历年全国初中数学联赛精彩试题总汇

wordword101/101word1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一、选择题此题共有8个小题，每一小题都给出了〔A〕、〔B〕〔C〕、〔D〕四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．设等式在实数X围内成立，其中a，x，y是两两不同的实数，如此的值是〔A〕3；〔B〕；〔C〕2；〔D〕．答〔〕如图，AB‖EF‖CD，AB=20，CD=80，BC=100，那么EF的值是10；〔B〕12；〔C〕16；〔D〕18．答〔〕方程的解是〔A〕；〔B〕；〔C〕或；〔D〕．答〔〕：〔n是自然数〕．那么，的值是〔Ａ〕；〔Ｂ〕；〔Ｃ〕；〔Ｄ〕．答〔〕假如，其中Ｍ为自然数，n为使得等式成立的最大的自然数，如此Ｍ〔Ａ〕能被２整除，但不能被３整除；〔Ｂ〕能被３整除，但不能被２整除；〔Ｃ〕能被４整除，但不能被３整除；〔Ｄ〕不能被３整除，也不能被２整除．答〔〕假如a，c，d是整数，b是正整数，且满足，，，那么的最大值是〔Ａ〕；〔Ｂ〕；〔Ｃ〕；〔Ｄ〕１．答〔〕=1如图，正方形OPQR内接于ΔABC．ΔAOR、ΔBOP和ΔCRQ的面积分别是，和，那么，正方形OPQR的边长是=1〔Ａ〕；〔Ｂ〕；〔Ｃ〕2；〔Ｄ〕3．答〔〕在锐角ΔABC中，，，，ΔABC的外接圆半径≤1，如此〔Ａ〕<c<2；〔Ｂ〕0<c≤；答〔〕〔C〕c>2；〔D〕c=2．答〔〕二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD中BC边的中点，AE交对角线BD于G，如果ΔBEG的面积是１，如此平行四边形ABCD的面积是．２．关于x的一元二次方程没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，．3．设m，n，p，q为非负数，且对一切x>０，恒成立，如此．４．四边形ABCD中，∠ABC，∠BCD，AB，BC，CD=6，如此AD=．第二试x+y，x－y，xy，四个数中的三个又一样的数值，求出所有具有这样性质的数对〔x,y〕．二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点〔如图〕．求证：BF＝AF＋CF三、将正方形ABCD分割为个相等的小方格〔n是自然数〕，把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试此题共有8个题,每一小题都给出了(A),(B),(C),(D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.的非负整数的个数是(A)1;(B)2;(C)3;(D)4.是一元二次方程的根,如此判别式与平方式的关系是(A)>(B)=(C)>;(D)不确定.,如此的个位数字是(A)1;(B)3;(C)5;(D)7.答()4.在半径为1的圆中有一内接多边形,假如它的边长皆大于1且小于,如此这个多边形的边数必为(A)7;(B)6;(C)5;(D)4.答()5.如图,正比例函数的图像与反比例函数和的面积分别为S1和S2,如此S1与S2的关系是(A)(B)(C)(D)不确定答()个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,假如把圆周经过的所有小方格的圆内局部的面积之和记为,把圆周经过的所有小方格的圆内局部的面积之和记为,如此的整数局部是(A)0;(B)1;(C)2;(D)3.答()7.如图,在等腰梯形ABCD中,AB//CD,AB=2CD,,又E是底边AB上一点,且FE=FB=AC,FA=AB.如此AE:EB等于(A)1:2(B)1:3(C)2:5(D)3:10答()均为正整数,且,,如此当的值最大时,的最小值是(A)8;(B)9;(C)10;(D)11.答()cm,腰上的中线等15cm,如此这个等腰三角形的面积等于________________.,如此的最大值是__________.中,的平分线相交于点，又于点，假如，如此.都是正实数，且，如此.第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程的两根，当这样的三角形只有一个时，求的取值X围.二、如图，在中，是底边上一点，是线段上一点，且.求证：.三、某个信封上的两个邮政编码M和N均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A：320651B：105263C：612305D：316250编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N一样.D恰有三个数字的位置与M和N一样.试求：M和N.1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试此题共有8个小题,每一小题都给出了(A),(B),(C),(D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.除以的余式是(A)1;(B)-1;(C);(D);Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的答案是(A)Ⅰ,Ⅱ都对(B)Ⅰ对,Ⅱ错(C)Ⅰ错,Ⅱ对.(D)Ⅰ,Ⅱ都错.是实数,.如下四个结论:Ⅰ.没有最小值;Ⅱ.只有一个使取到最小值;Ⅲ.有有限多个(不止一个)使取到最大值;Ⅳ.有无穷多个使取到最小值.其中正确的答案是(A)Ⅰ(B)Ⅱ(C)Ⅲ(D)Ⅳ满足方程组其中是实常数,且,如此的大小顺序是(A);(B);(C);(D).的整数解的个解(A)等于4(B)小于4(C)大于5(D)等于5中,,如此的值是(A)(B)(C)(D).答()ABC的三边是a,b,c,它的外心到三边的距离分别为m,n,p,那么m:n:p等于(A);(B)(C)(D).答()8.可以化简成(A);(B)(C)(D)答()当x变化时,分式的最小值是___________.2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,如此=____________.ABC中,.以BC边为直径作圆,与AB,AC分别交于D,E,连接DE,把三角形ABC分成三角形ADE与四边形BDEC,设它们的面积分别为S1,S2,如此S1:S2=___________.第二试H是等腰三角形ABC垂心,在底边BC保持不变的情况下让顶点A至底边BC的距离变小,这时乘积的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.中,BC=5,AC=12,AB=13,在边AB,AC上分别取点D,E,使线段DE将DE的最小长度.分别各有两个整数根与,且.(1)求证:(2)求证:≤≤;(3)求所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题第一试(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，总分为80分.一、选择题〔此题总分为48分，每一小题6分〕此题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每一小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个〔不论是否写在圆括号内〕，一律得0分.〔答〕()2．设a,b,c是不全相等的任意实数，假如x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,如此x,y,zA．都不小于0B．都不大于0C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0〔答〕()3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，假如BC=2，DA=3，如此AB的长A．等于4B．等于5C．等于6D．不能确定〔答〕()A．1B．-1C．22001D．-22001〔答〕()5．假如平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，如此共得同旁内角A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕()〔答〕()7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。假如BC=a,AC=b,AB=c,如此AH·AD+BH·BE+CH·CF的值是〔答〕()A．1001B．1001,3989C．1001,1996D．1001,1996,3989〔答〕()二、填空题〔此题总分为32分，每一小题8分〕各小题只要求在所给横线上直接填写结果.3．在△ABC中，设AD是高，BE是角平分线，假如BC=6，CA=7，AB=8，如此DE=______.4．把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切，假如要有用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，如此这个大圆形纸片的最小半径等于______.第二试(4月3日上午10：00—11：30)考生注意：本试共三道大题，总分为60分.一、〔此题总分为20分〕如下列图，在△ABC中，AB=AC.任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ.求证：△ABC的外心O与A,P,Q四点共圆。思路一：△OCP≌△OAQ→→∠CPO=∠AQO→→OAPQ四点共圆〔视角定理.〕思路二：△PAO≌△QBO→→∠OPA=∠AQO→→OAPQ四点共圆〔视角定理.〕连接OB、OA。∠OBA=∠OAB=∠OAC∴∠PAO=∠QBOPA=QBAO=BO∴△PAO≌△QBO∠OPA=∠AQO所以O与A，P,Q,四点同园二、〔此题总分为20分〕周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？假如不存在，请给出证明；假如存在，请证明共有几个？三、〔此题总分为20分〕某次数学竞赛共有15个题.下表是对于做对n(n=0,1,2,……,15)个题的人数的一个统计.n0123……12131415做对n个题的人数781021……15631如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题，做对10个题和10个题以下的学生每人平均做对4个题.问这个表至少统计了多少人？1994年全国初中数学联赛参考答案第一试答案一、选择题；小题号12345678答案ADBBDCBC二、填空题：第二试提示与答案.△OCP≌△OAQ，于是∠CPO=∠AQO，所以O，A，P，Q四点共圆.三、这个表至少统计了200人.1995年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题1．a＝355,b＝444,c＝533,如此有［]A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜bA．1B．2C．3D．43．如果方程(x－1)(x2－2x－m)＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值X围是4．如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［]A．62πB．63πC．64πD．65π5．设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，如此[]A．M＞NB．M＝NC．M＜ND．M、N的大小关系不确定6．设实数a、b满足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，如此[]A．a＞0且b＞0B．a＜0且b＞0C．a＞0且b＜0D．a＜0且b＜0二、填空题1．在12，22，32…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有____个。4．以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC2＝AC·BC，如此∠CAB＝______．第二试∠ACE＝∠CDE＝90°，点B在CE上，CA＝CB＝CD，经A、C、D三点的圆交AB于F〔如图〕求证F为△CDE的内心。二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数理由。三、试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和。２００１年全国初中数学联合竞赛试题与答案２００２年全国初中数学联合竞赛试题与答案２００３年全国初中数学联合竞赛试题与答案２００５年全国初中数学联合竞赛试题与答案２００５年全国初中数学联合竞赛决赛试题与答案２００６年全国初中数学联合竞赛决赛试题与答案答案：２００７年全国初中数学联合竞赛决赛试题与答案答案：２００８年全国初中数学联合竞赛一试试题与答案答案：２００８年全国初中数学联合竞赛二试试题与答案答案：2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题〔此题总分为42分，每一小题7分〕1.设，如此〔AA.24.B.25.C..D..2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，如此BC＝〔C〕A..B..C..D..3．用表示不大于的最大整数，如此方程的解的个数为〔C〕A.1.B.2.C.3.D.4.4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为〔BA..B..C..D..5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，如此CBE＝〔D〕A..B..C..D..6．设是大于1909的正整数，使得为完全平方数的的个数是〔B〕A.3.B.4.C.5.D.6.二、填空题〔此题总分为28分，每一小题7分〕1．是实数，假如是关于的一元二次方程的两个非负实根，如此的最小值是____________.2．设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，△ADE、△DBF的面积分别为和，如此四边形DECF的面积为______.3．如果实数满足条件，，如此______.4．是正整数，且满足是整数，如此这样的有序数对共有___7__对.第二试一．〔此题总分为20分〕二次函数的图象与轴的交点分别为A、B，与△ABC的外接圆的圆心为点P.〔1〕证明：⊙P与轴的另一个交点为定点.〔2〕如果AB恰好为⊙P的直径且，求和的值.解〔1〕易求得点的坐标为，设，，如此，.设⊙P与轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OA×OB＝OC×OD，如此.因为，所以点在轴的负半轴上，从而点D在轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为(0,1).〔2〕因为AB⊥CD，如果AB恰好为⊙P的直径，如此C、D关于点O对称，所以点的坐标为，即.又，所以，解得.二．〔此题总分为25分〕△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF∥AB.解因为BN是∠ABC的平分线，所以.又因为CH⊥AB，所以，因此.又F是QN的中点，所以CF⊥QN，所以，因此C、F、H、B四点共圆.又，所以FC＝FH，故点F在CH的中垂线上.同理可证，点E在CH的中垂线上.因此EF⊥CH.又AB⊥CH，所以EF∥AB.三．〔此题总分为25分〕为正数，满足如下两个条件：①②是否存在以为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.解法1将①②两式相乘，得，即，即，即，即，即，即，即，即，所以或或，即或或.因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.解法2结合①式，由②式可得，变形，得③又由①式得，即，代入③式，得，即.，所以或或.结合①式可得或或.因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：〔此题总分为42分，每一小题7分〕1.假如均为整数且满足，如此〔B〕A．1.B．2.C．3.D．4.2．假如实数满足等式，，如此可能取的最大值为〔C〕A．0.B．1.C．2.D．3.3．假如是两个正数，且如此〔C〕A．.B．.C．.D．.4．假如方程的两根也是方程的根，如此的值为〔A〕A．－13.B．－9.C．6.D．0.5．在△中，，D，E分别是边AB，AC上的点，且，，,如此(B)A．15°.B．20°.C．25°.D．30°.6．对于自然数，将其各位数字之和记为，如，，〔D〕A．28062.B．28065.C．28067.D．28068.二、填空题：〔此题总分为28分，每一小题7分〕1．实数满足方程组如此13.2．二次函数的图象与轴正方向交于A，B两点，与轴正方向交于点C．，，如此．3．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA＝，PC＝5，如此PB＝______．4．将假如干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放____15___个球.第二试〔A〕一．〔此题总分为20分〕设整数〔〕为三角形的三边长，满足，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.解由等式可得①令，如此，其中均为自然数.于是，等式①变为，即②由于均为自然数，判断易知，使得等式②成立的只有两组：和〔1〕当时，，.又为三角形的三边长，所以，即，解得.又因为三角形的周长不超过30，即，解得.因此，所以可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.〔2〕当时，，.又为三角形的三边长，所以，即，解得.又因为三角形的周长不超过30，即，解得.因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．〔此题总分为25分〕等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C的平分线与AB边交于点P，M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点，作MD//AC，交⊙I于点D.证明：PD是⊙I的切线.证明过点P作⊙I的切线PQ〔切点为Q〕并延长，交BC于点N.因为CP为∠ACB的平分线，所以∠ACP＝∠BCP.又因为PA、PQ均为⊙I的切线，所以∠APC＝∠NPC.又CP公共，所以△ACP≌△NCP，所以∠PAC＝∠PNC.由NM＝QN，BA＝BC，所以△QNM∽△BAC，故∠NMQ＝∠ACB，所以MQ//AC.又因为MD//AC，所以MD和MQ为同一条直线.又点Q、D均在⊙I上，所以点Q和点D重合，故PD是⊙I的切线.三．〔此题总分为25分〕二次函数QUOTEy=x2+bx-c的图象的图象经过两点P，Q.〔1〕如果都是整数，且，求的值.〔2〕设二次函数QUOTEy=x2+bx-c的图象的图象与轴的交点为A、B，与轴的交点为C.QUOTE