tan．tan1，∴6tan541tantan64【评论】此题观察了两角差的正切公式，属于基础题．（6）【2017年，6，5分】如如图，在圆柱O1O2有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则V1的值是________．V2【答案】32R3【分析】设球的半径为R，则球的体积为：43R23V1233R，圆柱的体积为：2R2R．则V24R3．2【评论】此题观察球的体积以及圆柱的体积的求法，观察空间想象能力以及计算能力．3（7）【2017年，7，5分】记函数f(x)6xx2的定义域为D．在区间[4，5]上随机取一个数x，则xD的概率是________．【答案】59x20得x2【分析】由6xx60，得2x3，则D[2，3]，则在区间[4，5]上随机取一个数x，则xD的概率P325．549【评论】此题主要观察几何概型的概率公式的计算，联合函数的定义域求出D，以及利用几何概型的概率公式是解决此题的要点．2（8）【2017年，8，5分】在平面直角坐标系xoy中，双曲线xy21的右准线与它的两条渐近线分别交于3点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是_______．【答案】23【分析】双曲线x221的右准线：x3，双曲线渐近线方程为：y3x，所以P3,3，Q33，3y322,222F12,0．F22,0．则四边形F1PF2Q的面积是：14323．2【评论】此题观察双曲线的简单性质的应用，观察计算能力．（9）【2017年，9，5分】等比数列an的各项均为实数，其前n项的和为Sn，已知S37，S663，则a8________．44【答案】32【分析】设等比数列an的公比为q1，∵S37，S663，∴a11q37，a11q663，441q41q4解得a11，q2．则a812732．44【评论】此题观察了等比数列的通项公式与乞降公式，观察了推理能力与计算能力，属于中档题．（10）【2017年，10，5分】某企业一年购置某种货物600吨，每次购置x吨，运费为6万元/次，一年的总储存花费为4x万元，要使一年的总运费与总储存费之和最小，则x的值是________．【答案】30【分析】由题意可得：一年的总运费与总储存花费之和=60064x42900x240（万元）．xx当且仅当x30时取等号．【评论】此题观察了基本不等式的性质及其应用，观察了推理能力与计算能力，属于基础题．（11）【2017年，11，5分】已知函数fx32xx1a1f20，xeex，此中e是自然数对数的底数，若f2a则实数a的取值围是________．【答案】1,12【分析】函数fxx32xex1x的导数为：fx3x2x122x10，可得fx在R上2eexexee递加；又fxfx32xexexx32xex10，可得fx为奇函数，xex1．则fa1f2a20，即有f2a2fa1f1a，即有2a21a，解得1a2【评论】此题观察函数的单一性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，观察转变思想的运用和二次不等式的解法，观察运算能力，属于中档题．uuuruuuruuuruuur（12）【2017年，12，5分】如图，在同一个平面，向量1，1，OA，OB，OC，的模分别为2，OA与uuuruuuruuuruuuruuuruuur，且tanR），则OC的夹角为7，OB与OC的夹角为45。若OCmOAnOB（m,nn________．【答案】3A1,0uuuruuur，且tan7．【分析】以以下图，成立直角坐标系．．由OA与OC的夹角为∴cos1，sin7．∴C1,7．cos452cossin32．5252555sin452sincos4．∴B3,4uuuruuuruuurR），25．∵OCmOAnOB（m,n55∴1m3n，704n，解得n7，m5．则mn3．555544【评论】此题观察了向量坐标运算性质、和差公式，观察了推理能力与计算能力，属于中档题．（13）【2017年，13，5分】在平面直角坐标系xOy中，，，点P在圆2250上，若uuuruuurA（-12，0）B（0，6）O：xyPAPB20，则点P的横坐标的取值围是________．【答案】52,1【分析】依据题意，设Px0,y0，则有x02y0250，uuuruuur12x0,y0x0,6y012x0x0y06y012x06y02220，PAPBx0y0化为12x06y0300，即2x0y050，表示直线2xy50以及直线下方的地区，联立x02y0250，解可得x05或x01，由图得：点P的横坐标x0的取值围是52,1．2x0y050【评论】此题观察数目积运算以及直线与圆的地点关系，要点是利用数目积化简变形获得对于x0、y0的关系式．（14）【2017年，14，5分】设fx是定义在R且周期为1的函数，在区间0,1上，fxx2,xD，此中x,xD会合Dxxn1,nN*，则方程fxlgx0的解的个数是_______．n【答案】8【分析】∵在区间0,1上，fxx2,xD，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又fx是定义在Rx,xD2D，此时fx上且周期为1的函数，∴在区间1,2上，fxx1,x的图象与ylgx有且只有x1,xD一个交点；同理：区间2,3上，fx的图象与ylgx有且只有一个交点；区间3,4上，fx的图象与ylgx有且只有一个交点；区间4,5上，fx的图象与ylgx有且只有一个交点；区间5,6上，fx的图象与ylgx有且只有一个交点；区间6,7上，fx的图象与ylgx有且只有一个交点；区间7,8上，fx的图象与ylgx有且只有一个交点；区间8,9上，fx的图象与ylgx有且只有一个交点；在区间9，上，fx的图象与ylgx无交点；故fx的图象与ylgx有8个交点；即方程fxlgx0的解的个数是8．【评论】此题观察的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转变思想，难度中档．二、解答题：本大题共6小题，合计90分．请在答题卡指定地区作答，解答时应写出必需的文字说明、证明过．．．．．．．程或演算步骤．（15）【2017年，15，14分】如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点、（与、不重合）分别在棱，上，且EFAD．EFEADADBD1）EF//平面ABC；（2）ADAC．解：（1）在平面ABD，由于ABAD，EFAD，所以EF//AB．又由于EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF//平面ABC．2）由于平面ABD平面BCD，平面ABDI平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD．由于AD平面ABD，所以BCAD．又ABAD，BCIABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC，又由于AC平面ABC，所以ADAC．【评论】此题观察线面平行及线线垂直的判断，观察空间想象能力，观察转变思想，波及线面平行判判定理，线面垂直的性质及判判定理，注意解题方法的累积，属于中档题．（16）【2017年，16，14分】已知向量acosx，sinx，b3,3，x0,．（1）若a//b，求x的值；（2）记fxab，求fx的最大值和最小值以及对应的x的值．解：（1）由于a(cosx,sinx)，b(3,3)，a//b，所以3cosx3sinx．若cosx0，则sinx0，2x20．于是tanx30,，所以x5π与sincosx1矛盾，故cosx3．又x．6（2）πf(x)ab(cosx,sinx)(3,3)3cosx3sinx23cos(x6)．由于x0,ππ7π，从而1π3ππ0时，fx，所以x[,]cos(x)．于是，当x，即x6666266取到最大值π，即x5π3．3；当x时，fx取到最小值266【评论】此题观察了向量的平行和向量的数目积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题．（17）【2017年，17，14分】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2y2E:a2+b2=1ab0的左、右焦点分别为F，F2，离心率为1，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一12象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．1）求椭圆E的标准方程；2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标，解：（1）设椭圆的半焦距为c．由于椭圆E的离心率为1，两准线之间的距离为8，所以c1，2a22a28，解得a2,c1，于是ba2c23，所以椭圆E的标准方程是x2y21．c43（2）解法一：由（1）知，F1(1,0)，F2(1,0)．设P(x0,y0)，由于点P为第一象限的点，故x00,y00．当x01时，l2与l1订交于F1，与题设不符．当x01时，直线PF1的斜率为y0，直线PF2的斜率为y0，l2⊥PF2，所以直线l1的x01x0．由于l1⊥PF11斜率为x01l2的斜率为x01的方程：yx011)，①y0，直线，从而直线l1y0(xy0直线l2的方程：yx01(x1)．②由①②，解得xx,y1x02，所以Q(x,1x02)．y00y00y0由于点Q在椭圆上，由对称性，得1x0222221．y0y0，即x0y01或x0y0x2y2x02y0214737又P在椭圆E上，故1．由x02y02，解得x0,y00017；43437x02y021473722，无解．所以点P的坐标为(x0y01,)．773解法二：设Pm,n，由P在第一象限，则m0，n0，当m1时，kPF不存在，解得：Q与F重合，不满足题意，21当m1时，kPF2n，kPFn，由l1PF1，l2PF2，则klm1，kl2m1，m11m11nn直线l1的方程ym11，①直线l2的方程ym11，②nxxm,m2nm2联立解得：xm，则Q1，由Q在椭圆方程，由对称性可得：1n2，即m2n21，nnm21n2m2161m2n2或m2n21，由P（m,n），在椭圆方程，m2n2，解得：7，或m2n2，无解，431n294317又P在第一象限，所以P的坐标为：P47,37．77【评论】此题观察椭圆的标准方程，直线与椭圆的地点关系，观察直线的斜率公式，观察数形联合思想，观察计算能力，属于中档题．18）【2017年，18，16分】如如图，水平搁置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为107cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽视不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；E处，另一端置于侧棱GG上，求l没入水中部分的长度．（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点1解：（1）由正棱柱的定义，CC1⊥平面ABCD，所以平面A1ACC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC．记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处．由于AC107,AM40，所以MC402(102，7)30从而sin∠MAC3，记AM与水面的焦点为P1，过P1作PQ11AC，Q1为垂足，4PQ则1111．PQ平面ABCD，故PQ12，从而AP11161sin∠MAC16cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为（2）如图，，1是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义，OO平面EFGH，所以平面EEGGOOOOEG．同理，平面E1EGG1平面111平面EFGH，E1FGH，OOE1G1．记玻璃棒的另一端落在11111GG1上点N处．过G作GKE1G，K为垂足，则GKOO132．由于EG14，E1G162，所以KG1621424，从而GG1KG12GK224232240．24设∠EGG1,∠ENG，则sinsin(∠KGG1)cos∠KGG1．52由于，所以cos3．在△ENG中，由正弦定理可得4014，2sinsin5解得724sin25．由于02，所以cos25．于是sin∠NEGsin()sin()sincoscossin424(3)73．记EN与水面的交点为P2，过P2作P2Q2EG2为垂足，则P2Q2525525512，平面EFGH，故P2Q2，Q从而EP2P2Q220．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．∠NEGsin【评论】此题观察玻璃棒l没入水中部分的长度的求法，观察空间中线线、线面、面面间的地点关系等基础知识，观察推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，观察数形联合思想、化归与转变思想，是中档题．（19）【2017年，19，16分】对于给定的正整数k，若数列an满足an﹣kan﹣k1an﹣1an1ank﹣1ank2kan对随意正整数nnk总成立，则称数列an是“Pk数列”．（1）证明：等差数列an是“P3数列”；（2）若数列an既是“P2数列”，又是“P3数列”，证明：an是等差数列．解：（1）由于an是等差数列，设其公差为d，则ana1(n1)d，从而，当n4时，ankanka1(nk1)da1(nk1)d2a12(n1)d2an，k1,2,3,所以an3an2++an2+6an，所以等差数列an是“P3数列”．an1an1an3（2）数列an既是“P2数列”，又是“P3数列”，所以，当n3时，an2an1an1an24an，①当n4时，an3an2an1an1an2an36an．②由①知，n3an24an1(anan1)，③n2an34n1n1n)，④aaa(aa将③④代入②，得an1an12an，此中n4，所以a3,a4,a5,L是等差数列，设其公差为d'．在①中，取n4，则a2a3a5a64a4，所以a2a3d'，在①中，取n3，则a1a2a4a54a3，所以a1a22d'，所以数列{an}是等差数列．【评论】此题观察等差数列的性质，观察数列的新定义的性质，观察数列的运算，观察转变思想，属于中档题．（20）【2017年，20，16分】已知函数fxx3ax2bx1a0,bR有极值，且导函数fx的极值点是fx的零点。（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）．（1）求b对于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b23a；（3）若fx，fx这两个函数的所有极值之和不小于7，求a的取值围．222a)a时，f解：（1）由f(x)x3ax2bx1，得f(x)3x22axb3(x2ba．当x(x)有极小值ba．3333由于f(x)的极值点是f(x)的零点．所以f(a)a3a3ab10，又a0，故b2a23．3a227939a由于f(x)有极值，故fx=0有实根，从而b1(27a3)0，即a3．39aa3时，f(x)>0(x1)，故f(x)在R上是增函数，f(x)没有极值；a3时，f(x)=0有两个相异的实根x1=aa23b，x2=aa23b．33列表以下：x(,x)x(x,x)x(x,)111222f(x)+0–0+f(x)Z极大值]极小值Z故f(x)的极值点是x1,x2．从而a3，所以b2a23，定义域为(3,)．9a2b2aa3（2）由（1）知，=．设g(t)=2t3，则g(t)=232t27．a9aa9t9t29t2当t(36,)时，g(t)0，从而g(t)在(36,)上单一递加．22由于a3，所以aa33，故g(aa)>g(33)=3，即b>3．所以b2>3a．a（3）由（1）知，f(x)的极值点是x1,x2，且x1x22a，x12x224a26b．从而f(x1)f(x2)x13ax121x23ax2239bx1bx21x1(3x12x2(3x2232ax1b)2ax2b)1a(x12x22)2b(x1x2)24a6ab4ab203333279记f(x)，f(x)所有极值之和为h(a)，由于f(x)的极值为ba21a23，所以h(a)=1a23，a3．39a9a由于h(a)=2a30，于是h(a)在(3,)上单一递减．由于h(6)=7，于是h(a)h(6)，故a6．9a22所以a的取值围为(3，6]．【评论】此题观察利用导数研究函数的单一性、极值，观察运算求解能力，观察转变思想，注意解题方法的累积，属于难题．数学Ⅱ21【选做题】此题包含A、B、C、D四小题，请选定此中两题，并在相应的答题地区作答，若多做，则按作答的．．．．．．．．．．．．．．．．．前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（21-A）【2017年，21-A，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB为半圆O的直径，直线切半圆O于点，APPC，P为垂足．PCC求证：（1）PACCAB；（2）AC2AP·AB。解：（1）由于PC切半圆O于点C，所以∠PCA∠CBA，由于AB为半圆O的直径，所以∠ACB90，由于⊥，所以∠APC90，所以PACCAB．APPC（2）由（1）知△APC∽△ACB，故APAC，所以AC2AP·AB．ACAB【评论】此题观察了弦切角定理、圆的性质、三角形角和定理、三角形相像的判断与性质定理，观察了推理能力与计算能力，属于中档题．（21-B）【2017年，21-B，10分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵0110A，B．1002（1）求AB；22（2）若曲线Cxy=1在矩阵AB对应的变换作用下获得另一曲线C2求C2的方程．1；82，解：（1）由于A01B10，所以AB0110021，0210021．00（2）设Q(x0,y0)为曲线C1上的随意一点，它在矩阵AB对应的变换作用下变成P(x,y)，02x0x2y0xx0y22x．由于Q(x0,y0)在曲线C1上，所以x0y01，则y，即x0y，所以y010y0288从而x2y21，即x2y28．所以曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下获得曲线C2：2y28．x8【评论】此题观察了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题．（21-C）【2017年，21-C，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面坐标系中xOy中，已知直线l的参照方x8t（t为参数），曲线C的参数方程为x2s2程为yty2（s为参数）。设p为曲线C上的动点，求22s点P到直线l的距离的最小值．解：直线l的一般方程为x2y80．由于点P在曲线C上，设22s)，P(2s,2242s8|2(s2)24从而点P到直线l的的距离d|2s时，dmin45．(1)2(2)25，当s25所以当点P的坐标为4,4时，曲线C上点P到直线l的距离取到最小值45．5【评论】此题观察了参数方程的应用，属于基础题．（21-D）【2017年，21-D】（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）已知a,b,c,d为实数，且a2b24，c2d216，证明acbd8．解：由柯西不等式可得：(acbd)2(a2b2)(c2d2)，由于a2b24,c2d216,所以(acbd)264，所以acbd8．【评论】此题观察了对和差公式、三角函数的单一性、不等式的性质，观察了推理能力与计算能力，属于中档题．【必做题】第22、23题，每题10分，计20分．请把答案写在答题卡的指定地区．．．．．．．．．．．（22）【2017年，22，10分】如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，且ABAD2，AA13，BAD120．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角BA1DA的正弦值．解：在平面ABCD，过点A作AEAD，交BC于点E．由于AA1平面ABCD，所以AA1AE，AA1AD．如图，以uuuruuuruuur为正交基底，成立空间直角坐标系Axyz．AE,AD,AA1ABAD2，AA13，BAD120．则A(0,0,0),B(3,1,0),D(0,2,0),E(3,0,0),A1(0,0,3),C1(3,1,3)．uuuruuuur（1）A1B(3,1,3),AC1(3,1,3)，uuuruuuuruuuruuuur(3,1,3)(3,1,3)1则c