2021-2022高中数学第三章空间向量与立体几何1空间向量及其运算5空间向量运算的坐标表示1作业含解析新人教A版选修2-120220309137

PAGEPAGE4空间向量运算的坐标表示一、基础过关1．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A的坐标为(－1，2,1)，点B的坐标为(1,3,4)，则 ()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1,2,1)B.eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,3,4)C.eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,1,3)D.eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2，－1，－3)2．与向量m＝(0,2，－4)共线的向量是 ()A．(2,0，－4) B．(3,6，－12)C．(1,1，－2) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，－1))3．设A(3,3,1)、B(1,0,5)、C(0,1,0)，则AB的中点M到C的距离|CM|的值为 ()A.eq\f(\r(53),4) B.eq\f(53,2)C.eq\f(\r(53),2) D.eq\f(\r(13),2)4．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为 ()A．30° B．45°C．60° D．90°5．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，c＝(1，－x,2)，若(a＋b)⊥c，则x等于()A．4 B．－4C.eq\f(1,2) D．－66．已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a、b为邻边的平行四边形的面积为 ()A.eq\r(65) B.eq\f(\r(65),2)C．4 D．87．与a＝(2，－1,2)共线且满足a·z＝－18的向量z＝________________.二、能力提升8．已知2a＋b＝(0，－5,10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则〈b，c〉＝________9．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值是10．单位向量a＝(x，y,0)与向量c＝(1,1,1)的夹角为eq\f(π,4)，求：x＋y与xy的值．11．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．(1)求以向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))为一组邻边的平行四边形的面积S；(2)若向量a分别与向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))垂直，且|a|＝eq\r(3)，求向量a的坐标．12．已知正四棱锥S—ABCD的侧棱长为eq\r(2)，底面的边长为eq\r(3)，E是SA的中点，求异面直线BE与SC所成的角．三、探究与拓展13.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M⊥EFB1.

答案1．C2.D3.C4.C5.B6.A7．(－4,2，－4)8.120°9.eq\f(3,70)eq\r(70)10．解∵a与c的夹角为eq\f(π,4).∴coseq\f(π,4)＝eq\f(a·c,|a||c|)＝eq\f(x，y，0·1，1，1,\r(3)·\r(x2＋y2))＝eq\f(\r(2),2).化简得x＋y＝eq\f(\r(6),2)·eq\r(x2＋y2).①又|a|2＝x2＋y2＝1，②将②代入①，得x＋y＝eq\f(\r(6),2)，从而(x＋y)2＝eq\f(3,2)，∴xy＝eq\f(1,4).11．解(1)∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2，－1,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，－3,2)，∴cos∠BAC＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)，∴∠BAC＝60°，∴S＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|sin60°＝7eq\r(3).(2)设a＝(x，y，z)，则a⊥eq\o(AB,\s\up6(→))⇒－2x－y＋3z＝0，a⊥eq\o(AC,\s\up6(→))⇒x－3y＋2z＝0，|a|＝eq\r(3)⇒x2＋y2＋z2＝3，解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．12．解建立如图所示的空间直角坐标系．由于AB＝eq\r(3)，SA＝eq\r(2)，可以求得SO＝eq\f(\r(2),2).则Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2)，0))，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(\r(3),2)，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2)，0))，Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(\r(2),2))).由于E为SA的中点，所以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)，－\f(\r(3),4)，\f(\r(2),4)))，所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),4)，－\f(3\r(3),4)，\f(\r(2),4)))，eq\o(SC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2)，－\f(\r(2),2)))，因为eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(SC,\s\up6(→))＝－1，|eq\o(BE,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(SC,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，所以cos〈eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(SC,\s\up6(→))〉＝eq\f(－1,\r(2)×\r(2))＝－eq\f(1,2)，所以〈eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(SC,\s\up6(→))〉＝120°.所以异面直线BE与SC所成的角为60°.13.解建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)、B1(1,1,1)、C(0,1,0)、D1(0,0,1)、E(1，eq\f(1,2)，0)、M(1,1，m)．连结AC，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,1,0)．而E、F分别为AB、BC的中点，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，0)).又因为eq\o(B1E,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，－1))，eq\o(D1M,\s\up6(→))＝(1,1，m－1)，D1M⊥平面EFB1，所以D1M⊥EF，且D1M⊥B1即eq\o(D1M,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→