指数函数与对数函数的交点个数问题

指数函数yax与对数函数ylogax交点个数问题安徽省涡阳县第三中学胡维大论题：指数函数yax(a0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)交点个数问题．分a1及0a1两种情况进行议论．〔一〕：当a1时，过原点O(0,0)作yax的切线l，设切点为P(x0,y0)∵yaxlna∴klyxx0ax0lna又∵kly0ax0∴ax0ax0lnax0x0x0∴x01logaelna进而klalogaelnaelna1当kl1，即elna1，亦即aeeee时，P在yx上，∴x0y0这样就有ax0x0，∴logax0x0∴P(x0,y0)是yax与ylogax的公共点.当kl1,即elna1，亦即aee时，yax与yx相离,yax与ylogax没有公共点.当kl1,即elna1，亦即1aee时，yax与yx有两个公共点M(x1,y1),N(x2,y2),同理可知M(x1,y1),N(x2,y2)均是yax与ylogax的公共点.引理：当a1时，yax与ylogax不可能有不在yx上的公共点.证明：用反证法.假定yax与ylogax有公共点Q(s,t),s,t0,st,当st时,ast①,logast②由②得ats③∵yax单增,又∵st∴asat由此式联合①③可知ts,与st矛盾.同应当ts时亦矛盾.进而假定不真.所以,引理得证.由上可知：当1aee时,yax与ylogax有两个公共点,当a当a

ee

时,时,

yax与ylogax有唯一公共点,yax与ylogax没有公共点.〔二〕：当0a1时,作函数f(x)axlogax,limf(x)limf(x)易知x0,x不妨设aem(m0),那么f(x)emx1lnx,memxm2xf(x)mxemx过原点作yemx的切线,那么切线的斜率kelnemme当mem2,即me时,f(x)0恒建立.进而f(x)单增,∴f(x)有唯一的零点.当mem2,即me时,不妨设yemx与ym2x交于两点M(x1,y1),N(x2,y2),(x1x2)那么当x(0,x1)时,f(x)0,当x(x1,x2)时,f(x)0,当x(x2,)时,f(x)0∴f(x)的单增区间为(0,x1),(x2,),单减区间为(x1,x2)f(x)在xx1处取得极大值,且f(x1)0,f(x)在xx2处取得极小值,且f(x2)0,再由零点存在定理可知,f(x)有三个零点,分别在区间(0,x1),(x1,x2),(x2,)之内.对上述f(x1)0及f(x2)0的结论,可证明如下：设yemx〔me〕与yx的交点为(x3,x3)1me1∵me∴m11∴eee即当x1yemx的函数值小于yx的函数值，数形联合可知x1ee∵yemx〔me〕与yx的交点为(x3,x3)∴x3emx3进而lnx3mx3于是f(x3)emx31lnx3x31mx30mmemx3m2x31m2x3又∵f(x3)x3mx3emx3mx3emx31m2x32(1mx)(1mx)mx2emx333mx32emx33∵m0,x30，∴1mx30，2mx30mx3e又∵x31，∴lnx31，∴1mx31lnx30e∴f(x3)0，又∵当x(0,x1)时,f(x)0,当x(x1,x2)时,f(x)0,当x(x2,)时,f(x)0∴x3(x1,x2)又∵f(x)在区间(x1,x2)单减及f(x3)0可知f(x1)0且f(x2)0由上可知：当me即eea1时，yax与ylogax有唯一公共点,且此公共点在yx上，当me即0aee时，yax与ylogax有三个公共点,且有两个不在直线yx上，但对于yx对称，而第三个公共点在直线yx上.综合上述,我们能够获得如下结论：当1aee时,yax与ylogax有两个公共点,且两个公共点均在直线yx上.当aee时,yax与ylogax有唯一公共点,且该公共点在直线yx上.当a当e

ee时,yax与ylogax没有公共点.ea1时，yax与ylogax有唯一