应力与应力状态分析

应力与应力状态分析拉伸模量拉伸模量是指材料在拉伸时的弹性，其计算公式如下：拉伸模量〔/c㎡)=△f/△h(㎏/c㎡)f表示单位面积两点之间的力变化，△h表示以上两点之间的应变化。更具体地说，△h＝〔L-L0〕/L0，其中L0表示拉伸长前的长度，L表示拉伸长后的长度。§4-1 几组根本术语与概念一、变形固体的根本假设1、均匀连续性假设：假设在变形固体的整个体积内均匀地、毫无空隙地布满着物质，并且各点处的力学性质完全一样。点坐标的连续函数。2、各向同性假设：假设变形固体在全部方向上均具有一样的力学性质。3、小变形假设：认为构件的变形与构件的原始尺寸相比及其微小。件的变形而按构件的原始外形、尺寸进展计算。二、应力的概念1、正应力的概念分布内力的大小〔或称分布集度〕，应力。由于内力是矢量，因而应力也是矢量，其方向就是分布内力的方向。沿截面法线方向的应力称为正应力，用希腊字母σ表示。a/米〔N/m21N/m2称为1a

/米

KN/m2，a1KN/m21KPa

P〕，此外还有更大的单位兆帕〔Ma

P〕、吉帕〔Ga〕。几种单位的换算关系为：aa

103P=a=

=103KP

=103MP

=106KP

109P=a=aaaaa2、切应力与全应力的概念aaaaa与截面相切的应力重量称为切应力，用希腊字母τ表示。K点处某截面上的全应力pKK与切应力K的矢量和。三、位移、变形及应变的概念变形：构件的外形和尺寸的转变。位移：构件轴线上点的位置变化和截面方位的转变。的变形引起的，温度变化、支座移动等也会使构造产生位移。单元体：围绕构件内某一点截取出来的边长为无限小的正六面体。应变：描述单元体变形程度的几何量，包括线应变和角应变两类。线应变〔正应变〕ε：单元体线性尺寸的相对转变量。ε=Δu/u角应变〔切应变〕γ：单元体上直角的转变量。γ=90°-θσ与正应变ετ与切应变γ相互对应。四、受力构件内一点处的应力状态的概念构件内某点处的应力状态，是指通过该点的各个不同方位截面上的应力状况的总体。是必需的。为了争论一点处的应力状态主平面：单元体上没有切应力的面称为主平面。主应力：主平面上的正应力称为主应力。〔即肯定存在主单元体，因而每一点都对应着三个主应力。一点处的三个主应力分别用σ1,σ2和σ3按应力代数值的大小挨次排列，即σ1≥σ2≥σ3。于杆件，通常用一对横截面和两对相互垂直的纵截面截取原始单元体。主单元体：各面上没有切应力的单元体称为主单元体。应力状态的分类：空间〔三向〕应力状态：三个主应力均不为零平面〔二向〕应力状态：一个主应力为零单向应力状态：两个主应力为零正应力。了二向纯剪应力状态之外的其他二向应力状态和三向应力状态统称为简单应力状态。五、切应力互等定理都指向或都背离公共棱边，并且大小相等。六、应力与应变之间的关系试验说明，当只要杆件处于线弹性阶段〔应力不超过肯定限度与主应变之间以及切应力与剪应变之间存在肯定的关系，这种关系统称为胡克定律。另一种表达形式；剪切胡克定律；广义胡克定律。留意：全部胡克定律的适用条件均为：材料处于线弹性阶段。单向应力状态下的胡克定律和剪切虎克定律均可看作是广义虎克定律的一种特例。1、单向应力状态下的胡克定律σ方向的线应变ε与正应力σ之间存在如下的正比关系：σ=Eεx x式中比例常数E称为材料的弹性模量，其常用单位为GPa。弹性模量E只与材料的种类有关，它属于材料的弹性常数。单向应力状态下横向应变与纵向应变之间的关系：泊松比μ也属于材料的弹性常数，它也只与材料的种类有关。2、轴向拉压杆胡克定律的另一种表达形式Fll NEA轴力为常数时，只要杆件处于弹性状态〔正应力不超过肯定限度成正比，与杆段原长成正比，与杆件横截面积成反比，比例系数即材料的弹性模量。3、剪切胡克定律τ引起的角应变γ与切应力τ之间存在如下的正比关系：τ =Gγ式中比例常数G称为材料的剪切弹性模量〔又称为切变模量，其常用单位为GPa。剪切弹性模量G只与材料的种类有关，它属于材料的弹性常数。4、广义虎克定律1 2 3 1 2 三向应力状态下主单元体沿三个主应力、 、 方向的线应变分别用、 、表示，这种沿主应力方向的线应变称为主应变(principalstrain1 2 3 1 2 对于各向同性材料，在应力不超过其比例极限时，可以用叠加法来求其主应变。1E

2

3 E 1

3

3 E 3 1 2律只有在应力不超过材料的比例极限时才能使用。1使用上式时，其中的1

、2

、3

应以代数值代入，求的

、2

、3

中，正值表示伸1 2 1长，负值表示缩短，三个主应变仍按代数值大小挨次排列，1 2 11、2、3相应的改为x、y、z，等式仍旧成立，即： 1x E x

y

Eyy 1Eyy 1z E z

zzx

x xyx 应留意按上式求出的应变 、y、 x 在三向应力状态下，切应力和切应变之间也有肯定关系，即Gτ = γGxy xyτ =Gγyz yzτ =Gγzx zx方程；在试验应力分析中，依据某点处测出的应变，可以计算主应力或正应力、切应力。5、弹性常数E、G、μ之间的关系对各向同性材料可以证明，弹性常数E、G、μ存在如下关系G E2(1)32§4-2 轴向拉压杆与受扭杆横截面上的应力一、轴向拉压杆横截面上的应力〔压〔压F且正应力相等。设轴向拉〔压〕杆横截面上轴力为N，面积为A，则横截面上任一点的正应力为F NAN 轴力F 为拉力时，正应力取正号；F 为压力时，N 1MP 106P 106N/m2由于 a a

/MP位换算为N，长度单位换算为mm，得到的应力单位就是 a。二、应力集中的概念等直杆不管受轴向拉力作用还是受轴向压力作用力，但是，假设等直杆件横截面有局部减弱的状况〔如开槽、钻孔等，即使外力仍是轴向拉压，被减弱横截面上的正应力也不再均匀分布。实测说明，在被减弱横截面上，靠近减弱部位的正应力急剧增大的现象，称为应力集中。三、圆截面扭转杆横截面上的应力分布规律及其计算也就是说，只发生扭转变形的圆轴横截面上有且只有切应力。圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算公式为()MxIPIP称为截面的极惯性矩。对于受扭圆轴，其横截面上切应力在圆轴边缘处到达最大，即： M

x

Mxrmax I IrP PIW假设令 P

PrWP称为抗扭截面系数，则又有MI Wp、p的计算

xmax WP对于直径为d的圆截面杆：I d4P 32

W d3P 16

d对于空心圆截面杆，其内径为d，外径为D，内外径比值 D，有I P 32

d432

32

4)

D3W P 16

(14)四、矩形截面自由扭转杆的扭转切应力但在薄壁截面杆中，却不能无视。1、矩形截面杆的扭转切应力存在，长边中点处的切应力是整个横截面上的最大切应力。2、开口薄壁截面杆的扭转合的线，这种杆称为开口薄壁截面杆；假设中线是一条闭合线，这种杆称为闭口薄壁截面杆。变形性能比开口薄壁截面好。§4-3 截面的几何性质一、争论截面几何性质的意义面的几何性质有关。争论杆件的应力与变形，争论杆件的强度、刚度、稳定问题，都要涉及惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积等。二、形心、静矩及其相互关系定义以下积分：S zdAy A

S ydAz Ayz轴的静矩，其单位为m3。c z c y 图形几何外形的中心称为形心可以将面积看作垂直于图形平面的均匀分布力则形心即为合力的作用点。设y、z为形心坐标，依据合力矩定理有：S yA；S c z c y 由上述定义可以得出结论：正，对有些为负；对于通过形心的坐标轴为零。假设已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，假设形心位置，就可以计算图形的静矩。z y z y 图形〔可以直接确定形心位置的图形；然后由式SyA及SzA分别计算它们SyASzz y z y 三、惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径I定义以下积分：y

z2dA IA 、z

y2dAA yz轴的截面惯性矩。I定义积分P

2dAA

为图形对于点O的极惯性矩。I定义积分yz

yzdAA

为图形对于

y、z

两个坐标轴的惯性积。i y

i IyAIzA，z y、zIyAIzA由上述定义可知：1、惯性矩和极惯性矩恒为正；而惯性积则由于坐标轴位置的不同，可能为正，也可能为负。三者的单位均为m4或mm4。2、由于2

y2，所以由上述定义有：I 2dA(y2z2)dAI IP A A y z3、依据极惯性矩的定义，可以计算出圆截面对于其形心的极惯性矩为：4 πR4I I P 32或P 2dR为圆的半径。类似地，还可以得到圆环截面对于圆环中心的极惯性矩为：πD4 dI (14) P 32 DdD4-3-3所示。4．依据惯性矩的定义，可以计算出圆截面对于通过其形心的任意轴惯性矩为：d4I I Z y 64对于内径为dD的圆环截面D4 dI I (14) Z y 64 D对于坐标轴过形心点且分别平行于两边的矩形截面，其惯性矩为：I bh3，IZ 12

hb312可以看出，应用定义进展积分，可以计算各种简洁图形对于给定坐标轴的惯性矩。式计算惯性矩；而是利用简洁图形的惯性矩计算结果以及图形对于平行轴惯性矩之间的关系，由求和的方式求出。四、惯性矩平行移轴公式1、图形对于任意轴的惯性矩，等于图形对于与该轴平行的形心轴的惯性矩加上图形面积与两平行轴间距离平方的乘积。2、由于面积及包含a2、b2是增加的。六、主惯性轴与形心主惯性轴、主惯性矩与形心主惯性矩定义简称主惯性矩。对于通过形心的主轴称为形心主轴工程计算中有意义的是形心主轴与形心主矩。当图形有一根对称轴时，对称轴及与之垂直的任意轴即为过二者交点的主轴。§4-4 梁横截面上的应力弯曲是杆件的根本变形形式之一。梁平面弯曲时横截面上一般既有正应力又有切应力。一、梁横截面上的正应力横截面上只有弯矩而无剪力的梁段叫做纯弯曲横力弯曲梁段。〔一〕纯弯曲梁横截面上的正应力变化的。所以，其间必有一层纵向纤维既不伸长，也不缩短，该层称中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。中性轴将梁的横截面分成了两个区域，中性轴以上的为受压区，中性轴以下为受拉区。My梁在纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式： Iz由上式知，梁横截面面上任一点处的正应力，与截面上的弯矩M和该点到中性轴的y成正比，而与截面对中性轴的惯性矩Iz成反比。〔二〕正应力公式的适用条件由正应力计算公式〔9-4〕式的推导过程可知，它的适用条件是：①纯弯曲梁；②梁的最大正应力不超过梁所用材料的比例极限P；由矩形截面推导出的公式9-T面形式的梁。横力弯曲是弯曲问题中最常见的状况，在这种状况下，梁横截面上不仅有正应力存l/h有关，跨高比l/hl/h>5纯弯曲时的正应力计算公式计算弯曲正应力。对于T是对称轴。中性轴为对称轴时，tmax与Cmax|M|max中性轴为非对称轴时，LtmaxCmaxM+maxM-max在的截面上。二、梁横截面上的切应力〔一〕矩形截面梁横截面上的切应力分布规律两个假设：截面上任何点处的切应力方向与横截面的侧边平行，与剪力同向；切应力沿横截面宽度均匀分布，即距中性轴等距离处的各点的切应力相等。h大于宽度b的矩形截面导出切应力的计算公式。FS*Q zIbz这就是弯曲切应力的一般表达式。zs为横截面上所求切应力作用点的水平横线以下〔或以上〕局部截面积对中性轴的面FQ为所要求切应力横截面上的剪力；b为所求切应力点处的截面厚度；Iz为横截面对中性轴的惯性矩。z对矩形截面梁

6F bh3

h2( -y2)4

。可见，矩形截面梁横截面上的切应力沿截面高度按抛物线规律分布，上下边缘点处切应力为零，中性轴处切应力最大。二、工程中常用截面的最大弯曲切应力矩形截面梁的最大弯曲切应力3F 3F

F3 Q3

max

bh 2A工字形截面梁的最大弯曲切应力FS*担。对于腹板上的切应力仍可由公式

Q zIzb 计算，腹板上的最大切应力可由下式计算Fb为工字钢板厚度。

Qb(b(I)ZSZmax圆形截面梁的最大弯曲切应力R的圆截面梁，其最大切应力为：4F 4F

F4 Q4

4max

A 3§4-5平面应力状态分析确定通过该点其他截面上的应力，进而确定主应力和主平面。一、任意方向面上的应力 x y

xy

2 2 cos2 xsin2 x y＝ 2 sin2xcos2单元体上任意两个相互垂直方向面上的正应力之和为常数。二、主应力和主平面主平面的方位角0按下式计算：2x主应力计算公式：

tg20

x y( x2y)( x2y)22xi x yj 2 将由上式求得的两个主应力i、j与单元体零应力面上的零值主应力比较，便可确定1三个主应力、2和3。1三、应力圆应力圆绘制在以σ为横坐标，τ〔

x y2 (( x2y)22x⒉应力圆的作图方法取OB1=xB1Dx=xDx；同理，量取横坐标OB2=y，纵坐标B2Dy=yDy〔4-5-3b〕；连DxDy，与轴交于C点，以CCDx〔或CDy〕为半径作圆，即得单元体对应的应力圆。⒊应力圆的应用⑴确定单元体任意斜截面上的应力假设欲求单元体Dx点依据单元体上角的转向沿圆周转2角至EE面上的正应力和切应力。应力圆与单元体存在着如下对应关系：①点面对应——应力圆圆周上任一点的横应力和切应力。圆上任始终径两端点的坐标对应着单元体上相互垂直的两个平面上的应力。截面外法线之间的夹角的两倍，而且二者的转向一样。利用应力圆解题的关键是：点面对应，先找基准。假设应力圆上以Dx点为基准，则单元体上应以x〔2〕确定主应力的大小和主平面的位置应力圆与A1A2两个点分别对应着单元体上的两个主平面的主应力大小。DxDx点沿圆周转至A1〔A2〕20〔2090〕，x 45 准，由其外法线x以一样的转向转角度0〔0

〕，这样就确定了

i〔或j〕所在主iA1点到A2点所对圆心角为180，则在单元体上，两个主应力和j所在主平面的外法线之间的夹角为90，说明两个主平面相互垂直。i 由确定主平面位置的解析式解出的两个角度0和0/=0 ，分别代表着i和j的方向。假设仅用解析式计算时，哪个角代表

i的方向，哪个角代表

j的方向，还需加以判 断。经分析可知，较大的主应力i总是偏向于x和y之中的较大者；较小的主应力j总 是偏向于x和y之中的较小者。当x＝y时，0

45，主应力方向可直接由单元体45大”。§4-6受力构件内一点处的最大应力通过受力构件内任意一点处的最大正应力max和最大切应力max，都可以由该点的最1大主应力1

和最小主应力3

max

也就是最大主应力1，最大切应力max为最大应力圆的半径，即：max1max

1 32最大切应力max所在平面与2平行，且与1和3所在的主平面各成45角。上述结论同样适用与单向和二向应力状态。§4-7各种根本变形杆件的应力状态一、轴向拉压杆件的应力状态分析轴向拉伸杆件内任一点处于单向应力状态。轴向拉压杆件的最大正应力发生在横截面上，该截面上不存在切应力。轴向拉压杆件的最大切应力发生在45°斜截面上，该斜截面上同时存在正应力。轴向拉压杆件纵