第七章空间解析几何与向量代数

第五 平面与直线方 空 平面方程的各种形析 直线方程的各种形几何向与 平面直线间的夹角及相互关向-1第五 平面与直线方 平面方程的各种znM0Mo znM0Mo~ 平面，这向量就叫做该平面法向量 析 析何 何 已知平面的法向量为n{A,B,C},向 且过点M0(x0,y0,z0代 设平面上的任一点为M(x,y,z)必有M0MnM0Mn-2第五 平面与直线方 M0M{xx0,yy0,zz0A(A(xx0)B(yy0)C(zz0) 章 解 其中法向量n{A,B,C},已知点(x0,y0,z0解几析几何方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图与-3第五 平面与直线方 和的平面方程.~ AB{3,间 AC{2,间 取nABAC{14,几与 与量 14(x2)9(y1)(z4)量代 14x9yz15-4第五

平面与直 A(xx0)B(yy0)C(zz0)~(Ax0By0Cz0AxBy 空解 解AxAxByCzD 法向量n{A,B,C代数

-5第五 平面与直线方例2求过点)且垂直于平面xyz7第3x2y12z50的平面方程.G~G n1 n2{3,间 nn1n2{10,15,间析 析 10(x1)15(y1)5(z1)与量 量数 2x3yz6数-6第五 平面与直线方~ (1)D ~章D 平面通过x (2)A间解

D

轴 B0,C0情形几与 (3)AB0,平面平行于xoy坐标面与向 类似地可讨论AC0,BC0情形代数-7第五 平面与直线方

(6,3,

4xy2z~章

设平面为AxByCzD空解间由平面过原点解析由平面过点(6,32)66A3B2C

D与何n与 AB数

4AB4AB2C3

2x2y3z-8第五 平面与直线方 设平面与x,y,z三轴分别交于P(a,0,0) R(0,0,c)（其中abc0)求此平面方程第 设平面为AxByCzD aAD间 将三点坐标代入得bBD间析 D析何 AD BD CD何 向代入所设方程量x

xyz y

z-9第五 平面与直线方 求平行于平面6xy6z50而与三 设平面为xyz ∵V间解

11|abc|1a1b1c1a1b1c

11何11

1 a1

b1

c1

量代数

11|111

ta1,b6,c

6xy6z-10第五 平面与直线方 直线方程的各种形 1空间直线的一般方~ 间 1:A1xB1yC1zD1 间 2:A2xB2yC2zD2几 2A1xB1yC1zD1AxByCzD2222 o o代 -11第五 平面与直线方 为这条直线的方向向量0 设直线过点0

(

,

,z0 间空方向向量间

s{m,n, 析Mxyz析

M0M y M//M yo向M0Mxx0yy0zz0向x代 xx0代

yy0

zp

-12第五 平面与直线方令xx0yy0zz0

几 例几

求过两点A

,

,

,

,

) 所求直线的方向向 量

AB{

x1,

y1,

z1所求直线方程为

xx0yyz00x2xx1yy1zy2z2-13第五 平面与直线方 xyz1~ 2xy3z40.~章 在直线上任取一点(x0,y0,z0空间取

1

z020

解得

z0y析 0y析

6点坐标

s与 s向

n1

代代 x

y

z

x1y

-14

2第五 平面与直线方例8一直线过点 且和 ~第求其方程~ 因为直线和 轴垂直相交空解间所以交点为B(0,3, 取sBA{2,0,解几 所求直线方程x2y3z4几 或或代 2xz代 y-15第五 平面与直线方 平面直线间的夹角及相互关 ~ 定 间解（通常取锐角间解析

1:

x

y

z

与 2:A2xB2yC2zD2与量 量n 1{A1,B1,C1n1 1n2{

,

,C2-16第五 平面与直线方coscosA2B2C2|A1A2B1B2C1C2111A2B22222 解几 12A1A2B1B2C1C2几 (2) 1//2 代 特别1与2重代

C2 1

1 1 -17第五 平面与直线方~ (1)x2yz10, y3z10~|102113(1)222(1)222(1)212间析解析 cos 何与量 两平面相交，夹角 量-18第五 平面与直线方G(2)2xyz1G n1章~章

4x2y2z1n2{4,21 间析 析 (3)2xyz1 4x2y2z2与向 ∵ 11 数 数两平面重合.-19第五 平面与直线方 设P0(x0,y0,z0)是平面AxByCzD0 到平面的距离 00 0 P(x,y,z)空 G 空 d|PrjnP1P0 JJG

PrjPPPP 向 P1P0{向代量代

x1,y0y1,z0z1}A2B2CA2B2C

A2A2B2CA2B2C,-20第五 平面与直线方 JJGA(xA(x0x1A2B2CB(y0y1)A2B2CC(z0z1A2B2C章 章空A2B2C解 Ax0By0Cz0(Ax1A2B2C解几析几 ∵Ax1By1Cz1D (P1)d|Axd|Ax0By0Cz0D|A2B2C-21第五 平面与直线方 x y z1 直线L1

1

1

s1{m1,n1,间 间

L2

xx2m

yy2

zz2p

s2

,

,p2 与 cos(L1,L2)|cos(s1,s2)与cos(cos(,|m1m2n1n2p1p212m2n2p2111m2n2p222

-22

第五 平面与直线方第第 L1L2m1m2n1n2p1 章

//

p1 间析 例如直线L1析几 直线L2与

m2 {1,4, ∵ s1

s1

即L1L2-23第五 平面与直线方 求过点(3,2,5)且与两平面x4z32xy5z1的交线平行的直线方程.~ 设所求直线的方向向量为s{m,n, 1解 1解析

sn

sn2 sn1n2何向与所求直线的方向量 x3y2z5 -24第五 平面与直线方 0

间解 L

x

y

zz0

s{m,n, 何向 AxByCzD向量

n{A,B,C (s,n) 2

(s,n)-25第五 平面与直线方sincoscos sinsin|AmBnCpA2B2C2m2n2空 解 L 向 向代 L// AmBnCp代数-26第五 平面与直线方

L:x1 yz1

平面~xy2z3,~章 n{1,1,空A2B2A2B2C2m2n2解何何

s{2,1,|AmBnCp. |12(1)(1)22 .69636963代

-27第五 平面与直线方例12求过点M(2,1,5)且与直线x1y1 ~垂直相交的直线方程，并求点M(2,1,5)~ x1y1 解间的距离解 先作一过点M且与已知直线垂直的平面几 3(x2)2(y1)(z5)与 量 x3t x

y1

y2t -28

第五 平面与直线方代入平面方程得t1 ~ 取所求直线的方向向量为~章

N {22,31,15}间

x2

y1

z5 几 点M(2,1,5)到直

x1

y

与 代 d|MN|代数

02202225-29

平面与直~ 设直线L的一般式方程~ A1xB1yC1zD1 AxByCzD

其中系数A1,B1,C1与A2,B2,C2析何 常数,建立三元一次方程何 A1xB1yC1z

量 (A2xB2yC2zD2)量或代或 (A1A2)x(B1B2)(C1C2)zD1D2 -30第五 平面与直线方由于系数A1B1,C1与A2B2,C2

第对任意常数,A1A2B1B2C1C2~间空的点必满足此平面方程，因此方程(3)一定通过直线L间解析平面。反之，通过直线L的平面（除(2)外）几与何(3)所表示的一族平面中。通过定直线的所有平与量向体称为平面束，而方程(13)称为通过直线L的量代数方程-31第

第五 平面与直线方求过直线xyz10M(2,1,1)xyz1

xy10解间sjk且过点M0解析

与 nsK0K与量 量 1i2j数 -32第五 平面与直线方x22y12(z1第 x2y2z2~章解法 (xyz1)(xyz1)间 (1)x(1)y(1)z1析何几所求平面过点M(2,1,1何向 2(1)1110,向

x