2021-2022高中数学第二章圆锥曲线与方程3双曲线2双曲线的简单几何性质1作业含解析新人教A版选修2-120220309116

PAGEPAGE4双曲线的简单几何性质一、基础过关1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是 ()A．2B．2eq\r(2)C．4D．4eq\r(2)2．双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是 ()A．y＝±3x B．y＝±eq\f(1,3)xC．y＝±eq\r(3)x D．y＝±eq\f(\r(3),3)x3．双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的焦点到渐近线的距离为 ()A．2eq\r(3)B．2C.eq\r(3)D．14．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于 ()A．－eq\f(1,4)B．－4C．4D.eq\f(1,4)5．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为30°的直线，交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为 ()A.eq\r(6)B.eq\r(3)C.eq\r(2)D.eq\f(\r(3),3)6．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为 ()A.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1 D.eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1二、能力提升7．若双曲线离心率为eq\r(5)，焦点在x轴上，则其渐近线方程为____________．8．已知圆C过双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．9．如图所示，ABCDEF为正六边形，则以F、C为焦点，且经过A、E、D、B四点的双曲线的离心率为___________________________________________________．10．根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)与双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1有共同的渐近线，且过点(－3,2eq\r(3))；(2)与双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1有公共焦点，且过点(3eq\r(2)，2)．11．已知双曲线的一条渐近线为x＋eq\r(3)y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．12．求证：双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值．三、探究与拓展13．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．若双曲线上存在点P，使eq\f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq\f(a,c)，求该双曲线的离心率的取值范围．

答案1．C2．C3．A4．A5．B6．A7．y＝±2x8.eq\f(16,3)9.eq\r(3)＋110．解(1)设所求双曲线方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝λ(λ≠0)，将点(－3,2eq\r(3))代入得λ＝eq\f(1,4)，所以双曲线方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝eq\f(1,4)，即eq\f(4x2,9)－eq\f(y2,4)＝1.故双曲线标准方程为eq\f(x2,\f(9,4))－eq\f(y2,4)＝1.(2)设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．由题意易求c＝2eq\r(5).又双曲线过点(3eq\r(2)，2)，∴eq\f(3\r(2)2,a2)－eq\f(4,b2)＝1.又∵a2＋b2＝(2eq\r(5))2，∴a2＝12，b2＝8.故所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1.11．解椭圆方程为eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,16)＝1，可知椭圆的焦距为8eq\r(3).①当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝48，,\f(b,a)＝\f(\r(3),3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝36，,b2＝12.))∴双曲线的标准方程为eq\f(x2,36)－eq\f(y2,12)＝1.②当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝48，,\f(a,b)＝\f(\r(3),3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝12，,b2＝36.))∴双曲线的标准方程为eq\f(y2,12)－eq\f(x2,36)＝1.由①②可知，双曲线的标准方程为eq\f(x2,36)－eq\f(y2,12)＝1或eq\f(y2,12)－eq\f(x2,36)＝1.12．证明设P(x0，y0)是双曲线上任意一点，由双曲线的两渐近线方程为bx＋ay＝0和bx－ay＝0，可得P到bx＋ay＝0的距离d1＝eq\f(|bx0＋ay0|,\r(a2＋b2))，P到bx－ay＝0的距离d2＝eq\f(|bx0－ay0|,\r(a2＋b2)).∴d1d2＝eq\f(|bx0＋ay0|,\r(a2＋b2))·eq\f(|bx0－ay0|,\r(a2＋b2))＝eq\f(|b2x\o\al(2,0)－a2y\o\al(2,0)|,a2＋b2).又P在双曲线上，∴eq\f(x\o\al(2,0),a2)－eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，即b2xeq\o\al(2,0)－a2yeq\o\al(2,0)＝a2b2，∴d1d2＝eq\f(a2b2,a2＋b2).故P到两条渐近线的距离之积为定值．13．解如图，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由题意及正弦定理得eq\f(n,m)＝eq\f(a,c)，∴n＝eq\f(a,c)m.又m－n＝2a，∴m－eq\f(a,c)m＝2a，即eq\b\lc\(\