山东大学管理学院微积分罗比达法则

§4.2罗彼塔法则一、未定式二、“零比零”型未定式的定值法四、其它类型未定式的定值法三、“无穷比无穷”型未定式的定值法上页下页铃结束返回首页一、未定式

在函数商的极限中，如果分子分母同是无穷小量或同是无穷大量，那么极限可能存在，也可能不存在，

其它类型的未定式：0·、、00、1、0。

例如，下列极限都是未定式：00－或－。这种极限称为未定式。这种类型的未定式记为首页

定理4.1

设函数f(x)与g(x)满足条件：(2)在点a的某去心邻域内可导，且g(x)0；下页罗彼塔法则I:一、“零比零”型未定式的定值法罗彼塔法则I的证明：

令f(a)g(a)0，则f(x)及g(x)在点a的某一邻域内连续。

设x是这邻域内的一点，那么有显然当xa时xa。于是下页罗彼塔法则I：00（－型）

例1．

例2．

解：

解：下页=-1。

例4．

例3．

解：

解：

例5．

解：下页所以罗彼塔法则失效，不能使用。说明：

罗彼塔法则中的三个条件缺一不可，否则不能用罗彼塔法则。但这并不意味着原极限不存在，这时应换用其它方法去求。因为，

解：当x0时无极限，

例6．下页=10=0。说明：

罗彼塔法则中的三个条件缺一不可，否则不能用罗彼塔法则。但这并不意味着原极限不存在，这时应换用其它方法去求。

例6．

解：首页练习定理4.2设函数f(x)与g(x)满足条件：(2)在点a的某去心邻域域内可导，且且g(x)0；下页罗彼塔塔法则则II：三、““无穷比比无穷穷”型未未定式式的定定值法法罗彼塔塔法则则II：（－型型）下页罗彼塔塔法则则II：（－型型）下页说明：：当xa改为x时，罗罗彼塔塔法则则同样样有效效，即即

例9．解：

例10．解：首页练习未定式式0、、00、1、0都可以以转化化为““零零比零零”型型或或““无穷穷比无无穷””型型未定定式。。下页四、其其它类类型未未定式式的定定值法法将未定式式0、、00、1、0转化为““零比比零”型型或““无穷穷比无穷穷”型型未定式式求极限限。

例12．解：下页对数函数数的性质质：f(x)=elnf(x)。将未定式式0、、00、1、0转化为““零比比零”型型或““无穷穷比无穷穷”型型未定式式求极限限。

例13．解：下页对数函数数的性质质：f(x)=elnf(x)。将未定式式0、、00、1、0转化为““零比比零”型型或““无穷穷比无穷穷”型型未定式式求极限限。

例14．解：结束例4（补充题题）求例5（补充题题）求解

令例2求下列极极限解例3求下列极极限其他类型型未定式式可化为为洛必达达法则可可解决的的类型解解例49、静夜四无无邻，荒居居旧业贫。。。1月-231月-23Saturday,January7,202310、雨中黄叶叶树，灯下下白头人。。。13:02:5513:02:5513:021/7/20231:02:55PM11、以我独沈久久，愧君相见见频。。1月-2313:02:5513:02Jan-2307-Jan-2312、故人江海别别，几度隔山山川。。13:02:5513:02:5513:02Saturday,January7,202313、乍见翻翻疑梦，，相悲各各问年。。。1月-231月-2313:02:5613:02:56January7,202314、他乡生白白发，旧国国见青山。。。07一月月20231:02:56下下午13:02:561月-2315、比不不了得得就不不比，，得不不到的的就不不要。。。。。一月231:02下下午午1月-2313:02January7,202316、行动动出成成果，，工作作出财财富。。。2023/1/713:02:5613:02:5607January202317、做前前，能能够环环视四四周；；做时时，你你只能能或者者最好好沿着着以脚脚为起起点的的射线线向前前。。。1:02:56下下午1:02下下午午13:02:561月-239、没有失失败，只只有暂时时停止成成功！。。1月-231月-23Saturday,January7,202310、很多事事情努力力了未必必有结果果，但是是不努力力却什么么改变也也没有。。。13:02:5613:02:5613:021/7/20231:02:56PM11、成功就是是日复一日日那一点点点小小努力力的积累。。。1月-2313:02:5613:02Jan-2307-Jan-2312、世间成事事，不求其其绝对圆满满，留一份份不足，可可得无限完完美。。13:02:5613:02:5613:02Saturday,January7,202313、不知知香积积寺，，数里里入云云峰。。。1月-231月-2313:02:5613:02:56January7,202314、意志坚坚强的人人能把世世界放在在手中像像泥块一一样任意意揉捏。。07一一月20231:02:56下午午13:02:561月-2315、楚塞塞三湘湘接，，荆门门九派派通。。。。。一月231:02下下午午1月-2313:02January7,202316、少年年十五五二十十时，，步行行夺得得胡马马骑。。。2023/1/713:02:5613:02:5607January202317、空山新雨雨后，天气气晚来秋。。。1:02:56下下午1:02下下午13:02:561月-239、杨柳散和风风，青山澹吾吾虑。。1月-231月-23Saturday,January7,202310、阅读一切好好书如同和过过去最杰出的的人谈话。13:02:5613:02:5613:021/7/20231:02:56PM11、越是没没有本领领的就越越加自命命不凡。。1月-2313:02:5613:02Jan-2307-Jan-2312、越是无无能的人人，越喜喜欢挑剔剔别人的的错儿。。13:02:5613:02:5613:02Saturday,January7,202313、知人者智智，自知者者明。胜人人者有力，，自胜者强强。1月-231月-2313:02:5613:02:56January7,202314、意志坚强强的人能把把世界放在在手中像泥泥块一样任任意揉捏。。07一月月20231:02:56下下午13:02:561月-2315、最具挑挑战性的的挑战莫莫过于提提升自我我。。一月231:02下午午1月-2313:02January7,202316、业余生活活要有意义义，不要越越轨。2023/1/713:02:5613:02:5607January202317、一个人即即使已登上上顶峰，也也仍要自强强不息。1:02:56下下午1:02下