2023年九年级中考数学高频考点突破-圆的综合训练【含答案】_第1页
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文档简介

2023年九年级中考数学高频考点突破-圆的综合训练1.在如图所示的平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(0,3),B(1,0),C(3,(1)在图1中画出△ABC关于点D成中心对称的图形△A(2)在图2中作出△ABC的外接圆的圆心M(保留作图痕迹);(3)△ABC外接圆的圆心M的坐标为.2.已知:如图,△ABC内接于⊙O,AB为直径,∠CBA的平分线交AC于点F,交⊙O于点D,DE⊥AB于点E,且交AC于点P,连接AD.(1)求证:∠DAC=∠DBA;(2)连接CD,若CD=6,BD=8,求⊙O的半径和DE的长.3.如图,已知点A,B,C,D均在已知圆上,AD∥BC,CA平分∠BCD,∠ADC=120°,四边形ABCD的周长为10.(1)求此圆的半径;(2)求图中阴影部分的面积.4.如图,AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,垂足为点C,交⊙O于点D,点E在⊙O上.(1)若∠AOD=52°,求∠DEB的度数;(2)若CD=2,AB=8,求半径的长.5.如图,△ABC三个顶点坐标分别为A(3,4),B(1,2),C(4,1).(1)请画出△ABC关于原点O中心对称的图形△A1B(2)请画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的图形△A2B(3)求在(2)的旋转过程中,点A旋转到A2所经过的路径长(结果保留π6.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=45,在BC上取一点D,连结AD,作△ACD的外接圆⊙O,交AB于点E.张老师要求添加条件后,编制一道题目,并解答.(1)小明编制题目是:若AD=BD,求证:AE=BE.请你解答.(2)在小明添加条件的基础上请你再添加一条线段的长度,编制一个计算题(不标注新的字母),并直接给出答案.(根据编出的问题层次,给不同的得分)7.如图,已知A、B是⊙O上两点,△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C,CD⊥AB交AB的延长线于D.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)E为AB⏜的中点,F为⊙O上一点,EF交AB于G,若tan∠AFE=34,BE=BG,EG=38.如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD⊥CE,垂足为D,AC平分∠DAB.(1)求证:CE是⊙O的切线;(2)若AD=4,cos∠CAB=9.如图,以AB为直径的半圆中,点O为圆心,点C在圆上,过点C作CD∥AB,且CD=OB.连接AD,分别交OC,BC于点E,F,与⊙O交于点G,若∠ABC=45(1)求证:①△ABF∽△DCF;②CD是⊙O的切线.(2)求EFFG10.如图,⊙O为ΔABC的外接圆,D为OC与AB的交点,E为线段OC延长线上一点,且∠EAC=∠ABC.(1)求证:直线AE是⊙O的切线.(2)若D为AB的中点,CD=6,AB=16.①求⊙O的半径;②求ΔABC的内心到点O的距离.11.已知∠α的顶点在正n边形的中心点O处,∠α绕着顶点O旋转,角的两边与正n边形的两边分别交于点M、N,∠α与正n边形重叠部分面积为S.(1)当n=4,边长为2,∠α=90°时,如图(1),请直接写出S的值;(2)当n=5,∠α=72°时,如图(2),请问在旋转过程中,S是否发生变化?并说明理由;(3)当n=6,∠α=120°时,如图(3),请猜想S是原正六边形面积的几分之几(不必说明理由).若∠α的平分线与BC边交于点P,判断四边形OMPN的形状,并说明理由.12.在△ABC中,AC=6,BC=8,经过A,C的⊙O与BC边另一个公共点为D,与AB边另一个公共点为E,连接CE.(1)如图①,若∠ACB=90°,AC=EC,求⊙O的半径;(2)如图②,作∠BEF=∠ACE,交BC边于点F.求证:直线EF与⊙O相切.13.【学习概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形,连接这两个角的顶点的线段称为对余线.(1)【理解运用】

如图1,对余四边形中,AB=5,BC=6,CD=4,连接AC,若AC=AB,则cos∠ABC=,sin∠CAD=.(2)如图2,凸四边形中,AD=BD,AD⊥BD,当2CD2+CB2=CA2时,判断四边形ABCD是否为对余四边形,证明你的结论.(3)【拓展提升】

在平面直角坐标中,A(-1,0),B(3,0),C(1,2),四边形ABCD是对余四边形,点E在对余线BD上,且位于△ABC内部,∠AEC=90°+∠ABC.设AEBE=u,点D的纵坐标为t,请在下方横线上直接写出u与t的函数表达,并注明t的取值范围14.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作半圆⊙O,交BC于点D,连接AD,过点D作DE⊥AC,垂足为点E,交AB的延长线于点F.(1)求证:EF是⊙0的切线.(2)如果⊙0的半径为5,sin∠ADE=4515.已知点M,N的坐标分别为(0,1),(0,﹣1),点P是抛物线y=14x2(1)求证:以点P为圆心,PM为半径的圆与直线y=﹣1的相切;(2)设直线PM与抛物线y=14x216.在平面直角坐标系xOy中,给出如下定义:点P为图形G上任意―点,将点P到原点O的最大距离与最小距离之差定义为图形G的“全距”.特别地,点P到原点O的最大距离与最小距离相等时,规定图形G的“全距”为0.(1)如图,点A(−3,1)①原点O到线段AB上一点的最大距离为▲,最小距离为▲;②当点C的坐标为(0,m)时,且(2)已知OM=2,等边△DEF的三个顶点均在半径为1的⊙M上.请直接写出△DEF的“全距”d的取值范围.

答案解析部分1.【答案】(1)解:如图所示,△A(2)解:如图连接AE、FG,交点即为△ABC的外接圆的圆心M;(3)(【知识点】两一次函数图象相交或平行问题;三角形的外接圆与外心;作图﹣旋转【解析】【解答】解:(3)由题意可知A(0,3),E(2,1),设AE解析式为y=kx+b,代入A(0,3),1=2k+bb=3,解得k=−1b=3,AE解析式为同理可求FG解析式为y=3x−2,联立方程组得,y=−x+3y=3x−2,解得M的坐标为(5故答案为:(5【分析】(1)分别连接AD、BD、CD并延长,使AD=A1D,BD=B1D,CD=C1D,然后顺次连接可得△A1B1C1;

(2)连接AE、FG,交点即为△ABC的外接圆的圆心M;

(3)求出直线AE、FG的解析式,然后联立求出x、y,据此可得圆心M的坐标.2.【答案】(1)证明:∵AC是∠CBA的平分线,∴∠CBD=∠DBA,由圆周角定理得:∠DAC=∠CBD,∴∠DAC=∠DBA(2)解:如图:∵∠CBD=∠DBA,∴AD=CD=6,∴AB=A∴⊙O的半径为5,∵1∴1解得:DE=4.【知识点】圆心角、弧、弦的关系;圆周角定理【解析】【分析】(1)根据角平分线定义得∠CBD=∠DBA,根据同弧所对的圆周角相等得∠DAC=∠CBD,再等量代换即可得出答案;

(2)根据圆心角、弧、弦的关系得AD=CD=6,利用勾股定理算出AB的长,根据等面积法即可建立方程求出DE的长.3.【答案】(1)解:∵AC平分∠BCD,∴∠ACD=∠ACB,又∵AD∥BC,∴∠ACB=∠DAC=∠ACD,而∠ADC=120°,∴∠ACB=∠DAC=∠ACD=30°,∠B=60°,∴AB=AD=DC,且∠BAC=90°,∴BC为直径,设AB=x,则BC=2AB=2x,又∵四边形ABCD的周长为10cm,∴x+x+x+2x=10,解得x=2,即⊙O的半径为2;(2)解:设圆心为O,连接OA、OD,由(1)可知OA=OD=AD=2,∴△AOD为等边三角形,∴∠AOD=60°;∵AD∥BC,∴SΔAOD=S∴S阴影【知识点】圆周角定理;扇形面积的计算【解析】【分析】(1)根据平行线的性质以及角平分线的定义,得∠CAD=∠ACD=∠ACB=30°,再根据圆周角定理的推论得到弧AB=弧AD=弧CD,则AB=AD=CD,由角的度数可以求得∠BAC=90°,根据直角三角形30度所对的直角边等于斜边的一半可得BC=2AD,再根据四边形的周长列方程计算即可求解;

(2)连接OA,OD,根据两条平行线间的距离处处相等,可得三角形AOD的面积等于三角形ACD的面积,再根据S阴影=S扇形AOD-S△AOD可求解.4.【答案】(1)解:∵OD⊥AB,∴AD=∵∠AOD=52°,∴∠DEB=12(2)解:设⊙O的半径为x,则OC=OD-CD=x-2,∵OD⊥AB,∴AC=12AB=1在Rt△AOC中,OA2=AC2+OC2,∴x2=42+(x-2)2,解得:x=5,∴⊙O的半径为5.【知识点】垂径定理;圆心角、弧、弦的关系;圆周角定理【解析】【分析】(1)由OD⊥AB,可得AD=BD,然后由圆周角定理求得∠DEB的度数.

(2)由垂径定理可得AC=4,然后设⊙O的半径为x,由勾股定理即可求得方程:x2=42+(x-2)5.【答案】(1)解:根据中心对称的性质先确定点A1、B1、C1的位置,顺次连线即可得到图形,如图所示,△A∵点A的坐标为(3,4),中心对称横纵坐标都是互为相反数,∴点A1的坐标为(2)解:根据旋转的性质确定点A2、B2、C2的位置,顺次连线即可得到图形;如图所示,△A∵以原点为旋转中心,图形上的点坐标横纵坐标换位,符号改变看象限,点A坐标为(3,4),∴点A2的坐标为(3)解:根据题意可知,∠AOA2=90°∴点A旋转到A2所经过的路径长为:90⋅π⋅5【知识点】点的坐标;弧长的计算;作图-三角形【解析】【分析】(1)根据题意作图,再求点的坐标即可;

(2)根据旋转作图,再结合图象求点的坐标即可;

(3)先求出OA=5,再根据弧长公式计算求解即可。6.【答案】(1)解:连结DE,∵∠C=90°,∴AD为直径,∴DE⊥AB,∵AD=BD,∴AE=BE;(2)解:答案不唯一.①第一层次:若AC=4,求BC的长.答案:BC=8;或AD=3,求BD的长.答案:BD=3;②第二层次:若CD=3,求BD的长.答案:BD=5;③第三层次:若CD=3,求AC的长.设BD=x,∵∠B=∠B,∠C=∠DEB=90°,∴△ABC~△DBE,∴BD∴x4∴x=5,∴AD=BD=5,∴AC=52【知识点】等腰三角形的性质;勾股定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)连结DE,由圆周角定理易证DE⊥AB,再根据等腰三角形的性质即可证明AE=BE;(2)本题答案不唯一,可以从三个层次编制一个计算题,如:若CD=3,求AC的长.设BD=x,易证△ABC~△DBE,由相似三角形的性质可求出AD的长,再根据勾股定理即可求出AC的长.7.【答案】(1)证明:连接OC,如图,∵BC平分∠OBD,∴∠OBD=∠CBD,∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∴∠OCB=∠CBD,∴OC∥AD,而CD⊥AB,∴OC⊥CD,∴CD是⊙O的切线(2)解:连接OE交AB于H,如图,∵E为AB⏜∴OE⊥AB,∵∠ABE=∠AFE,∴tan∠ABE=tan∠AFE=34∴在Rt△BEH中,tan∠HBE=EH设EH=3x,BH=4x,∴BE=5x,∵BG=BE=5x,∴GH=x,在Rt△EHG中,x2+(3x)2=(310)2,解得x=3,∴EH=9,BH=12,设⊙O的半径为r,则OH=r-9,在Rt△OHB中,(r-9)2+122=r2,解得r=252即⊙O的半径为252【知识点】勾股定理;垂径定理;切线的判定;解直角三角形的应用【解析】【分析】(1)连接OC,如图,根据角平分线的定义得出∠OBD=∠CBD,根据等边对等角得出∠OBC=∠OCB,故∠OCB=∠CBD,根据内错角相等两直线平行得出OC∥AD,根据平行线的性质得出OC⊥CD,根据切线的判定定理即可得出结论;

(2)连接OE交AB于H,如图,根据垂径定理得出OE⊥AB,根据同弧所对的圆周角相等得出∠ABE=∠AFE,根据等角的同名三角函数值相等得出tan∠ABE=tan∠AFE=34,在Rt△BEH中,tan∠HBE=EH8.【答案】(1)证明:如图,连接OC.∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∵∠OAC=∠DAC∴∠DAC=∠OCA∵AD⊥CE∴∠DAC+∠DCA=∴∠OCA+∠DCA=90即∠OCD=∵C为⊙O上一点∴CE是⊙O的切线·(2)解:如图,连接BC.∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90∴∠ACB=∠ADC,∵∠BAC=∠CAD∴△CDA∽△BCA∴AD∴AC=4×∴AB=6×64【知识点】切线的判定;相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)先求出∠OAC=∠OCA,再求出∠OCD=90∘,最后证明求解即可;9.【答案】(1)证明:①∵CD∥AB,∴∠D=∠A,且对顶角∠CFD=∠BFA,∴△ABF∽△DCF;②∵OB=CO,∴∠OCB=∠ABC=45°,∴∠COB=180°-∠OCB-∠ABC=90°,∵CD∥AB,∴∠OCD=∠COB=90°,∴CD是圆O的切线(2)解:连接DB,连接BG交CD于M点,如下图所示:∵CD∥BO且CD=BO,∴四边形COBD为平行四边形,∵∠COD=90°,CO=BO,∴四边形COBD为正方形,由(1)知:△ABF∽△DCF,∴CFBF∵CE∥DB,∴△CEF∽△BDF,∴CEBD∵AB是半圆的直径,∴∠AGB=∠BGD=90°,∴∠GBD+∠BDG=90°=∠BDC=∠BDG+∠EDC,∴∠GBD=∠EDC,且BD=CD,∠BDM=∠DCE=90°,∴△BDM≌△DCE(ASA),∴DM=CE,即M为CD的中点,设CM=x,则DB=CD=2x,BC=22由勾股定理知:BM=D在Rt△MBD中由等面积法知:12代入数据得到:5x⋅DG=x⋅2x,解得DG=在Rt△DGB中由勾股定理可知:BG=D又△CEF∽△BDF且其相似比为CEBD∴BF=2在Rt△BFG中由勾股定理可知:FG=B∴EF=DE−DG−FG=5∴EF【知识点】平行线的性质;正方形的判定与性质;圆周角定理;切线的判定;相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)①根据平行线的性质可得∠D=∠A,由对顶角的性质可得∠CFD=∠BFA,然后根据相似三角形的判定定理进行证明;②根据等腰三角形的性质可得∠OCB=∠ABC=45°,结合内角和定理可得∠COB=90°,由平行线的性质可得∠OCD=∠COB=90°,据此证明;

(2)连接DB,连接BG交CD于M点,易得四边形COBD为正方形,根据相似三角形的对应边成比例可得CFBF=CD10.【答案】(1)证明:如图:连接AO,并延长AO交⊙O于点F,连接CF,∵AF是直径,∴∠ACF=90°,∴∠F+∠FAC=90°,∵∠F=∠ABC,∠ABC=∠EAC,∴∠EAC=∠F,∴∠EAC+∠FAC=90°,∴∠EAF=90°,∵AO是半径,∴直线AE是⊙O的切线(2)解:①如图,连接AO,∵D为AB的中点,OD过圆心,∴OD⊥AB,AD=BD=12∵AO2=AD2+DO2,∴AO2=82+(AO-6)2,∴AO=253∴⊙O的半径为253②如图,作∠CAB的平分线交CD于点H,连接BH,过点H作HM⊥AC,HN⊥BC,∵OD⊥AB,AD=BD,∴AC=BC,∴CD平分∠ACB,即点H是△ABC的内心,∴MH=NH=DH,在Rt△ACD中,AC=A∵S△ABC=S△ACH+S△ABH+S△BCH,∴12×16×6=12×10×MH+12∴DH=83∵OH=CO-CH=CO-(CD-DH),∴OH=25【知识点】切线的判定;圆的综合题【解析】【分析】(1)根据题意先求出∠EAC=∠F,再求出∠EAF=90°,最后证明求解即可;

(2)①先求出OD⊥AB,AD=BD=12AB=8,再求出AO=253,即可作答;

11.【答案】(1)解:如图1,连接OA、OB,当n=4时,四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,AO⊥BO,∴∠AOB=90°,∴∠AON+∠BON=90°,∵∠MON=∠α=90°,∴∠AON+∠AOM=90°,∴∠BON=∠AOM,∵O是正方形ABCD的中心,∴∠OAM=∠ABO=45°,在△AOM和△BON中,∵∠OAM=∠ABOOA=OB∴△AOM≌△BON(ASA),∴S△AOM=S△BON,∴S△AOM+S△AON=S△BON+S△AON,即S四边形ANDM=S△ABO=S,∵正方形ABCD的边长为2,∴S正方形ABCD=2×2=4,∴S=S△ABO=14S正方形ABCD=1(2)解:如图2,在旋转过程中,∠α与正n边形重叠部分的面积S不变,理由如下:连接OA、OB,则OA=OB=OC,∠AOB=∠MON=72°,∴∠AOM=∠BON,且∠OAB=∠OBC=54°,∴△OAM≌△OBN,∴四边形OMBN的面积:S=S△OBN+S△OBM=S△OAM+S△OBM=S△OAB,故S的大小不变;(3)解:猜想:S是原正六边形面积的13如图3,连接OB、OD,同理得△BOM≌△DON,∴S=S△BOM+S四边形OBCN=S△DON+S四边形OBCN=S四边形OBCD=13S六边形ABCDEF四边形OMPN是菱形,理由如下:如图4,作∠α的平分线与BC边交于点P,连接OA、OB、OC、OD、PM、PN,∵OA=OB=OC=OD,∠AOB=∠BOC=∠COD=∠MOP=∠PON=60°,∴∠OAM=∠OBP=∠OCN=60°,∠AOM=∠BOP=∠CON,∴△OAM≌△OBP≌△OCN,∴OM=OP=ON,∴△OMP和△OPN都是等边三角形,∴OM=PM=OP=ON=PN,∴四边形OMPN是菱形.【知识点】全等三角形的判定与性质;正方形的性质;圆内接正多边形;几何图形的面积计算-割补法【解析】【分析】(1)连接OA、OB,利用正方形的性质,可证得OA=OB,∠BON=∠AOM,∠OAM=∠ABO,再利用ASA证明△AOM≌△BON,就可得出这两个三角形的面积相等,然后证明S四边形ANDM=S△ABO=S,求出正方形ABCD的面积,从而可求出S的值。

(2)连接OA、OB,易证△OAM≌△OBN,再证明S=S△OBN+S△OBM=S△OAM+S△OBM=S△OAB,即可证得结论。

(3)连接OB、OD,同理可证得△BOM≌△DON,再利用割补法可证得结论;根据已知条件,利用全等三角形的判定定理证明△OAM≌△OBP≌△OCN,利用全等三角形的性质,可证OM=OP=ON,然后利用等边三角形的性质,去证明OM=PM=OP=ON=PN,根据四边相等的四边形是菱形,可证得结论。

12.【答案】(1)解:如图,连接AD.∵AC=CE,∴∠CEA=∠CAE,∵∠CDA=∠CEA,∴∠CDA=∠CAE.又∠ACB=∠ACD,∴△ADC∽△BAC.∴CABC在△ABC中,AC=6,BC=8,∠ACB=90°,∴AB=A∴AD=15在⊙O中,∠ACD=90°,∴AD是⊙O直径.∴⊙O的半径为154另解:如图,连接CO并延长AE交于点F,∵AC=CE,∴CF⊥AE,∴∠AFC=∠ACB=90°,∵∠FAC=∠CAB,∴△FAC∽△CAB,∴AC∵AC=6,AB=10,∴AF=18∴CF=A设半径为r.在Rt△AOF中,OA=r,OF=CF−r=24由勾股定理得OF即(24解得r=15(2)证明:连接AO,EO,设∠BEF=∠ACE=x.由圆周角定理,∠AOE=2∠ACE=2x,∵OA=OE,∴∠OAE=∠OEA=90°−x,∴∠OEA+∠BEF=90°,∴∠OEF=90°,∴OE⊥EF,∵点E在⊙O上,∴直线EF与⊙O相切.【知识点】勾股定理;垂径定理;圆周角定理;切线的判定;相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)连接AD,证明△ADC∽△BAC,可得CABC=ADAB,利用勾股定理求出AB,代入比例式求出AD,由∠ACD=90°可得AD是⊙O直径,从而得出半径;

另解,如图,连接CO并延长AE交于点F,根据垂径定理得CF⊥AE,然后判断出△FAC∽△CAB,根据相似三角形的对应边成比例得出AC2=AF×AB,由此求出AF,根据勾股定理算出CF,设半径为r,在Rt△AOF中,利用勾股定理建立方程即可解出答案;

(2)连接AO,EO,设∠BEF=∠ACE=x,由圆周角定理可得13.【答案】(1)35;(2)解:如图②中,结论:四边形ABCD是对余四边形.理由:过点D作DM⊥DC,使得DM=DC,连接CM.∵四边形ABCD中,AD=BD,AD⊥BD,∴∠DAB=∠DBA=45°,∵∠DCM=∠DMC=45°,∴∠CDM=∠ADB=90°,∴∠ADC=∠BDM,∵AD=DB,CD=DM,∴△ADC≌△BDM(SAS),∴AC=BM,∵2CD2+CB2=CA2,CM2=DM2+CD2=2CD2,∴CM2+CB2=BM2,∴∠BCM=90°,∴∠DCB=45°,∴∠DAB+∠DCB=90°,∴四边形ABCD是对余四边形.(3)u=【知识点】圆周角定理;圆内接四边形的性质;相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义;三角形全等的判定(SAS)【解析】【解答】解:(1)过A作AE⊥BC于E,过C作CF⊥AD于F∵AB=AC,AE⊥BC∴BE=CE=12∴cos∠ABC=AEAB=∵四边形ABCD是对余四边形,∴∠B+∠D=90°又∵∠B+∠BAE=90°∴∠D=∠BAE又∵∠CFD=∠AEB=90°∴△ABE∽△DCF∴AB∴5∴CF=12∴sin∠CAD=CFAC=故答案为:35,12(3)如图③中,过点D作DH⊥x轴于H.∵A(﹣1,0),B(3,0),C(1,2),∴OA=1,OB=3,AB=4,AC=BC=22,∴AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°,∴∠CBA=∠CAB=45°,∵四边形ABCD是对余四边形,∴∠ADC+∠ABC=90°,∴∠ADC=45°,∵∠AEC=90°+∠ABC=135°,∴∠ADC+∠AEC=180°,∴A,D,C,E四点共圆,∴∠ACE=∠ADE,∵∠CAE+∠ACE=∠CAE+∠EAB=45°,∴∠EAB=∠ACE,∴∠EAB=∠ADB,∵∠ABE=∠DBA,∴△ABE∽△DBA,∴BEAB∴AEBE∴u=AD4设D(x,t),∵四边形ABCD是对余四边形,可得BD2=2CD2+AD2,∴(x﹣3)2+t2=2[(x﹣1)2+(t﹣2)2]+(x+1)2+t2,整理得(x+1)2=4t﹣t2,在Rt△ADH中,AD=AH2+D∴u=AD4即u=t2(0<t<4)

故答案为:u=t【分析】(1)过A作AE⊥BC于E,过C作CF⊥AD于F,根据等腰三角形的性质可得BE=CE=12BC=3,根据三角函数的概念可得cos∠ABC的值,根据四边形ABCD是对余四边形可得∠B+∠D=90°,根据同角的余角相等可得∠D=∠BAE,证明△ABE∽△DCF,由相似三角形的性质可得CF,然后根据三角函数的概念进行计算;

(2)过点D作DM⊥DC,使得DM=DC,连接CM,易得∠DAB=∠DBA=45°,∠ADC=∠BDM,证明△ADC≌△BDM,得到AC=BM,根据勾股定理可得CM2=DM2+CD2=2CD2,结合已知条件可得CM2+CB2=BM2(3)过点D作DH⊥x轴于H,根据点A、B、C的坐标可得OA=1,OB=3,AB=4,AC=BC=22,结合勾股定理逆定理知∠ACB=90°,根据四边形ABCD是对余四边形可得∠ADC+∠ABC=90°,则∠ADC=45°,易得A,D,C,E四点共圆,得到∠ACE=∠ADE,根据角的和差关系可推出∠EAB=∠ACE,证明△ABE∽△DBA,由相似三角形的性质可得AEBE=ADAB,则u=AD4,设D(x,t),根据对余四边形的概念可得BD2=2CD2+AD214.【答案】(1)证明:连接OD,如图,∵AB为⊙0的直径,∴∠ADB=90°,∴AD⊥BC,∵AB=AC,∴AD平分BC,即DB=DC,∵OA=OB,∴OD为△ABC的中位线,∴OD∥AC,∵DE⊥AC,∴OD⊥DE,∴EF是⊙0的切线(2)解:∵∠DAC=∠DAB,∴∠ADE=∠ABD,在Rt△ADB中,sin∠ADE=sin∠ABD=ADAB=4∴AD=8,在Rt△ADE中,sin∠ADE=AEAD=4∴AE=325∵OD∥AE,∴△FDO∽△FEA,∴ODAE=FOFA,即532∴BF=907【知识点】等腰三角形的性质;圆周角定理;切线的判定;解直角三角形【解析】【分析】(1)连接OD,AB为⊙0的直径得∠ADB=90°,由AB=AC,根据等腰三角形性质得AD平分BC,即DB=DC,则OD为△ABC的中位线,所以OD∥AC,而DE⊥AC,则OD⊥DE,然后根据切线的判定方法即可得到结论;(2)由∠DAC=∠DAB,根据等角的余角相等得∠ADE=∠ABD,在Rt△ADB中,利用解直角三角形的方法可计算出AD=8,在Rt△ADE中可计算出AE=325得△FDO∽△FEA,再利用相似比可计算出BF.15.【答案】(1)证明:设点P的坐标为(x0,14x20PM=x02+(14又因为点P到直线y=﹣1的距离为,14x20﹣(﹣1)=14x2所以,以点P为圆心,PM为半径的圆与直线y=﹣1相切.(2)解:如图,分别过点P,Q作直线

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