山东省泰安市旧县乡中学2023年高二数学理下学期期末试题含解析

山东省泰安市旧县乡中学2023年高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知回归直线斜率的估计值为1.23，样本点的中心为点(4,5)，则回归直线的方程为()A.＝1.23x＋4

B.＝1.23x＋5C.＝1.23x＋0.08

D.＝0.08x＋1.23参考答案：C略2.设集合那么“”是“”的（

）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C.充分条件D.必要条件参考答案：A3.若a∈R，则a=1是复数z=a2﹣1+（a+1）i是纯虚数的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】A2：复数的基本概念；2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】当a=1时，可以得到复数的实部等于0，得到复数是一个纯虚数；当复数是一个纯虚数时，根据复数的有关概念，得到实部为0且虚部不为0，得到a=1，得到是一个充要条件．【解答】解：∵a=1，∴z=2i∴z是纯虚数z是纯虚数故选C．【点评】本题考查复数的概念，考查条件的判断，是一个基础题，注意推导充要条件时，从两个方面入手，本题是一个必得分题目．4.下列导数运算错误的是（）A．（x﹣2）′=﹣2x﹣1 B．（cosx）′=﹣sinx C．（xlnx）′=1+lnx D．（2x）′=2xln2参考答案：A【考点】导数的运算．【分析】根据基本求导公式求导即可．【解答】解：对于A：（x﹣2）′=﹣2x﹣3，故错误，对于B，（cosx）′=﹣sinx，故正确，对于C（xlnx）′=1+lnx，故正确，对于D，（2x）′=2xln2，故正确，故选：A．5.直线3x+4y-13=0与圆的位置关系是：（

）A.相离;

B.相交;

C.相切;

D.无法判定.参考答案：C略6.若函数是R上的单调函数，则实数m的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：C7.直线y=kx+1﹣k与椭圆的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定参考答案：A【考点】椭圆的简单性质．【分析】直线y=kx+1﹣k=k（x﹣1）+1，恒过点P（1，1），只需判断点P（1，1）与椭圆椭圆的位置关系即可【解答】解：直线y=kx+1﹣k=k（x﹣1）+1，恒过点P（1，1），∵，∴点P（1，1）在椭圆的内部，∴直线y=kx+1﹣k与椭圆的位置关系为相交．故选：A．【点评】本题考查了只限于椭圆的位置关系，属于基础题．8.有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10，12）内的频数为（）A.18 B.36 C.54 D.72参考答案：B试题分析：每一组的频率等于本组矩形的面积，所以的面积是，所以这组的频数就是，故选A.考点：频率分布直方图

9.在正方体-中,点P是面内一动点,若点P到直线BC与直线的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是

(

)A．直线

B．圆

C．双曲线

D．抛物线参考答案：D10.设是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则的离心率为A.

B.

C.

D.参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面直角坐标系xOy中，圆x2+y2=16的切线与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，则△AOB面积的最小值为

．参考答案：16【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；转化思想；换元法；直线与圆．【分析】用截距式设出切线方程，由圆心到直线的距离等于半径以及基本不等式可得ab=4≤（a2+b2），令t=，可得t的最小值为8，进而得到答案．【解答】解：设切线方程为bx+ay﹣ab=0（a＞0，b＞0），由圆心到直线的距离等于半径得=4，所以ab=4≤（a2+b2），令t=，则有t2﹣8t≥0，t≥8，故t的最小值为8．∴t=|AB|的最小值为8，∴△AOB面积的最小值为=16．故答案为：16．【点评】本题考查点到直线的距离公式和基本不等式的应用，体现了换元的思想（在换元时应该注意等价换元）．12.给定两个命题，由它们组成四个命题：“”、“”、“”、“”．其中正真命题的个数是．

参考答案：２略13.已知扇形的圆心角为72°，半径为20cm，则扇形的面积为________.参考答案：14.观察下列式子：，，，由此可归纳出的一般结论是

．参考答案：15.过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在y轴左侧），则=．参考答案：3【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】作AA1⊥x轴，BB1⊥x轴．则可知AA1∥OF∥BB1，根据比例线段的性质可知==，根据抛物线的焦点和直线的倾斜角可表示出直线的方程，与抛物线方程联立消去x，根据韦达定理求得xA+xB和xAxB的表达式，进而可求得xAxB=﹣（）2，整理后两边同除以xA2得关于的一元二次方程，求得的值，进而求得．【解答】解：如图，作AA1⊥x轴，BB1⊥x轴．则AA1∥OF∥BB1，∴==，又已知xA＜0，xB＞0，∴=﹣，∵直线AB方程为y=xtan30°+即y=x+，与x2=2py联立得x2﹣px﹣p2=0∴xA+xB=p，xA?xB=﹣p2，∴xAxB=﹣p2=﹣（）2=﹣（xA2+xB2+2xAxB）∴3xA2+3xB2+10xAxB=0两边同除以xA2（xA2≠0）得3（）2+10+3=0∴=﹣3或﹣．又∵xA+xB=p＞0，∴xA＞﹣xB，∴＜﹣1，∴=﹣=3．故答案为：3【点评】本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及比例线段的知识．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．16.已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于__________cm3．参考答案：1

略17.已知点和圆，一束光线从点出发，经过轴反射到圆周的最短路程是________

__。参考答案：8三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知直线l：kx﹣y+1+2k=0，k∈R（1）直线过定点P，求点P坐标；（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设三角形OAB的面积为4，求出直线l方程．参考答案：【考点】IO：过两条直线交点的直线系方程．【分析】（1）由kx﹣y+1+2k=0，可得k（x+2）+（1﹣y）=0可得直线l：kx﹣y+1+2k=0必过直线x+2=0，1﹣y=0的交点（﹣2，1）（2）令y=0，得A（﹣）；令x=0，得B（0，1+2k）三角形OAB的面积为s===4，解得k【解答】解：（1）由kx﹣y+1+2k=0，可得k（x+2）+（1﹣y）=0∴直线l：kx﹣y+1+2k=0必过直线x+2=0，1﹣y=0的交点（﹣2，1）∴P（﹣2，1）．（2）∵直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，∴k＞0令y=0，得A（﹣）；令x=0，得B（0，1+2k）三角形OAB的面积为s===4解得k=∴直线l方程为：x﹣2y+4=019.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，E是AB的中点，F是BB1的中点.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的正弦值.参考答案：（1）见解析（2）【分析】（1）由于长方体中，因此只要证，这由中位线定理可得，从而可得线面平行；（2）以为轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面和平面的法向量，由法向量的夹角与二面角相等或互补可得．【详解】（1）证明：连接，∵分别为的中点，∴∵长方体中，，，∴四边形是平行四边形，∴，∴∵平面，平面，∴平面（2）解：在长方体中，分别以为轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，∴，，，设平面的一个法向量，则，取，则同样可求出平面的一个法向量∴∴二面角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查用空间向量法求二面角．本题属于基础题型．20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知，若实数使得（为坐标原点）.

(Ⅰ)求点的轨迹方程；

(Ⅱ)当时，是否存在过点的直线与(Ⅰ)中点的轨迹交于不同的两点（在之间），且[.若存在,求出该直线的斜率的取值范围,若不存在,说明理由.参考答案：解：(Ⅰ)化简得：

…

4分

(Ⅱ)点轨迹方程为.

设，，则

由已知得,则,.……………

6分

设直线直线方程为，联立方程可得：

,

同号，

……

8分

设，则，

，解得．

……………

12分21.（本题满分13分）数列是首项的等比数列，其前项和为，且，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，设为数列的前项和，若≤对一切恒成立，求实数的最小值.参考答案：（1）当时，不成等差数列.

当时，

，

∴，

∴，∴

∴

（2）

≤，∴≤，∴≥

又≤，等号当且仅当即时成立.∴，即的最小值为22.4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”（1）根据已知条件完成下面2×2的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？

非读书迷读书迷合计男

15

女

45合计

（2）将频率视为概率，现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书谜”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方程D（X）附：K2=n=a+b+c+dP（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；BL：独立性检验．【分析】（1）利用频率分布直方图，直接计算填写表格，然后利用个数求