十字相乘法分解因式

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同学们都知道，型的二次三项式是分解因式中的常有题型，那么此

类多项式该如何分解呢

察看=，可知=。

这就是说，对于二次三项式，假如常数项b能够分解为p、q的积，而且有

p+q=a，那么=。这就是分解因式的十字相乘法。

下边举例详细说明如何进行分解因式。

例1、因式分解。

分析：由于

7x+(-8x)=-x

解：原式=（x+7）（x-8）

例2、因式分解。

分析：由于

-2x+（-8x）=-10x

解：原式=（x-2）（x-8）

例3、因式分解。

分析：该题固然二次项系数不为1，但也能够用十字相乘法进行因式分解。

由于

9y+10y=19y

解：原式=（2y+3）（3y+5）例4、因式分解。分析：由于

21x+(-18x)=3x

解：原式=（2x+3）（7x-9）

例5、因式分解。

分析：该题能够将（x+2）看作一个整体来进行因式分解。

由于

-25（x+2）+[-4(x+2)]=-29（x+2）

解：原式=[2（x+2）-5][5（x+2）-2]

=（2x-1）（5x+8）

例6、因式分解。

分析：该题能够先将（）看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次

十字相乘。

由于

-2+[-12]=-14a+(-2a)=-a3a+（-4a）=-a解：原式=[-2][-12]=(a+1)(a-2)(a+3)(a-4)

从上边几个例子能够看出十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家必然

要娴熟掌握。但要注意，其实不是全部的二次三项式都能进行因式分解，如在实

数范围内就不可以够再进一步因式分解了

因式分解的一点增补——十字相乘法

宜昌九中尤启平

讲课目的

1．使学生掌握运用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解；

2．进一步培育学生的察看力和思想的矫捷性。

讲课要点和难点

要点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式因式分解。

难点：灵巧运用十字相乘法因分解式。

讲课过程设计

一、导入新课

前一节课我们学习了对于x2+（p+q）x+pq这种二次三项式的因式分解，这种式子的

特色是：二次项系数为1，常数项是两个数之积，一次项系数是常数项的两个因数之和。

所以，我们获得x2+（p+q）x+pq=（x+p）(x+q).

课前练习：以下各式因式分解1．-x2+2x+152．（x+y）2-8（x+y）+48；3．x4-7x2+18；4．x2-5xy+6y2。答：1．-（x+3）（x-5）；2．（x+y-12）（x+y+4）；3．（x+3）（x-3）（x2+2）；4．（x-2y）（x-3y）。我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式因式分解，也学习了经过设协助元的

方法把能转变成形如x2+px+q型的某些多项式因式分解。

对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢这节课就来讨论这个问题，即把某

些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。二、新课

例1把2x2-7x+3因式分解。

分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分

别写在十字交叉线的右上角和右下角，此后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。

分解二次项系数（只取正因数）：

2=1×2=2×1；

分解常数项：

3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。

用画十字交叉线方法表示以下四种状况：

11131-11-32×32×12×-32×-11×3+2×11×1+2×31×（-3）+2×（-1）1×（-1）+2×（-3）=5=7=-5=-7

经过察看，第四种状况是正确有。这是由于交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数

-7。

解2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。

一般地，对于二次三项式ax2+bx+c（a≠0），假如二次项系数a能够分解成两个因数之

积，即a=aa，常数项c能够分解成两个因数之积，即c=cc，把a，a，c，c摆列以下：12121212a1c1a2×c2a1c2+a2c1按斜线交叉相乘，再相加，获得a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系

数b，即ac+ac=b，那么二次三项式就能够分解为两个因式ax+c与ax+c之积，即12211122ax21122+bx+c=（ax+c）（ax+c）。像这种借助开十字交叉线分解系数，进而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，平常

叫做十字相乘法。

例2把6x2-7x-5分解因式。

分析：依据例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别摆列，可有8种不

同的摆列方法，此中的一种

21

3×

-5

2×（-5）+3×1=-7

是正确的，所以原多项式能够用直字相乘法分解因式。

解6x2-7x-5=（2x+1）（3x-5）。

指出：经过例1和例2能够看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项

式因式分解，常常要经过多次察看，才能确立能否能够用十字相乘法分解因式。对于二次项系数是1的二次三项式，也能够用十字相乘法分解因式，这时只要考虑如何

把常数项分解因数。比方把x2+2x-15分解因式，十字相乘法是

1-3

1×5

1×5+1×（-3）=2

所以x2+2x-15=（x-3）（x+5）。

例3把5x2+6xy-8y2分解因式。

分析：这个多项式能够看作是对于x的二次三项式，把-8y2看作常数项，在分解二次项

及常数项系数时，只要分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过察看，采纳适合的一组，即

12

5×-4

1×（-4）+5×2=6

2解5x+6xy-8y=（x+2y）（5x-4y）。

指出：原式分解为两个对于x，y的一次式。

例4把（x-y）（2x-2y-3）-2分解因式。

分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先化简，进行多项式

的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解。

问：两个乘积的式子有什么特色，用什么方法进行多项式的乘法运算最简单

答：第二个因式中的前两项假如提出公因式2，就变成2（x-y），它是第一个因式的二

倍，此后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为对于（x-y）的二次三

项式，就能够用址字相乘法分解因式了。

解（x-y）（2x-2y-3）-2=（x-y）［2（x-y）-3］-21-222×+1=2（x-y）-3（x-y）-2

=［（x-y）-2］［2（x-y）+1］

1×1+2×（-2）=-3

（x-y-2）（2x-2y+1）。

指出：把（x-y）看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方

法。

三、讲堂练习1．用十字相乘法因式分解：（1）2x2-5x-12；（2）3x2-5x-2；（3）6x2-13x+5；（4）7x2-19x-6；（5）12x2-13x+3；（6）4x2+24x+27。2．把以下各式因式分解：（1）6x2-13x+6y2；（2）8x2y2+6xy-35；（3）18x2-21xy+5y2；（4）2（a+b）2+（a+b）（a-b）-6（a-b）2。答案：1．（1）（x-4）（2x+3）；（2）（x-2）（3x+1）；（3）（2x-1）（3x-5）；（4）（x-3）（7x+2）；（5）（3x-1）（4x-3）；（6）（2x+3）（2x+9）。2．（1）（2x-3y）（3x-2y）；（2）（2xy+5）（4xy-7）；（3）（3x-y）（6x-5y）；（4）（3a-b）（5b-a）。四、小结

1．用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式时，应注意以下问题：

（1）正确的十字相乘必然知足以下条件：

a1c1

在式子中，竖向的两个数必然知足

关系a1a2=a，c1c2=c；在上式中，斜

a2c2

向的两个数必然知足关系a1c2+a2c1=b，分解思路为“看两头，凑中间。”（2）由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时，图的上一行两个数中，

a1是第一个因式中的一次项系数，c1是常数项；在下一行的两个数中，a2是第二个因式中的

一次项的系数，c2是常数项。

3）二次项系数a一般都把它看作是正数（假如是负数，则应提出负号，利用恒等变形把它转变成正数），只要把经分解在两个正的因数。

．形如x2+px+q的某些二次三项式也能够用十字相乘法分解因式。

3．凡是可用代换的方法转变成二次三项式ax2+bx+c的多项式，有些也能够用十字相

乘法分解因式，如例4。

五、作业1．用十字相乘法分解因式：（1）2x2+3x+1；（2）2y2+y-6；（3）6x2-13x+6；（4）3a2-7a-6；22；2222（5）6x-11xy+3y（6）4m+8mn+3n；（7）10x-21xy+2y；22（8）8m-22mn+15n。2．把以下各式分解因式：（1）4n2+4n-15；（2）6a2+a-35；（3）5x2-8x-13；（4）4x2+15x+9；（5）15x2+x-2；（6）6y2+19y+10；（7）20-9y-20y2；（8）7（x-1）2+4（x-1）（y+2）-20（y+2）2。答案：1．（1）（2x+1）（x+1）；（2）（y+2）（2y-3）；（3）（2x-3）（3x-2）；（4）（a-3）（3a+2）；（5）（2x-3y）（3x-y）；（6）（2m+n）（2m+3n）；（7）（x-2y）（10x-y）；（8）（2m-3n）（4m-5n）。2．（1）（2n-3）（2n+5）；（2）（2a+5）（3a-7）；（3）（x+1）（5x-13）；（4）（x+3）（4x+3）；（5）（3x-1）（5x+2）；（6）（2y+5）（3y+2）；（7）-（4y+5）（5y-4）；（8）（x+2y+3）（7x-10y-27）。

讲堂讲课方案说明

1．为了使学生确实掌握运用十字相乘法把某些二次三项式因式分解的思路和方法，在

讲课方案中，先经过例1，较祥尽地解说借助画十字交叉线分解系数的详细方法，在此基础

上再进一步归纳如何运用十字相乘法把二次三项式ax2+bx+c进行因式分解的一般思路和方

法。只有使学生掌握了十字相乘法的一般法例，才能进一步指导解决各样详细的问题，这种

从特别到一般，再从一般到特其余认识问题的