山东省日照市莒县中楼镇中学2023年高一数学文月考试题含解析

山东省日照市莒县中楼镇中学2023年高一数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知f（x）=2x+3，g（x）=4x﹣5，则使得f（h（x））=g（x）成立的h（x）=（）A．2x+3 B．2x﹣11 C．2x﹣4 D．4x﹣5参考答案： C【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】由f（x）=2x+3，可得f（h（x））=2h（x）+3，从而f（h（x））=g（x）化为2h（x）+3=4x﹣5，解出h（x）即可．【解答】解：由f（x）=2x+3，得f（h（x））=2h（x）+3，则f（h（x））=g（x）可化为2h（x）+3=4x﹣5，解得h（x）=2x﹣4，故选C．2..已知，则的值为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】首先观察与60°–α的关系，再运用诱导公式即可。【详解】cos（60°–α）=sin[90°–（60°–α）]=sin（30°+α）=，故选C．【点睛】本题考查诱导公式，属于基础题，比较容易。3.函数的图象可由函数的图象作怎样的变换得到（

）A．向左平移个单位

B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位参考答案：C4.若函数的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2},则函数的图象可能是参考答案：B5..函数f(x)＝cos2x＋sinxcosx在区间上的最大值为

()参考答案：D略6.若非零向量a，b满足|a|＝|b|，向量2a＋b与b垂直，则a与b的夹角为A.150°

B.120°

C.60°

D.30°参考答案：B7.设函数上单调递增，则的大小关系为（

）A.

B.

C.

D.不确定参考答案：B8.函数的值域是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：当时，函数有最小值0，当趋向于时，趋向于4，故答案为D.9.从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为（）．A．120 B．240 C．280 D．60参考答案：A选从5双中取1双，，丙从剩下4双任取两双，两双中各取1只，，∴．选．10.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=（） A． B． C．﹣ D．﹣参考答案：A【考点】向量加减混合运算及其几何意义． 【分析】本题要求字母系数，办法是把表示出来，表示时所用的基底要和题目中所给的一致，即用和表示，画图观察，从要求向量的起点出发，沿着三角形的边走到终点，把求出的结果和给的条件比较，写出λ． 【解答】解：在△ABC中，已知D是AB边上一点 ∵=2，=， ∴=， ∴λ=， 故选A． 【点评】经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想，基底给定时，分解形式唯一，字母系数是被基底唯一确定的数量． 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若=，=，则=_________.参考答案：略12.若一次函数有一个零点2，那么函数的零点是

.参考答案：略13.已知等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，则的值为_____________。参考答案：略14.计算

．参考答案：

15.函数的定义域是___________，值域是____________.参考答案：[2,+∞),[1,+∞)

16.如果幂函数的图象不过原点，则实数m的值是

▲

．参考答案：17.已知幂函数f（x）的图象过点（2，），则关于a的不等式f（a+1）＜f（3）的解是．参考答案：{x|﹣1≤x＜2}【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】设幂函数f（x）=xα，α为常数．把点（2，）代入可得：，解得α，再利用幂函数的单调性即可解出．【解答】解：设幂函数f（x）=xα，α为常数．由于图象过点（2，），代入可得：，解得．∴f（x）=．可知：函数f（x）在[0，+∞）单调递增，∵f（a+1）＜f（3），∴0≤a+1＜3，解得﹣1≤a＜2．∴关于a的不等式f（a+1）＜f（3）的解集是{x|﹣1≤x＜2}．故答案为：{x|﹣1≤x＜2}．【点评】本题考查了幂函数的解析式与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.对于数列{an}，如果存在正整数k，使得an﹣k+an+k=2an，对于一切n∈N*，n＞k都成立，则称数列{an}为k﹣等差数列．（1）若数列{an}为2﹣等差数列，且前四项分别为2，﹣1，4，﹣3，求a8+a9的值；（2）若{an}是3﹣等差数列，且an=﹣n+sinωn（ω为常数），求ω的值，并求当ω取最小正值时数列{an}的前3n项和S3n；（3）若{an}既是2﹣等差数列，又是3﹣等差数列，证明{an}是等差数列．参考答案：考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）由新定义结合已知求出a8、a9的值，则a8+a9的值可求；（2）由an=﹣n+sinωn，且{an}是3﹣等差数列，列式求出ω的最小正值后求出，然后利用分组求和求得S3n；（3）根据2﹣等差数列和3﹣等差数列的定义结合等差数列的定义进行证明．解答： （1）解：由数列{an}为2﹣等差数列，且前四项分别为2，﹣1，4，﹣3，∴a8=a2+3（a4﹣a2）=﹣1+3×（﹣2）=﹣7，a9=a1+4×（a3﹣a1）=2+4×2=10，∴a8+a9=﹣7+10=3；（2）∵{an}是3﹣等差数列，an+3+an﹣3=2an，∵an=﹣n+sinωn，∴﹣（n﹣3）+sin（ωn﹣3ω）﹣（n+3）+sin（ωn+3ω）=2（﹣n+sinωn），（n∈N*），即2sinωn=sin（ωn+3ω）+sin（ωn﹣3ω）=2sinωncos3ω（n∈N*），∴sinωn=0，或cos3ω=1．由sinωn=0对n∈N*恒成立时，ω=kπ（k∈Z）．由cos3ω=1时，3ω=2kπ（k∈Z），即ω=，k∈Z，这是ω的值为ω=kπ或，k∈Z，∴ω最小正值等于，此时an=﹣n+sin，∵sin+sin+sin=0，（n∈N*），∴a3n﹣2+a3n﹣1+a3n=﹣3（3n﹣1）（n∈N*）．∴S3n=（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+…+（a3n﹣2+a3n﹣1+a3n）==﹣（3）证明：若{an}为2﹣等差数列，即an+2+an﹣2=2an，则{a2n﹣1}，{a2n}均成等差数列，设等差数列{a2n﹣1}，{a2n}的公差分别为d1，d2．{an}为3﹣等差数列，即an+3+an﹣3=2an，则{a3n﹣2}成等差数列，设公差为D，a1，a7既是{a2n﹣1}中的项，也是{a3n﹣2}中的项，a7﹣a1=3d1=2D．a4，a10既是中{a2n}的项，也是{a3n﹣2}中的项，a10﹣a4=3d2=2D∴3d1=3d2=2D．设d1=d2=2d，则D=3d．∴a2n﹣1=a1+（n﹣1）d1=a1+（2n﹣2）d（n∈N*），a2n=a2+（n﹣1）d2=a2+（2n﹣2）d，（n∈N*）．又a4=a1+D=a1+3d，a4=a2+d2=a2+2d，∴a2=a1+d，∴a2n=a1+（2n﹣1）d（n∈N*）．综合得：an=a1+（n﹣1）d，∴{an}为等差数列．点评：本题主要考查与等差数列有关的新定义，结合条件以及等差数列的性质，考查学生的运算和推理能力，综合性较强．19.用定义证明函数f（x）=x﹣在（0，+∞）单调递增．参考答案：【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据增函数的定义，设任意的x1＞x2＞0，然后作差，通分，提取公因式x1﹣x2，从而证明f（x1）＞f（x2），这样便可得出f（x）在（0，+∞）上单调递增．【解答】证明：设x1＞x2＞0，则：=；∵x1＞x2＞0；∴；∴f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在（0，+∞）上单调递增．【点评】考查增函数的定义，根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，以及作差的方法比较f（x1），f（x2），是分式的一般要通分，一般要提取公因式x1﹣x2．20.某公司通过报纸和电视两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R(万元)与报纸广告费用x1(万元)及电视广告费用x2(万元)之间的关系有如下经验公式：R＝－2x12－x22＋13x1＋11x2－28.(1)若提供的广告费用共为5万元，求最优广告策略．(即收益最大的策略，其中收益＝销售收入－广告费用)

(2)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略．参考答案：(1)依题意x1＋x2＝5，∴x2＝5－x1，∴R＝－2x12－x22＋13x1＋11x2－28＝－2x12－(5－x1)2＋13x1＋11(5－x1)－28＝－3x12＋12x1＋2(0≤x1≤5)，…………3分∴收益y＝R－5＝－3x12＋12x1－3＝－3(x1－2)2＋9≤9，当且仅当x1＝2时取等号．∴最优广告策略是报纸广告费用为2万元，电视广告费用为3万元．…6分(2)收益y＝R－(x1＋x2)＝－2x12－x22＋13x1＋11x2－28－(x1＋x2)＝－2(x1－3)2－(x2－5)2＋15≤15，当且仅当x1＝3，x2＝5时取等号．∴最优广告策略是报纸广告费用为3万元，电视广告费用为5万元．…12分

21.(本小题满分12分)如图，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知，，且，设，绿地面积为.（1）写出关于的函数关系式，并指出这个函数的定义域；（2）当为何值时，绿地面积最大？参考答案：（1）由题意可知：，…………2分，

…………3分所以…………5分故函数解析式为：…………6分（2）因为……8分当，即时，则时，取最大值，……9分当，即时，在上是增函数，则时，取最大值.

综上所述：当时，时，绿地面积取最大值;当时，时，绿地面积取最大值.

……12分22.在英才中学举行的信息知识竞赛中，将高二年级两个班的参赛学生成绩（得分均为整数）进行整理后分成五组，绘制出如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别为0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40．（1）求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）求这两个班参赛的学生人数．（3）这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内？（不必说明理由）参考答案：【考点】B8：频率分布直方图；BD：用样本的频率分布估计总体分布．【分析】（1）由已知中第一、第三、第四、第五小组的频率分别为0.30，0.15，0.10，0.05，各小组频率和为1，可以求出第二小组的频率．（2）由第二组的频率及频数，根据频率=频数÷样本容量，即可求出样本容量即两个班参赛的学生人数．（