2013第二学期微积分第三次月考试卷参考答案

2012-2013学年第二学期《微积分B》第三次月考试学

专

班 —二三四五六—二三四五六七八九十一、选择题（315分）1．设xyz4x2y21截出的有限部分,ydS的值为（A（A） 3

3L．Ix2y2dxy2x2dy,其中L是由y0,x1,yx组成的闭曲线,取顺时针方向,则I（C 3L（A） 是锥面z

2x2及平面z1zx2x2x2

dxdy（B （A）2ee

设函数fu连续,区域Dx,yx2y22y,则fxydxdy等于 2y2y211

fxy

（B）20

fxy d2sinfr2sincos 2

d2sinfr2sincos zfxy,

2fx01,fyx0x,fxy为（C1x2y

1x2y

1xy

1xy二、填空题（315分LL为取正向的圆周x2y29则曲线积分2xy2ydxx24xdyL22x2x2y2

,divgradr

1,2,23设z2

0z1的下侧,则xdydz2ydzdx3z1dxdyx2x2x2设空间区域x2.8

z

所围成的,zdV11x2设函数zzx,y由方程ze2x3z2y确定,则3zz （9分设曲线积分

xy2dxyxdy与路径无关x连续可导00, 1,1xy2dxyx 解:由积分与路径知y'x2xy, 3分所以'x2x,xx2C 5由00,得xx2 6

22所以1,1xy2dxyxdy1,1xy2dxyx2dyx

1 9（8分

S是由曲线

y11y3y轴旋转一周而成的曲面,y22向的夹 于,求Ix8y1dydz212S

dzdx4解:旋转曲面为y1z2x2,1y3 1z2x2添加曲面S1:y 方向为y轴正方向,设S,S1围成的立体为 3有公式S

x8y1dydz21y2dzdx43y1dyD 5y31y1而x8y1dydz21y2dzdx4 z2x2

16 7I x8y1dydz21y2dzdx4 8（9分LIy2z2dx2z2x2dy3x2y2dz,Lxyz2与柱面xy1的交线,z轴正向看去,L为逆时针方向.L:S为平面xyz2上L所围部分的上侧,S的单位法向量为3331,1,333

, 公式 S2

xy9（8分222zSxy21的上半部分,PxyzS,SPz 面,x,y,z为点O0,0,0到平面的距离,求 dS.Sx,y,z解:S在点P处的切平面为xXxy(Yy) 即xXyYzZ1 2 所以xyz

x2x2y22 z由z

dS 1 1 y2 21z2z2 4x221 y2 2 dSSx,y,z

4x2y2 4x2y212d24r2rdr4 82（9分IL

x2y2ds,Lx2y2a2yxx解:设Aa,0,B2a,2a,则L由线段OA,圆弧AB,线段BO组成 2 OA的参数方程为yxx,0OA的参数方程为y

x2y2ds

aexdx0

1; 4xacos, AB的参数方程为ya

0 4 4

x2y2ds

4 e 4 xx,BO的参数方程为yx0x

2a

2x2 dsx2

e

2dxea1; 8 x2所以IL dsx2（9分

1 ae 94在过点O00A,0yasinxa0中,求一条曲L,使沿该曲线LOA的积分1y3dx2xydy的值为最小L解Ia

1y3dx2xy0 1a3sin3x2xasinxacosx 0 4a3 53 7I'a4a2 7a1曲线为

x 9（9分y2设y2

zz4围成的空间区域,x2y2zdV2解:旋转曲面为z1x2y2 22x2y2zdV4dzx2y2z 4 0 d 2 42z2dz256（9分

2zr2zrdr zx2y2求曲线y

xOy距离最短的点 解:设Fx,y,z,,z