九年级中考数学第三轮压轴题冲刺专题复习：四边形的综合题 专项练习

2021年中考数学第三轮压轴题冲刺专题复习：四边形的综合题专项练习1、如图，在矩形中，，，点为边上的一点（与、不重合）四边形关于直线的对称图形为四边形，延长交与点，记四边形的面积为．（1）若，求的值；（2）设，求关于的函数表达式．2、如图，中，，点为斜边的中点.将线段平移至交于点，连接、、.（1）求证：；（2）求证：四边形为菱形；（3）连接，交于点，若，，求的长.3、如图，菱形的边长为1，，点是边上任意一点（端点除外），线段的垂直平分线交，分别于点，，，的中点分别为，．（1）求证：；（2）求的最小值；（3）当点在上运动时，的大小是否变化？为什么？4、如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连结BP，将BP绕点B顺时针旋转到BQ，连结QP交BC于点E，QP延长线与边AD交于点F．（1）连结CQ，求证：；（2）若，求的值；（3）求证：．5、实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕，交于点M，交于点N，再把纸片展平．问题解决：（1）如图1，填空：四边形的形状是_____________________；（2）如图2，线段与是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；（3）如图2，若，求的值．6、在矩形ABCD中，E为上的一点，把沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：（2）若，求EC的长；（3）若，记，求的值．7、在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合（如图，其中，，，并进行如下研究活动．活动一：将图1中的纸片沿方向平移，连结，（如图，当点与点重合时停止平移．【思考】图2中的四边形是平行四边形吗？请说明理由．【发现】当纸片平移到某一位置时，小兵发现四边形为矩形（如图．求的长．活动二：在图3中，取的中点，再将纸片绕点顺时针方向旋转度，连结，（如图．【探究】当平分时，探究与的数量关系，并说明理由．8、在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合（如图，其中，，，并进行如下研究活动．活动一：将图1中的纸片沿方向平移，连结，（如图，当点与点重合时停止平移．【思考】图2中的四边形是平行四边形吗？请说明理由．【发现】当纸片平移到某一位置时，小兵发现四边形为矩形（如图．求的长．活动二：在图3中，取的中点，再将纸片绕点顺时针方向旋转度，连结，（如图．【探究】当平分时，探究与的数量关系，并说明理由．9、已知：如图①，将一块45°角的直角三角板与正方形的一角重合，连接，点M是的中点，连接．（1）请你猜想与的数量关系是__________．（2）如图②，把正方形绕着点D顺时针旋转角（）．①与的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温馨提示：延长到点N，使，连接）②求证：；③若旋转角，且，求的值．（可不写过程，直接写出结果）10、如图，在边长为4的正方形中，点为对角线上一动点（点与点、不重合），连接，作交射线于点，过点作分别交、于点、，作射线交射线于点．（1）求证：；（2）当时，求的长．11、如图1，在矩形中，，动点，分别从点，点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边上沿，的方向运动，当点运动到点时，两点同时停止运动，设点运动的时间为，连接，过点作，与边相交于点，连接．（1）如图2，当时，延长交边于点．求证：；（2）在（1）的条件下，试探究线段三者之间的等量关系，并加以证明；（3）如图3，当时，延长交边于点，连接，若平分，求的值．12、如图，正方形的边长为6，为的中点，为等边三角形，过点作的垂线分别与边、相交于点、，点、分别在线段、上运动，且满足，连接．（1）求证：．（2）当点在线段上时，试判断的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由．（3）设，点关于的对称点为，若点落在的内部，试写出的范围，并说明理由．13、如图，四边形是正方形，点为对角线的中点．（1）问题解决：如图①，连接，分别取，的中点，，连接，则与的数量关系是，位置关系是；（2）问题探究：如图②，△是将图①中的绕点按顺时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．判断的形状，并证明你的结论；（3）拓展延伸：如图③，△是将图①中的绕点按逆时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．若正方形的边长为1，求的面积．14、（1）阅读与证明如图1，在正的外角内引射线，作点关于的对称点（点在内），连接，、分别交于点、．①完成证明：点是点关于的对称点，，，．正中，，，，得．在中，，．在中，，．②求证：．（2）类比与探究把（1）中的“正”改为“正方形”，其余条件不变，如图2．类比探究，可得：①；②线段、、之间存在数量关系．（3）归纳与拓展如图3，点在射线上，，，在内引射线，作点关于的对称点（点在内），连接，、分别交于点、．则线段、、之间的数量关系为．15、如图1，矩形中，，，中，，，，的延长线相交于点，且，，．将绕点逆时针旋转得到△．（1）当时，求点到直线的距离．（2）在图1中，取的中点，连结，如图2．①当与矩形的一条边平行时，求点到直线的距离．②当线段与矩形的边有且只有一个交点时，求该交点到直线的距离的取值范围．参考答案2021年中考数学第三轮压轴题冲刺专题复习：四边形的综合题专项练习1、如图，在矩形中，，，点为边上的一点（与、不重合）四边形关于直线的对称图形为四边形，延长交与点，记四边形的面积为．（1）若，求的值；（2）设，求关于的函数表达式．【详解】解：（1）在Rt△ADE中，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∵四边形关于直线的对称图形为四边形，∴，∵，∴，∴为等边三角形，∴S=S△APE+S△ADE=；（2）过点作于点F，如图，则四边形ADEF矩形，∴，，由（1）可知，，∴，设，则，在中，由勾股定理，得：，解得：，∴S=S△APE+S△ADE=．2、如图，中，，点为斜边的中点.将线段平移至交于点，连接、、.（1）求证：；（2）求证：四边形为菱形；（3）连接，交于点，若，，求的长.解（1）证明：∵为平移所得，∴，，∴四边形为平行四边形，∴，在中，点为斜边的中点，∴，∴.（2）证明：∵四边形为平行四边形，∴，即，又∵，∴四边形为平行四边形，又∵，∴四边形为菱形.（3）解：在菱形中，点为的中点，又，∴，∵，∴，，∴在中，，即，∴，在平行四边形中，点为的中点，∴.3、如图，菱形的边长为1，，点是边上任意一点（端点除外），线段的垂直平分线交，分别于点，，，的中点分别为，．（1）求证：；（2）求的最小值；（3）当点在上运动时，的大小是否变化？为什么？【解答】解：（1）连接，垂直平分，，四边形为菱形，和关于对角线对称，，；（2）连接，和分别是和的中点，点为中点，，，即，当点与菱形对角线交点重合时，最小，即此时最小，菱形边长为1，，为等边三角形，，即的最小值为；（3）不变，理由是：延长，交于，，，，点在菱形对角线上，根据菱形的对称性可得：，，，，，，，，为定值．4、如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连结BP，将BP绕点B顺时针旋转到BQ，连结QP交BC于点E，QP延长线与边AD交于点F．（1）连结CQ，求证：；（2）若，求的值；（3）求证：．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∵BP绕点B顺时针旋转到BQ，∴BP=BQ，∠PBQ=90°，∴∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC,∴∠ABP=∠CBQ，在△APB和△CQB中，，∴△APB≌△CQB(SAS)，∴AP=CQ．(2)设AP=x，则AC=4x，PC=3x，由(1)知CQ=AP=x，△ABC为等腰直角三角形，∴BC=，Rt△PCQ中，由勾股定理有：，且△PBQ为等腰直角三角形，∴，又∠BCQ=∠BAP=45°，∠BQE=45°，∴∠BCQ=∠BQE=45°，且∠CBQ=∠CBQ，∴△BQE∽△BCQ，∴，代入数据：，∴BE=，∴CE=BC-BE=，∴，故答案为：．(3)在CE上截取CG，并使CG=FA，如图所示：∵∠FAP=∠GCQ=45°，且由(1)知AP=CQ，且截取CG=FA，故有△PFA≌△QGC(SAS)，∴PF=QG，∠PFA=∠CGQ，又∵∠DFP=180°-∠PFA，∠QGE=180°-∠CGQ，∴∠DFP=∠QGE，∵DABC，∴∠DFP=∠CEQ，∴∠QGE=∠CEQ，∴△QGE为等腰三角形，∴GQ=QE，故PF=QE．5、实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕，交于点M，交于点N，再把纸片展平．问题解决：（1）如图1，填空：四边形的形状是_____________________；（2）如图2，线段与是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；（3）如图2，若，求的值．【详解】（1）解：∵ABCD是平行四边形，∴，∴四边形是平行四边形∵矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处∴∴∵∴四边形的形状是正方形故最后答案为：四边形的形状是正方形；（2）理由如下：如图，连接，由（1）知：∵四边形是矩形，∴由折叠知：∴又，∴∴∴（3）∵，∴由折叠知：，∴∵∴设，则中，由勾股定理得：解得：，即如图，延长交于点G，则∴∴∴∵，∴∴6、在矩形ABCD中，E为上的一点，把沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：（2）若，求EC的长；（3）若，记，求的值．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=∠D=90°，∴∠AFB+∠BAF=90°，∵△AFE是△ADE翻折得到的，∴∠AFE=∠D=90°，∴∠AFB+∠CFE=90°，∴∠BAF=∠CFE，∴△ABF∽△FCE．（2）解：∵△AFE是△ADE翻折得到的，∴AF=AD=4，∴BF=，∴CF=BC-BF=AD-BF=2，由（1）得△ABF∽△FCE，∴，∴，∴EC=．（3）解：由（1）得△ABF∽△FCE，∴∠CEF=∠BAF=，∴tan+tan=，设CE=1，DE=x，∵，∴AE=DE+2EC=x+2，AB=CD=x+1，AD=∵△ABF∽△FCE，∴，∴，∴，∴，∴，∴x2-4x+4=0，解得x=2，∴CE=1，CF=，EF=x=2，AF=AD==，∴tan+tan==．7、在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合（如图，其中，，，并进行如下研究活动．活动一：将图1中的纸片沿方向平移，连结，（如图，当点与点重合时停止平移．【思考】图2中的四边形是平行四边形吗？请说明理由．【发现】当纸片平移到某一位置时，小兵发现四边形为矩形（如图．求的长．活动二：在图3中，取的中点，再将纸片绕点顺时针方向旋转度，连结，（如图．【探究】当平分时，探究与的数量关系，并说明理由．【解答】解：【思考】四边形是平行四边形．证明：如图，，，，，四边形是平行四边形；【发现】如图1，连接交于点，四边形为矩形，，设，则，，在中，，，解得：，．【探究】，证明：如图2，延长交于点，四边形为矩形，，，，，，，，，平分，，，，，，，，，．8、在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合（如图，其中，，，并进行如下研究活动．活动一：将图1中的纸片沿方向平移，连结，（如图，当点与点重合时停止平移．【思考】图2中的四边形是平行四边形吗？请说明理由．【发现】当纸片平移到某一位置时，小兵发现四边形为矩形（如图．求的长．活动二：在图3中，取的中点，再将纸片绕点顺时针方向旋转度，连结，（如图．【探究】当平分时，探究与的数量关系，并说明理由．【解答】解：【思考】四边形是平行四边形．证明：如图，，，，，四边形是平行四边形；【发现】如图1，连接交于点，四边形为矩形，，设，则，，在中，，，解得：，．【探究】，证明：如图2，延长交于点，四边形为矩形，，，，，，，，，平分，，，，，，，，，．9、已知：如图①，将一块45°角的直角三角板与正方形的一角重合，连接，点M是的中点，连接．（1）请你猜想与的数量关系是__________．（2）如图②，把正方形绕着点D顺时针旋转角（）．①与的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温馨提示：延长到点N，使，连接）②求证：；③若旋转角，且，求的值．（可不写过程，直接写出结果）【详解】（1）猜想与的数量关系是AF=2DM，故答案为：AF=2DM；（2）①AF=2DM仍然成立，理由如下：延长到点N，使，连接，∵M是CE中点，∴CM=EM又∠CMN=∠EMD，∴△MNC≌△MDE∴CN=DE=DF,∠MNC=∠MDE∴CN∥DE，又AD∥BC∴∠NCB=∠EDA∴△ADF≌△DCN∴AF=DN∴AF=2DM②∵△ADF≌△DCN∴∠NDC=∠FAD，∵∠CDA=90°，∴∠NDC+∠NDA=90°∴∠FAD+∠NDA=90°∴AF⊥DM③∵，∴∠EDC=90°-45°=45°∵，∴∠EDM=∠EDC=30°，∴∠AFD=30°过A点作AG⊥FD的延长线于G点，∴∠ADG=90°-45°=45°∴△ADG是等腰直角三角形，设AG=k,则DG=k，AD=AG÷sin45°=k，FG=AG÷tan30°=k，∴FD=ED=k-k故=．10、如图，在边长为4的正方形中，点为对角线上一动点（点与点、不重合），连接，作交射线于点，过点作分别交、于点、，作射线交射线于点．（1）求证：；（2）当时，求的长．【解答】（1）证明：四边形是正方形，是对角线，，，，，，，，，，，，，，，，，，在和中，，；（2）如图1所示，由（1）知，，，四边形是矩形，，又，，，，，，，，，，，，，，，，；如图2所示，同理可得，，，，，，，，，，，即，解得，，，，，．11、如图1，在矩形中，，动点，分别从点，点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边上沿，的方向运动，当点运动到点时，两点同时停止运动，设点运动的时间为，连接，过点作，与边相交于点，连接．（1）如图2，当时，延长交边于点．求证：；（2）在（1）的条件下，试探究线段三者之间的等量关系，并加以证明；（3）如图3，当时，延长交边于点，连接，若平分，求的值．【详解】（1）由题意得：四边形ABCD是矩形，在和中，；（2），证明如下：如图，连接FQ由（1）已证：PQ是线段EF的垂直平分线在中，由勾股定理得：则；（3）如图，设FQ与AC的交点为点O由题意得：，，平分，（角平分线的性质）是等腰三角形在和中，，即是的角平分线（等腰三角形的三线合一）在中，在中，，即解得，即故的值为．12、如图，正方形的边长为6，为的中点，为等边三角形，过点作的垂线分别与边、相交于点、，点、分别在线段、上运动，且满足，连接．（1）求证：．（2）当点在线段上时，试判断的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由．（3）设，点关于的对称点为，若点落在的内部，试写出的范围，并说明理由．【解答】证明：（1）正方形的边长为6，为的中点，，，，是等边三角形，，，，又，；（2）的值不变，理由如下：如图1，连接，过点作于，，，，，，，，，，，，，四边形是矩形，，，，，，，，；（3）如图2，当点落在上时，，，，是等边三角形，当点落在上时，点关于的对称点为，△，点与点重合，点与点重合，，如图3，当点落在上时，同理可求：，当时，点落在的内部．13、如图，四边形是正方形，点为对角线的中点．（1）问题解决：如图①，连接，分别取，的中点，，连接，则与的数量关系是，位置关系是；（2）问题探究：如图②，△是将图①中的绕点按顺时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．判断的形状，并证明你的结论；（3）拓展延伸：如图③，△是将图①中的绕点按逆时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．若正方形的边长为1，求的面积．【解答】解：（1）点为对角线的中点，，，为的中点，为的中点，，，，；故答案为：，．（2）的形状是等腰直角三角形．理由如下：连接并延长交于点，四边形是正方形，，，将绕点按顺时针方向旋转得到△，△是等腰直角三角形，，，，，又点是的中点，，△，，，，，△为等腰直角三角形．，，也为等腰直角三角形．又点为的中点，，且，的形状是等腰直角三角形；（3）延长交边于点，连接，．四边形是正方形，是对角线，，由旋转得，四边形是矩形，，，为等腰直角三角形．点是的中点，，，，△，，，，，△为等腰直角三角形，点是的中点，，，，，，．．14、（1）阅读与证明如图1，在正的外角内引射线，作点关于的对称点（点在内），连接，、分别交于点、．①完成证明：点是点关于的对称点，，，．正中，，，，得．在中，，60．在中，，．②求证：．（2）类比与探究