初三数学圆知识点复习专题经典

.PAGE1.《圆》一、圆的概念概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆；〔补充2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线〔也叫中垂线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内点在圆内；2、点在圆上点在圆上；3、点在圆外点在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离无交点；2、直线与圆相切有一个交点；3、直线与圆相交有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离〔图1无交点；外切〔图2有一个交点；相交〔图3有两个交点；内切〔图4有一个交点；内含〔图5无交点；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：〔1平分弦〔不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；〔2弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；〔3平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理,简称2推3定理：此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即：①是直径②③④弧弧⑤弧弧中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙中,∵∥∴弧弧例题1、基本概念1．下面四个命题中正确的一个是〔A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2．下列命题中,正确的是〔．A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B．过弦的中点的直线必过圆心C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦,且过圆心D．弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示,如果油的最大深度为16cm,那么油面宽度AB是________cm.2、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后,,如果油面宽度是48cm,那么油的最大深度为________cm.3、如图,已知在⊙中,弦,且,垂足为,于,于.〔1求证：四边形是正方形. 〔2若,,求圆心到弦和的距离.4、已知：△ABC内接于⊙O,AB=AC,半径OB=5cm,圆心O到BC的距离为3cm,求AB的长．5、如图,F是以O为圆心,BC为直径的半圆上任意一点,A是的中点,AD⊥BC于D,求证：AD=BF.例题3、度数问题1、已知：在⊙中,弦,点到的距离等于的一半,求：的度数和圆的半径.已知：⊙O的半径,弦AB、AC的长分别是、.求的度数。例题4、相交问题如图,已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,AE=6cm,EB=2cm,∠BED=30°,求CD的长.AABDCEO例题5、平行问题在直径为50cm的⊙O中,弦AB=40cm,弦CD=48cm,且AB∥CD,求：AB与CD之间的距离.例题6、同心圆问题如图,在两个同心圆中,大圆的弦AB,交小圆于C、D两点,设大圆和小圆的半径分别为.求证：.例题7、平行与相似已知：如图,是⊙的直径,是弦,,于.求证：.六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论,即：①；②；③；④弧弧七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角∴2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙中,∵、都是所对的圆周角∴推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。即：在⊙中,∵是直径或∵∴∴是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。即：在△中,∵∴△是直角三角形或注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。[例1]用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形,根据图形3-3-19所表示的情形,四个工件哪一个肯定是半圆环形？[例2]如图,已知⊙O中,AB为直径,AB=10cm,弦AC=6cm,∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC、AD和BD的长．[例3]如图所示,已知AB为⊙O的直径,AC为弦,OD∥BC,交AC于D,BC=4cm．〔1求证：AC⊥OD；〔2求OD的长；〔3若2sinA－1=0,求⊙O的直径．[例4]四边形ABCD中,AB∥DC,BC=b,AB=AC=AD=a,如图,求BD的长．[例5]如图1,AB是半⊙O的直径,过A、B两点作半⊙O的弦,当两弦交点恰好落在半⊙O上C点时,则有AC·AC＋BC·BC=AB2．〔1如图2,若两弦交于点P在半⊙O内,则AP·AC＋BP·BD=AB2是否成立？请说明理由．〔2如图3,若两弦AC、BD的延长线交于P点,则AB2=．参照〔1填写相应结论,并证明你填写结论的正确性．八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。即：在⊙中,∵四边形是内接四边形∴例1、如图7-107,⊙O中,两弦AB∥CD,M是AB的中点,过M点作弦DE．求证：E,M,O,C四点共圆．九、切线的性质与判定定理〔1切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径,二者缺一不可即：∵且过半径外端∴是⊙的切线〔2性质定理：切线垂直于过切点的半径〔如上图推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵、是的两条切线∴平分利用切线性质计算线段的长度例1：如图,已知：AB是⊙O的直径,P为延长线上的一点,PC切⊙O于C,CD⊥AB于D,又PC=4,⊙O的半径为3．求：OD的长．利用切线性质计算角的度数例2：如图,已知：AB是⊙O的直径,CD切⊙O于C,AE⊥CD于E,BC的延长线与AE的延长线交于F,且AF=BF．求：∠A的度数．利用切线性质证明角相等例3：如图,已知：AB为⊙O的直径,过A作弦AC、AD,并延长与过B的切线交于M、N．求证：∠MCN=∠MDN．利用切线性质证线段相等例4：如图,已知：AB是⊙O直径,CO⊥AB,CD切⊙O于D,AD交CO于E．求证：CD=CE．利用切线性质证两直线垂直例5：如图,已知：△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O,交BC于D,DE切⊙O于D,交AC于E．求证：DE⊥AC．十一、圆幂定理〔1相交弦定理：圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。即：在⊙中,∵弦、相交于点,∴〔2推论：如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在⊙中,∵直径,∴〔3切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在⊙中,∵是切线,是割线∴〔4割线定理：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等〔如上图。即：在⊙中,∵、是割线∴例1.如图1,正方形ABCD的边长为1,以BC为直径。在正方形内作半圆O,过A作半圆切线,切点为F,交CD于E,求DE：AE的值。例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E,若AE＝6cm,BE＝2cm,CD＝7cm,那么CE＝_________cm。图2例3.如图3,P是⊙O外一点,PC切⊙O于点C,PAB是⊙O的割线,交⊙O于A、B两点,如果PA：PB＝1：4,PC＝12cm,⊙O的半径为10cm,则圆心O到AB的距离是___________cm。图3例4.如图4,AB为⊙O的直径,过B点作⊙O的切线BC,OC交⊙O于点E,AE的延长线交BC于点D,〔1求证：；〔2若AB＝BC＝2厘米,求CE、CD的长。图4例5.如图5,PA、PC切⊙O于A、C,PDB为割线。求证：AD·BC＝CD·AB图5例6.如图6,在直角三角形ABC中,∠A＝90°,以AB边为直径作⊙O,交斜边BC于点D,过D点作⊙O的切线交AC于E。图6求证：BC＝2OE。十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：垂直平分。即：∵⊙、⊙相交于、两点∴垂直平分十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：〔1公切线长：中,；〔2外公切线长：是半径之差；内公切线长：是半径之