1平行四边形的判定2022年人教版八2022年级数学下册培优训练（Word版含答案）

平行四边形的判定[必备]☆知识点一平行四边的判定定理判定定理边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形对角线：（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形例1：如图所示，在平行四边形ABCD中，AE,CF分别是∠DAB,∠BCD的平分线.求证：四边形AFCE是平行四边形.:例2：如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB.①求证：四边形ABCD是平行四边形；②若去掉已知条件中的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由.2.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半例3：已知，如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点.求证：DE∥BC，且DE=BC.二、平行四边形的性质与判定的综合应用例1：如图，AD为△ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且AE=FE，试说明BF与AC相等.例2：已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E,F在AC上，且AF=CE，点G，H分别在AB,CD上，且AG=CH，AC与GH相交于点O。求证：（1）EG∥FH；（2）GH，EF互相平分.例3：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC=6cm，P,Q分别从A,C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C向B运动，多长时间后四边形ABQP是平行四边形？课后练习：1.四边形的四条边长分别是a,b,c,d，其中a,b为一组对边长，c,d为另一组对边长且a2+b2+c2+d2=2ab+2cd，则这个四边形是（）A.任意四边形B.平行四边形C.对角线相等的四边形D.对角线垂直的四边形2.已知，如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于O,E,F是对角线上的两点，给出下列四个条件；①OE=OF；②DE=BF；③∠ADE=∠CBF；④∠ABE=∠CDF.其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（）个个个个3.如图，点B、E分别在AC，DF上，AF分别交BD，CE于点M,N,∠A=∠F，∠1=∠2.①求证：四边形BCED是平行四边形；②已知DE=2，连接BB平分∠DBC，求CN的长.4：如图，在△ABC中，点D在BC上，且DC=AC，CE⊥AD于点E，点F是AB的中点.求证：BD=2EF.5：如图，E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点，连接EF，FG,GH,HE.求证：四边形EFGH是平行四边形.

6.如图，E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF，BF.求证：（1）AC=BE；（2）AB=2OF7.如图，已知平行四边形ABCD，分别以BC，AD为边作等边三角形BCM和等边三角形AND，MN与AC交于点O.求证：OM=ON.8.如图，△ACB，△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE，点P，M,N分别为AE，AB，DE的中点.（1）如图①所示，点D,E分别在AC,BC上时，PM,PN有何关系?（2）如图②所示，将△CDE绕点C逆时针旋转一个锐角时，上述结论是否仍成立，并证明.答案:一、平行四边形的判定1.判定定理例1：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CE∥AF，∠DAB=∠DCB，

∵AE、CF分别平分∠DAB、∠BCD，

∴∠2=∠3，

又∠3=∠CFB，

∴∠2=∠CFB，

∴AE∥CF，

又CE∥AF，

∴四边形AFCE是平行四边形．例2:证明：∵AE=AD，CF=CB，

∴∠E=∠ADE，∠CBF=∠F．

在▱ABCD中，∠ADC=∠ABC，

∴∠ADE=∠CBF．

∴∠E=∠F．

在▱ABCD中，CD∥AB，

∴∠E+∠EAF=180°，

∴∠F+∠EAF=180°．

∴AE∥CF．

又∵CE∥AF，

∴四边形AFCE是平行四边形2.三角形的中位线定理例3：证明：过C作CF∴四边形ABNC为平行四边形.

∴BN=AC，BN∥AC.

∴∠1=∠4.

∵AE=FE，

∴∠1=∠2.

且∠2=∠3，

∴∠3=∠4.

∴BN=BF，

∴BF=AC.例2：解（1）∵四边形ABCD为平行四边形∴AB∥CD∴∠GAE=∠HCF∵AF=CE∴AE=AF-EF=CE-EF=CF在△GAE和△HCF中AG=CH，∠GAE=∠HCF，AE=CF∴△GAE≌△HCF（SAS）∴∠AEG=∠CFH∴∠OEG=180°-∠AEG=180°-∠CFH=∠OFH∴EG∥FH例3：解：∵运动时间为x秒

∴AP=x，QC=2x

∵四边形ABQP是平行四边形

∴AP=BQ

∴x=6-2x

∴x=2

故答案为2．课后练习：1.解：∵a2+b2+c2+d2=2ab+2cd，

∴a2-2ab+b2+c2-2cd+d2=0，

∴（a-b）2+（c-d）2=0，

∴a=b且c=d，

∵a，b为对边，

∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，

∴此四边形为平行四边形．

故选：D．2.答案：B3.解（1）证明：∵∠A=∠F，

∴DE∥BC，

∵∠1=∠2，且∠1=∠DMF，

∴∠DMF=∠2，

∴DB∥EC，

则四边形BCED为平行四边形；

（2）解：∵BN平分∠DBC，

∴∠DBN=∠CBN，

∵EC∥DB，

∴∠CNB=∠DBN，

∴∠CNB=∠CBN，

∴CN=BC=DE=2．4.证：∵DC=AC，CE⊥AD于点E∴E为AD的中点又∵F是AB的中点∴EF为△ABD中位线∴BD=2EF5，证明：连接AC，∵E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，∴EF是△ABC的中位线，GH是△DAC的中位线，∴EF∥AC，EF＝12AC；HG∥AC，HG＝12AC．∴EF∥.GH，∴四边形EFGH是平行四边形；6.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，OA=OC．

∴∠BAF=∠CEF，∠ABF=∠ECF．

∵CE=DC，

在平行四边形ABCD中，CD=AB，

∴AB=CE．

∴在△ABF和△ECF中，∠BAF＝∠CEFAB＝CE∠ABF＝∠ECF，

∴△ABF≌△ECF（ASA），

∴BF=CF．

∵OA=OC，

∴OF是△ABC的中位