专题44立体几何中向量方法教学案-2017年高考数学理一轮复习解析版

l1l2ν1ν2l1∥l2(l1l2重合lναν1ν2l∥αl⊂α⇔x，yν＝xν1＋yν2．lναul∥ααβu1，u2α∥β⇔u1∥u2⇔u1＝λu2.l1l2ν1ν2αβu1u2l1，l2m1，m2l1l2θcosθ＝|cos〈m1，m2〉|m1·m2|lαm，nlαθsinθ＝|cos〈 ＝ →如图①，AB，CDα－l－βlθ＝〈→如图②③，n1，n2α－l－βα，βθ满足|cosABα的一条斜线段，nαBα

＝高频考点一利用空间向量证明平行问题GOC的中点，证明：FGOP，∵PA＝PC，OAC∵△ABCACOOB，OC，OPx轴，y轴，zO－xyz，O(0，0，0)，A(0，－8，0)，B(8，0，0)，C(0，8，0)，P(0，0，6)，E(0，－4，3)，F(4，0，3)． → FGBOEFG高频考点二利用空间向量证明垂直问题【例2】如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落段方向向量为另一个平面的法向量即可．ABCD，AB＝AA1＝证明：A1C⊥平面证明由题设OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立空间直角坐标系，如图∵AB＝AA1＝ ∴A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(－1，0，0)，D(0，－1，0)，A1(0，0，1)．由A1B1＝AB，易得 → →∴A1C⊥BD，A1C⊥BB1，又∴A1C⊥平面3P－ABCD中，PDABCDABCD为正方形，PD＝DC，E，FAB，PB的中点．规律方法对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，的方程是否有解．PD在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，F点的位置，并证明；若不存在，FBFAECFPC的中点.高频考点四求异面直线所成的角4P-ABCDABCD是矩形，PAABCD，EPC＝2，AD＝22，PA＝2.△PCDBCAE→ cosθ＝ 4 2 → 2×2

2

πBCAE所成的角的大小是规律方法本题可从两个不同角度求异面直线所成的角，一是几何法：作—证—算；二是向量法：把角的→AC，BDβcosβ＝→→【例5】(2014·卷)如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点．在五棱锥P－ABCDE中，FPEABFPD，PCG，H.H的坐标为 HPC上，所以可设→nABF即 3＋3规律方法利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求(2014·福建卷)ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABDBDABDBCD，如图．MADADMBC高频考点六利用空间向量求二面角【例6】(2014·卷)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于F，FE∥CDPD证明∵EDABCD，AD⊂ABCD规律方法求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．(2014·辽宁卷)如图，△ABC和△BCD∠DBC＝120°，E，FAC，DC【20162ABCDACBD交于点OAB5AC6EADCD上，AECF5，EFBDHDEFEF折到DEF位置，OD4DHABCDBDAC2（Ⅱ） 2

10mxyzABD

所以可取m 1nx2,y2

mADnAD是平面ACD的法向nAD

3x1y13z16x23x2y23z2

所以可取n03,1mm50于是cosm,n 75，sinm,n295.因此二面角Bmm50 2 2【2016高考山东理数】在如图所示的圆台中，ACO的直径，EFO'的直径，FB

AB=BC.FBCA的余弦值3EF=FB=2 37（Ⅱ）77连接OO',则OOABCABBCAC是圆OBO以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系OxyzB(0230C(2300)FFM垂直OBMFB2BM所以FB2BMF(0,3BC23230BF033mxyzBCF的一个法向量由23x23y0 3y3z

33m,nmm,nm|m||n77FBCA的余弦值为777所以二面角FBCA的余弦值 77【2016高考理数（本小题满分13分ABCDOOBEFOBEFABCDGABAB=B=2.O-EF-C2设H为线段AF上的点，且 HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值337 37 【2016年高考理数（本小题14分PABCDPADABCDPAPDPAPDABADAB1，AD2，ACCD 5（1）PDPABPBPCDPAMBMPCDAM的值；若不存在，说明理由（2）

（3） 【2016高考浙江理数】(15分)如图,ABCDEF中,BCFEABC,ACB=903（II） 34（Ⅱ）FFQAKQ，BQBFACKBFAKAKBQFBQAK．所以BQFBADF的平面角．在Rt△ACKAC3CK2FQ313在Rt△BQF中FQ313BF

3，得cosBQF 34BADF的平面角的余弦值为34ADBECFK，则△BCKBC的中点OKOBCBCFEABCKOABC以点O为原点，分别以射线OBOKxz的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz【2016年高考理数（本小题满分12分P-ABCD中，AD∥BCADC=PAB=90°，BC=CD=1AD，EAD2PACDPABMCM∥平面PBEBPBC 1（Ⅱ）3CDPAD.所以∠PDAP-CD-A的平面角A作AH⊥CECEHPA⊥CE.2A作AQ⊥PHQAQPCE.所以∠APHPAPCE所成的角.Rt△AEH中，∠AEH=45°，AE=1，2所以 2PA2AH32PA2AH32 所以 zMzMyBCEDxA【2015江苏高考，22（10分PABCDPAABCDABCD为直角梯ABCBAD,PAAD2,ABBC12PABPCDQBPCQDPBQAPAQDC

3（2）2 【201517DEFABCAB2DEGHACBC的中点若CFABCAB

，BAC

,FGHACFD（II）DEFABC中，BC2EFHBC的中点可得BHEFBHEFBHFE可得BE在ABC

HBC所以GH//以G为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G所以G000B2,00,C0,20D0可得H2,

,0,

0, HM

MN

FC

HMHMGF所以

MH//BG,MH1BG 2在BGC中 由GNM【2015高 A1A底面ABCD,ABAC,AB=1,

5,M和NB1C和

的中点D1-

EA1

NEABCD1AE 【答案】(I)

37；7

2AA(000),B(0,10),C(200),D(12 NM BC M

B1CD1DM12,1N(12,1 NM BC【201519】如题（19）PABCPCABCPC3ACB.DEABBC上的点，且CDDE2DEAPDC

2,CE2EBECECDB 题（19）3（2） 36(1)证明：由PC平面ABC，DE平面ＡＢＣ，故PC设平面PAD的法向量 由n１DP0，n１DA0zCECEByAD题（19）xx1y13z1故可取

1xy 得 2 由（1）可知DEPCDPCD的法向量n2可取为ED,n211nn从而法向量1nn

2

cosn1,n2

n1n2 63A-PD-C的余弦值为6DC1D2是D是C2起到1的位置，如图2CD1C若平面1平面CD1C与平面1CD6（II） 63【2015118ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，FABCD同一侧的两点，BEABCD，DFABCD，BE=2DF，AE⊥EC.AECF所成角的余弦值3332AE,CFAE|AE2AE,CFAE|AE||CF33

3

CF=（-.

3 ）.…1023所以直线AE与CF所成的角的余弦值 ……1233【2015高考，理17】如图，在四棱锥AEFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF平EFCBEF∥BCBC4EF2aEBCFCB60OEFAOBE求二面角FAEB的余弦BEAOCaAFOFOEB（2）

（3） 5FAEB为钝二面角，所以二面角FAEB的余弦值为 55EB33有（1）知AOEFCBAOBEBEAOCBEOCEB333 3a,0)，又3

3a,0)，

2(2a)

0a2或a

4，由于a3

2，则a431．(2014·卷)已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是( 【解析 【答案】2BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为 2 305 5

D.【答案】2，AB＝1EPCBEPBDFPCBF⊥ACF－AB－P 解向量BD＝(－1，2，0)，PB＝(1，0，－2)n＝(x，y，z)PBD

cos〈 n·BE ＝2〉 32〉 3所以直线BE与平面 3 解向量BC＝(1，2，0)，CP＝(－2，－2，2)，AC＝(2，2，0)，AB＝(1，0，0)FPC→设

故BF＝BC＋CF＝BC＋λ→ 由

则 →

〉 cos〈n n1·n2 〉

3

103

10若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则( D．lα相交【答案】【解析】∵n＝－2a，∴aα已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3,6)，则下列点P中，在平面α内 【答案】若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于( 【答案】AN所成角的余弦值为 130【答案】

55D.由于∠BCA＝90°BC＝CA＝CC1，可将三棱柱补成正方体．∴ →∴cos〉＝ →5 5 －12＋－1 ＝＝10 2→→BDC1n＝(x，y，z)n⊥，n

CDBDC1 → 已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面A