多目标决策分析之层次分析法

多目标决策分析之层次分析法第一页，共六十八页，2022年，8月28日多目标决策分析在决策分析中，决策问题要达到的目的称为决策目标，用数值表示决策方案实现某个目标程度的标准和法则，称为决策准则。前面讨论的问题都只有一个决策目标和一个评价准则（如收益最大、效用最大），属单目标、单准则决策。

单目标决策的关键：合理选择决策准则。实际问题常常有多个决策目标，每个目标的评价准则往往也不是只有一个，而是多个—多目标、多准则决策问题。第二页，共六十八页，2022年，8月28日§2.1多目标决策的目标准则体系多目标决策问题的目标往往相互联系、相互制约，有的甚至相互矛盾。在多目标决策问题中，有的目标可以用一个或几个决策准则直接进行评价和比较，有的目标则难以进行直接评价和比较。

如何解决这一问题？通常将难以进行直接评价和比较的目标分解为若干子目标，直至这些子目标能用一个或几个决策准则进行评价和比较。第三页，共六十八页，2022年，8月28日例：某经济特区计划兴建一个大型海港

港址的选择需要综合考虑经济、技术、环境以及社会四个方面。决策目标有四个：经济、技术、环境、社会 这四个目标均不能直接用一个或几个准则进行评价，要根据决策主体和实际情况的要求，逐级分解为若干子目标。如：经济目标可以分解成直接经济效益和间接经济效益两个一级子目标。直接经济效益又可以继续分解为投资额、投资回收期和利税总额等三个二级子目标…第四页，共六十八页，2022年，8月28日海港港址经济技术环境社会直接效益间接效益投资额投资回收期利税总额海运收益国际贸易收益国内贸易收益航道海滩建筑运行城市关系交通关系资源环保政策军事……

……

……

第五页，共六十八页，2022年，8月28日§2.1多目标决策的目标准则体系目标准则体系的意义目标准则体系 指依据决策主体要求和实际情况需要，对目标经过逐层分解形成的多层次结构的子目标系统。目标准则体系的最低一层子目标可以用单一准则进行评价。多目标决策问题的关键就是合理地选择和构造目标准则体系。第六页，共六十八页，2022年，8月28日目标准则体系的意义构造目标准则体系应注意的原则系统性原则 各子目标要反映所有因素的整体影响，具有层次性和相关性。可比性原则 不同系统的横向比较；同一系统的纵向动态比较。可操作性原则

各子目标含义明确，便于数据采集和计算。第七页，共六十八页，2022年，8月28日目标准则体系的结构1、单层次目标准则体系 各个目标都属于同一层次，每个目标无须分解就可以用单准则给出定量评价。图6-2单层次目标准则体系总目标目标m目标m-1目标2目标1……第八页，共六十八页，2022年，8月28日

目标准则体系的结构2、序列型多层次目标准则体系目标准则体系的各个目标，均可以按序列分解为若干个低一层次的子目标；各子目标又可以继续分解；这样一层层按类别有序地进行分解，直到最低一层子目标可以按某个准则给出数量评价为止。特点：各子目标可按序列关系分属各类目标，不同类别的目标准则之间不发生直接联系；每个子目标均由相邻上一层的某个目标分解而成。第九页，共六十八页，2022年，8月28日

目标准则体系的结构3、非序列型多层次目标准则体系某一层次的各子目标，一般不单是由相邻上一层次某子目标分解而成，各子目标也不能按序列关系分属各类；相邻两层次子目标之间，仅按自身的属性建立联系，存在联系的子目标之间用实线连结，无实线连结的子目标之间，不存在直接联系。第十页，共六十八页，2022年，8月28日3、非序列型多层次目标准则体系G............c1c2cn-1cn…g11g12g1n-1g1n…最高层中间层准则层…g21g22g1k-1g1k第十一页，共六十八页，2022年，8月28日评价准则和效用函数在多目标决策中，制定了目标准则体系后，不同的目标通常用不同的评价准则衡量。问题：如何从总体上给出方案对于目标准则体系中的全部目标的满意度？必须将不同度量单位的准则，化为无量纲统一的数量标度，并按特定的法则和逻辑过程进行归纳与综合，才能建立各可行方案之间具有可比性的数量关系。效用函数正是一种统一的数量标度。第十二页，共六十八页，2022年，8月28日评价准则和效用函数多目标决策中，任何一个方案的效果均可以由目标准则体系的全部结果值所确定。可行方案在每一个目标准则下，确定—个结果值，对目标准则体系，就得到一组结果值，并经过各目标准则的效用函数，得出一组效用值。这样，任何一个可行方案在总体上对决策主体的满意度，可以通过这些效用值按照某种法则并合而得，满意度是综合评价可行方案的依据。第十三页，共六十八页，2022年，8月28日2.1.4目标准则体系风险因素的处理单目标风险型决策中，各备选方案看成是在整体上处于同一类状态空间的。多目标决策中，风险因素可能只涉及某些目标准则，备选方案不宜在整体上视为处于同一类状态空间。多目标决策的风险因素，应该在目标准则体系中对涉及风险因素的各子目标分别加以处理。将风险型多目标问题转化为确定型多目标问题。第十四页，共六十八页，2022年，8月28日§2.2层次分析方法AHP方法是美国运筹学家于20世纪70年代提出的，AHP决策分析法是AnalyticHierarchyProcess的简称。是一种定性与定量相结合的多目标决策分析方法。AHP决策分析法，能有效地分析非序列型多层次目标准则体系，是解决复杂的非结构化的经济决策问题的重要方法，是计量经济学的主要方法之一。第十五页，共六十八页，2022年，8月28日科研课题的综合评价综合评价科研课题成果贡献人才培养可行性发展前景实用价值科技水平优势发挥难易程度研究周期财政支持经济效益社会效益第十六页，共六十八页，2022年，8月28日

AHP方法的基本原理首先要将问题条理化、层次化，构造出能够反映系统本质属性和内在联系的递阶层次模型。1.递阶层次模型根据系统分析的结果，弄清系统与环境的关系，系统所包含的因素，因素之间的相互联系和隶属关系等。将具有共同属性的元素归并为一组，作为结构模型的一个层次，同一层次的元素既对下一层次元素起着制约作用，同时又受到上一层次元素的制约。第十七页，共六十八页，2022年，8月28日1.递阶层次模型 AHP的层次结构既可以是序列型的，也可以是非序列型的。一般将层次分为三种类型：最高层：只包含一个元素，表示决策分析的总目标，也称为总目标层。中间层：包含若干层元素，表示实现总目标所涉及到的各子目标，也称为目标层。最低层：表示实现各决策目标的可行方案、措施等，也称为方案层。第十八页，共六十八页，2022年，8月28日1.递阶层次模型H............A1A2An-1An…G11G12G1n-1G1n…最高层中间层最低层…G21G22G1k-1G1k层次结构图第十九页，共六十八页，2022年，8月28日1.递阶层次模型相邻两层元素之间的关系用直线标明，称之为作用线，元素之间不存在关系就没有作用线。若某元素与相邻下一层次的所有元素均有关系，则称此元素与下一层次存在完全层次关系；如果某元素仅与相邻下一层次的部分元素有关系，则称为不完全层次关系。实际中，模型的层次不宜过多，每层元素一般不宜超过9个。目的：避免模型中存在过多元素而使主观判断比较有困难。第二十页，共六十八页，2022年，8月28日2.层次元素排序的特征向量法构建了层次结构模型，决策就转化为待评方案（最低层）关于具有层次结构的目标准则体系的排序问题。AHP方法采用优先权重作为区分方案的优劣程度的指标，优先权重是一种相对度量数，表示方案相对优劣程度，数值介于0－1之间，数值越大，方案越优，反之越劣。方案层各方案关于目标准则体系整体的优先权重，是通过递阶层次从下到上逐层计算的。这一过程称为递阶层次权重解析过程。第二十一页，共六十八页，2022年，8月28日递阶层次权重解析过程(1)测算每一层次关于上一层次某元素的优先权重（相邻两层次间的权重解析）方法： 构造判断矩阵； 计算判断矩阵的最大特征值和特征向量； 以特征向量各分量表示该层次元素的优先权重（？），得到层次单排序。(2)进行组合加权，得到该层次元素对于相邻上一层次整体的组合优先权重—层次总排序(3)最后计算得到方案层各方案关于目标准则体系整体的优先权重。第二十二页，共六十八页，2022年，8月28日物体测重问题

设有m个物体，其重量分别为W1,W2,…,Wm（未知），为测出各物体的重量，现将每一物体的重量与其它物体的重量作两两比较，其重量比值构成了一个m阶方阵A第二十三页，共六十八页，2022年，8月28日物体测重问题

记各物体重量组成的向量（未知）为

W＝(W1,W2,…,Wm)T有：由线性代数知：m是A的最大特征值，W是矩阵A属于特征值m的特征向量。第二十四页，共六十八页，2022年，8月28日物体测重问题的启示若一组物体无法直接测出其重量，但可以通过两两比较判断，得到每对物体相对重量的判断值，则可构造判断矩阵(A),求解判断矩阵的最大特征值和向量对应的特征向量，就可以得到这组物体的相对重量。类似地，对于社会、经济和管理领域的决策问题，可以通过建立层次结构模型，在相邻两层次之间构造两两元素比较的判断矩阵，用特征向量法求出层次单排序，最终完成递阶层次解析过程。第二十五页，共六十八页，2022年，8月28日物体测重问题的启示从对物体测重问题的分析中可以看出，判断矩阵A的元素aij＞0

(i,j=1,2,…,m)，且满足以下条件：

aii=1,i=1,2,…,m

aij=1/aji,i,j=1,2,…,m

aij=aik/ajk

,

i,j,k=1,2,…,m

满足条件①~③的矩阵A称为互反的一致性正矩阵。第二十六页，共六十八页，2022年，8月28日3.互反正矩阵与一致性矩阵定义1：设有矩阵A＝(aij)m×m（1）若aij≥0

(i,j=1,2,…,m)，则称A为非负矩阵，记作A≥0；（2）若aij＞0

(i,j=1,2,…,m)，则称A为正矩阵，记作A＞0。定义2：设有m维列向量X＝(x1,x2,…,xm)T（1）若xj≥0

(j=1,2,…,m)，则称X为非负向量，记作X≥0；（2）若xj＞0

(j=1,2,…,m)，则称X为正向量，记作X＞0。第二十七页，共六十八页，2022年，8月28日3.互反正矩阵与一致性矩阵定理1：设有矩阵A＝(aij)m×m＞0，则：（1）A有最大特征值λmax，且λmax是单根，其余特征值的模均小于λmax

；（2）A的属于λmax的特征向量X＞0；（3）λmax由下面的等式给出：其中：第二十八页，共六十八页，2022年，8月28日3.互反正矩阵与一致性矩阵定义3：设有矩阵A＝(aij)m×m＞0，若A满足：（1）aii=1,i=1,2,…,m（2）aij=1/aji,i,j=1,2,…,m

则称A为互反正矩阵。定义4：设有矩阵A＝(aij)m×m

＞0，若A满足：

aij=aik/ajk,i,j,k=1,2,…,m

则称A为一致性矩阵。第二十九页，共六十八页，2022年，8月28日一致性矩阵的性质一致性正矩阵是互反正矩阵；若A是一致性矩阵，则A的转置矩阵AT也是一致性矩阵；

A的每一行均为任意指定一行的正整数倍；

A的最大特征值λmax＝m，其余特征值为0；若A的属于特征值λmax的特征向量为：

X＝(x1,x2,…,xm)T

则：aij=xi/xj,i,j=1,2,…,m

第三十页，共六十八页，2022年，8月28日互反正矩阵的性质

一致性正矩阵是互反正矩阵，反之，互反正正矩阵不一定是一致性矩阵。定理2：设A＝(aij)m×m是互反正矩阵，λmax是A的最大特征值，则λmax≥m。定理3：设A＝(aij)m×m是互反正矩阵，λ1，λ2，…，λm是A的特征值，则：定理4：互反正矩阵A是一致性矩阵的充要条件是：

λmax＝m第三十一页，共六十八页，2022年，8月28日2.2.2判断矩阵1.判断矩阵的构造设m个元素(方案或目标)对某一准则存在相对重要性，根据特定的标度法则，第i个元素(i＝1，2，…，n)

与其它元素两两比较判断，其相对重要程度为aij

(i,j＝1,2,…,n),这样构造的m阶矩阵用以求解各元素关于某准则的优先权重，称为权重解析判断矩阵，简称判断矩阵，记作A=(aij)m×m

构造判断矩阵的关键，在于设计一种特定的比较判断两元素相对重要程度的标度法则，使得任意两元素相对重要程度有一定的数量标准。第三十二页，共六十八页，2022年，8月28日1—9标度方法标度定义含义1同样重要两元素对某属性，一元素比另一元素同样重要3稍微重要两元素对某属性，一元素比另一元素稍微重要5明显重要两元素对某属性，一元素比另一元素明显重要7强烈重要两元素对某属性，一元素比另一元素强烈重要9极端重要两元素对某属性，一元素比另一元素极端重要2、4、6、8相邻标度中值表示相邻两标度之间折中时的标度上列标度倒数反比较元素i对元素j的标度为aij，元素j对元素

i的标度为1/aij第三十三页，共六十八页，2022年，8月28日2.判断矩阵的一致性检验1—9标度方法构造的判断矩阵A一定是互反正矩阵；但A不一定是一致性矩阵，实际中，很难构造出具有完全一致性的矩阵；只有判断矩阵A具有完全的一致性时，才有唯一非零的最大特征值，其余特征值为0，层次单排序才能归结为判断矩阵A的最大特征值及其特征向量，才能用特征向量的各分量表示优先权重。实际中，我们希望判断矩阵具有满意的一致性，这样计算出的层次单排序结果才合理。第三十四页，共六十八页，2022年，8月28日2.判断矩阵的一致性检验判断矩阵A是互反正矩阵，故λmax≥m

；当A是一致性矩阵时：λmax＝m

，且其余的特征值为0；A具有满意的一致性：λmax略大于m，其余的特征值接近于0；设λ1，λ2，…，λm是A的全部特征值，则：

λ1＋λ2＋…＋λm＝tr(A)=m设λ1=λmax，则：第三十五页，共六十八页，2022年，8月28日2.判断矩阵的一致性检验一般来说，C.I

越大，偏离一致性越大，反之，偏离一致性越小。此外，判断矩阵的阶数m越大，判断的主观因素造成的偏差越大，偏离一致性也就越大。反之，偏离一致性越小。当阶数m≤2时，C.I=0，判断矩阵具有完全的一致性。（1）判断矩阵的一致性指标第三十六页，共六十八页，2022年，8月28日2.判断矩阵的一致性检验（2）平均随机一致性指标R.I：是足够多个根据随机发生的判断矩阵计算的一致性指标的平均值（表6.15）。（3）一致性比率C.R=C.I/R.I用一致性比率C.R检验判断矩阵的一致性，当C.R越小时，判断矩阵的一致性越好。一般认为，当C.R≤0.1时，判断矩阵符合满意的一致性标准，层次单排序的结果是可以接受的，否则，需要修正判断矩阵，直到检验通过。第三十七页，共六十八页，2022年，8月28日判断矩阵一致性检验的步骤（2）查表6.15得到平均随机一致性指标R.I（3）计算一致性比率C.R=C.I/R.I

若C.R≤0.1，接受判断矩阵； 否则，修改判断矩阵。（1）求出判断矩阵的一致性指标C.I第三十八页，共六十八页，2022年，8月28日3.判断矩阵的求解构造了判断矩阵，就要求解出判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向量，才能进行一致性检验。由于判断矩阵是决策者主观判断的定量描述（不精确），因此在求解时可采用简化计算的方法，求出近似解即可。简化计算的思路——一致阵的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取其某种意义下的平均。第三十九页，共六十八页，2022年，8月28日3.判断矩阵的求解1、和法——取列向量的算术平均将判断矩阵A的元素按列作归一化处理，得矩阵Q=(qij)m×m将Q的元素按行相加，得到向量α＝(α1,α2,…,αm)T

第四十页，共六十八页，2022年，8月28日（三）判断矩阵的求解1、和法——取列向量的算术平均对向量α作归一化处理得特征向量W＝(w1,w2,…,wm)T

求最大特征值

②③即对矩阵Q各行求算术平均得特征向量W。第四十一页，共六十八页，2022年，8月28日列向量归一化行算术平均精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.010一致性检验：C.I＝0.005，R.I＝0.52，C.R＝0.01＜0.1第四十二页，共六十八页，2022年，8月28日3.判断矩阵的求解2、根法——取列向量的几何平均计算判断矩阵A的每一行元素之积计算Mi的m次方根得到向量α＝(α1,α2,…,αm)T

第四十三页，共六十八页，2022年，8月28日（三）判断矩阵的求解2、根法——取列向量的几何平均对向量α作归一化处理得特征向量W＝(w1,w2,…,wm)T

求最大特征值

第四十四页，共六十八页，2022年，8月28日每行元素之积归一化一致性检验：C.I＝0.0055，R.I＝0.52，C.R＝0.011＜0.1三次方根第四十五页，共六十八页，2022年，8月28日3.判断矩阵的求解3、幂法——逐步迭代的方法 经过若干次迭代计算，按照规定的精度，求出判断矩阵A的最大特征值及其对应的特征向量。幂法是依据下面的定理提出的。定理：设矩阵A＝(aij)m×m>0，则：其中：W是A的最大特征值对应的特征向量，C为常数，向量e＝(1,1,…,1)T第四十六页，共六十八页，2022年，8月28日3、幂法——步骤1）任取初始正向量W(0),k=0，设置精度2）计算3）归一化5）计算4）若3.判断矩阵的求解停止；否则，k=k+1,转2）第四十七页，共六十八页，2022年，8月28日3.判断矩阵的求解

为了克服随着判断矩阵阶数的增加而产生精确求解最大特征值的困难，还可其他近似方法确定方案的权重。问题：对一致阵A＝(aij)m×m>0,其权向量为W=(w1,…,wm)T，则应有：aij=wi/wj

实际中A不一定是一致阵,对于正互反矩阵，在求解权向量时，应选权向量W使wi/wj与aij相差尽量小（对所有i，j）。第四十八页，共六十八页，2022年，8月28日3.判断矩阵的求解最小二乘法（LSM）：对正互反矩阵，通过下列最优化问题导出排序向量的方法称为最小二乘法。这是一个非线性规划问题。第四十九页，共六十八页，2022年，8月28日3.判断矩阵的求解对数最小二乘法（LLSM）：对正互反矩阵，通过下列最优化问题导出的排序向量的方法称为对数最小二乘法。目标函数关于lnwi是线性的，该方法结果与根法相同。第五十页，共六十八页，2022年，8月28日3.判断矩阵的求解梯度特征向量法（GEM）：设正互反判断矩阵为A，其伪（拟）互反矩阵为由下面的递推公式导出排序向量的方法称为梯度特征向量法。其中：第五十一页，共六十八页，2022年，8月28日3.判断矩阵的求解最小偏差法（LDM）：对正互反矩阵，由下列最优化问题导出的排序向量的方法称为最小偏差法。F(w)有唯一的极小点w*，且w*是下列方程组的唯一解：第五十二页，共六十八页，2022年，8月28日3.判断矩阵的求解目标规划法(LGP)：目标规划法是由Brynon

提出的，Brynon考虑了人们认识的差异性，通过引进正、负偏差变量，建立判断矩阵的元素与权重的关系：第五十三页，共六十八页，2022年，8月28日3.判断矩阵的求解目标规划法(LGP)

通过求解下面优化模型，确定方案的权重。第五十四页，共六十八页，2022年，8月28日递阶层次结构权重解析过程

讨论用AHP方法对一般非序列型目标准则体系问题进行决策。G总目标n层子目标准则层方案层第五十五页，共六十八页，2022年，8月28日递阶层次结构权重解析过程递阶权重解析：AHP方法的目的，在于求出各方案对总目标G的优先权重，求解过程从上到下，在相邻层次之间逐层进行，故称为递阶权重解析。注意：不完全层次关系 如：方案ai与准则cj不存在关系，构造方案层对准则cj的判断矩阵时，应将方案ai除外，得到m－1阶矩阵，解得m－1维特征向量，再将方案ai关于准则cj的权重0补进去，得到m维特征向量。第五十六页，共六十八页，2022年，8月28日完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关联不完全层次结构第3层对第2层权向量：w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T贡献O教学C1科研C2P2

P1P3P4例:评价教师贡献的层次结构P1,P2只作教学,P4只作科研,P3兼作教学、科研。C1,C2支配元素的数目不等第五十七页，共六十八页，2022年，8月28日递阶层次结构权重解析过程1.递阶权重解析公式首先，讨论相邻两层次间的权重解析。 设已计算第k-1层子目标关于总目标G的组合优先权重向量为：

W

(k-1)=(w1(k-1)

,w2(k-1)

,

…,wnk-1(k-1))T

第k层子目标的个元素对以第k-1层的第j个元素为准则的优先权重向量为：

Pj

(k)=(p1j(k)

,p2j(k)

,

…,pnkj(k))T令： P(k)=(p1(k)

,p2(k)

,

…,pnk-1(k))T

P(k)是第k层子目标nk个元素关于第k-1层nk-1个元素的优先权重向量构成的nk×nk-1矩阵。第五十八页，共六十八页，2022年，8月28日递阶层次结构权重解析过程1.递阶权重解析公式首先，讨论相邻两层次间的权重解析。 则第k层子目标关于总目标G的组合优先权重向量为：

W

(k)=(w1(k)

,w2(k)

,

…,wnk(k))T

其中：第五十九页，共六十八页，2022年，8月28日递阶层次结构权重解析过程1.递阶权重解析公式其次，用公式将递阶权重解析过程表示出来，给出方案层关于总目标G的优先权重向量。W

(1)：表示第一层子目标关于总目标G的优先权重向量；P(k)=(p1(k)

,p2(k)

,

…,pnk-1(k))T

：表示第k层子目标 关于第k-1层各元素的优先权重向量，k=2,…,n；第六十页，共六十八页，2022年，8月28日递阶层次结构权重解析过程P(c)=(p1(c),p2(c),

…,ps(c))T

：表示准则层s个准则 关于第n层nn个子目标的优先权重向量；P(a)=(p1(a),p2(a),

…,ps(a))T

：表示方案层m个方 案关于准则层s个准则的优先权重向量；最后，计算方案层各方案关于总目标G的优

先权重

。这个优先权重记为：

W

(a)=(w1(a)

,w2(a)

,

…,wm(a))T计算公式为：第六十一页，共六十八页，2022年，8月28日递阶