山东省淄博市天时中学2022年高三数学理模拟试卷含解析

山东省淄博市天时中学2022年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，则下列结论正确的是（

）A.的最大值为1 B.的最小正周期为2πC.的图像关于直线对称 D.的图像关于点对称参考答案：C【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简得f(x)的解析式，再利用三角函数函数性质考查各选项即可．【详解】函数=sin（2x）+1对于A：根据f（x）＝sin（2x）+1可知最大值为2；则A不对；对于B：f（x）＝sin（2x）+1，T＝π则B不对；对于C：令2x=，故图像关于直线对称则C正确；对于D：令2x=，故的图像关于点对称则D不对．故选：C．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．2.（5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D3.若函数f（x）=lnx与函数g（x）=x2+2x+a（x＜0）有公切线，则实数a的取值范围为（）A．（ln，+∞） B．（﹣1，+∞） C．（1，+∞） D．（﹣ln2，+∞）参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的极值和最值，即可得到a的范围．【解答】解：f′（x）=，g′（x）=2x+2，设与g（x）=x2+2x+a相切的切点为（s，t）s＜0，与曲线f（x）=lnx相切的切点为（m，n）m＞0，则有公共切线斜率为2s+2==，又t=s2+2s+a，n=lnm，即有a=s2﹣1+ln（2s+2），设f（s）=s2﹣1﹣ln（2s+2）（﹣1＜s＜0），所以f'（s）=＜0∴f（s）＞f（0）=﹣ln2﹣1，∴a＞﹣ln2﹣1，∵s∈（﹣1，0），且趋近与1时，f（s）无限增大，∴a＞﹣ln2﹣1故选A．4.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则A.乙可以知道四人的成绩

B.丁可能知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩

D.乙、丁可以知道自己的成绩参考答案：D由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D.5.已知全集U=R，集合A={x|x＜1}，则?UA=（）A．（﹣∞，1] B．[1，+∞） C．R D．（1，+∞）参考答案：B【考点】补集及其运算．【分析】根据补集的定义写出集合A的补集即可．【解答】解：全集U=R，集合A={x|x＜1}，则?UA={x|x≥1}=[1，+∞）．故选：B．6.设函数f（x）=，则满足不等式f（a）＜的实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，）∪（，+∞） C．（﹣1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（，）参考答案：D【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；分类讨论；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】直接分成两类讨论，①当a≤0时，解得a∈（﹣∞，﹣1）；②当a＞0时，解得a∈（，），再综合即可．【解答】解：分段函数解不等式，直接分段讨论求解，①当a≤0时，f（a）=2a＜=2﹣1，根据指数函数y=2x的单调性，解得a＜﹣1，即a∈（﹣∞，﹣1）；②当a＞0时，f（a）=|log2a|＜，即﹣＜log2a＜，解得a∈（，），综合以上讨论得，a∈（﹣∞，﹣1）∪（，），故答案为：D．【点评】本题主要考查了分段函数的应用，涉及对数不等式和指数不等式的解法，体现了数形结合的解题思想，属于中档题．7.若为虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：D8.已知函数，若函数（，）在区间[－1,1]上有4个不同的零点，则实数a的取值范围是（

）A. B.(2,+∞)C. D.参考答案：B【分析】求得函数为偶函数，利用导数得到函数的单调性，把函数在区间上有4个不同的零点，转化为与的图象在上有4个不同的交点，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，所以函数为上的偶函数，当时，，可得，所以函数在上单调递增，所以在单调递减，又由，所以函数的图象，如图所示，要使得函数在区间上有4个不同的零点，即函数与的图象在上有4个不同的交点，则满足，解得，即实数的取值范围是.故选：B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及利用导数研究函数的性质的应用，其中解答中熟练应用导数和函数的基本性质，把方程的零点的个数转化为两个函数的图象的交点个数，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.9.已知变量满足,则的取值范围是(

)（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示，即的边界及其内部，又因为，而表示可行域内一点和点连线的斜率，由图可知，根据原不等式组解得,所以．故选．10.当直线y=kx与曲线y=e|lnx|﹣|x﹣2|有3个公共点时，实数k的取值范围是(

) A．（1，+∞） B．（1，+∞） C．（0，1） D．（0，1]参考答案：C考点：根的存在性及根的个数判断．专题：数形结合．分析：要求满足条件直线y=kx与曲线y=e|lnx|﹣|x﹣2|有3个公共点时，实数k的取值范围，我们可以画出直线y=kx与曲线y=e|lnx|﹣|x﹣2|图象，有且仅有三个交点时实数k的取值．解答： 解：直线y=kx与曲线y=e|lnx|﹣|x﹣2|的图象如图所示，由图可知直线y=kx与曲线y=e|lnx|﹣|x﹣2|当a=1时，有且仅有两个交点，当0＜a＜1时时，直线y=kx与曲线y=e|lnx|﹣|x﹣2|有3个公共点，实数k的取值范围是（0，1）故选C．点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，画出函数的图象，进而利用图象法进行解答是解答本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设，若，则

．参考答案：12.已知，则

.参考答案：-4略13.（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．（Ⅰ）当时，求函数的表达式；（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）参考答案：（Ⅰ）由题意：当时，；―――1分

当时，设，显然在是减函数，―――2分由已知得，解得

―――4分

故函数的表达式为=―――6分

（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得―――8分当时，为增函数，故当时，其最大值为；―――9分当时，，―――10分当且仅当，即时，等号成立．所以，当时，在区间上取得最大值．―――11分综上，当时，在区间上取得最大值，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．12分略14.设θ为第二象限角，若tan(θ＋)＝，则sinθ＋cosθ＝

．参考答案：－

略15.在△中，已知，，且的面积为，则边长为

．参考答案：7略16.已知数列{an}，{bn}满足，，，则b1·b2·…·b2017=

．参考答案：∵，，∴，，∴，，归纳猜想：∴故答案为：

17.平面向量与的夹角为，，，则__________________。

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（2015?上海模拟）（文）已知函数f（x）=（1）当a=b=1时，求满足f（x）≥3x的x的取值范围；（2）若y=f（x）是定义域为R的奇函数，求y=f（x）的解析式；（3）若y=f（x）的定义域为R，判断其在R上的单调性并加以证明．参考答案：【考点】：指数函数综合题；函数奇偶性的性质．【专题】：计算题；证明题；函数的性质及应用．【分析】：（1）由题意知，≥3x；从而解不等式；（2）由题意知f（0）==0，再由f（1）+f（﹣1）=0解出a．b；从而验证即可；（3）由单调性的定义去证明．解：（1）由题意知，≥3x；化简得，3（3x）2+23x﹣1≤0，解得，﹣1≤3x≤；故x≤﹣1；（2）由题意，f（0）==0，故a=1；再由f（1）+f（﹣1）=0得，b=3；经验证f（x）=是奇函数，（3）证明：∵y=f（x）的定义域为R，∴b≥0；任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（3a+b），

∵x1＜x2，∴＞0；故当3a+b＞0时，f（x）在R上单调递减，当3a+b＜0时，f（x）在R上单调递增，当3a+b=0时，f（x）在R上不具有单调性．【点评】：本题考查了函数的性质应用及证明，属于基础题．19.（本小题满分14分）已知椭圆C:离心率，短轴长为．(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．

参考答案：（Ⅰ）．（Ⅱ）以为直径的圆过定点．证明见解析.试题分析：（Ⅰ）由短轴长为，得，由，得．（Ⅱ）设，，则有，从而直线方程，得到，由直线方程，得到，以为直径的圆，根据，得到，令，解得即知以为直径的圆过定点．试题解析：（Ⅰ）由短轴长为，得，

………………1分由，得．∴椭圆的标准方程为．

………………4分（Ⅱ）以为直径的圆过定点．

………………5分证明如下：设，则，且，即，∵，∴直线方程为：，∴……………6分直线方程为：，∴，

………………7分以为直径的圆为

………………10分【或通过求得圆心，得到圆的方程】即，

∵，∴，

………………12分令，则，解得.∴以为直径的圆过定点．

…………14分考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.圆的方程.20.（2017?唐山一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+b2=λab．（1）若，，求sinA；（2）若λ=4，AB边上的高为，求C．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知结合正弦定理得：，结合范围可求，即可得解sinA的值．（2）由题意及三角形面积公式可求，由余弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得，结合范围，可求C的值．【解答】解：（1）由已知，，结合正弦定理得：，于是．因为，所以，可得．（2）由题意可知，得：．从而有：，即，又因为，所以，．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．21.在中，、、分别是三内角A、B、C的对应的三边，已知。（Ⅰ）求角A的大小;（Ⅱ）若，判断的形状。参考答案：解：（Ⅰ）在中，，又

∴（Ⅱ）∵，∴∴，，，∴，

∵，∴,∴为等边三角形。略22.已知为正的常数，函数。（1）若，求函数的单调增区间；（2）设，求函数在区间上的最小值。参考答案：解：