实际问题与二次函数（第2课时）课件 人教版数学 九年级上册

人教版数学九年级上册第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数第2课时二次函数与商品利润在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.如繁华的商业城中很多人在买卖东西。【思考】如果你去买商品，你会选买哪一家呢？如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？导入新知1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.

合作探究

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是

元，销售利润

元.180006000（1）销售额=售价×销售量;（2）利润=销售额-总成本=单件利润×销售量;（3）单件利润=售价-进价.新知利润问题中的数量关系【数量关系】合作探究

例1

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？涨价销售①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售涨价销售2030020+x300-10xy=(20+x)(300-10x)建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x),即：y=-10x2+100x+6000.6000如何定价利润最大典例精析②自变量x的取值范围如何确定？

营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x

≥0，且x

≥0,因此自变量的取值范围是0≤x≤30.③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？y=-10x2+100x+6000，当

时,y=-10×52+100×5+6000=6250.

即定价65元时，最大利润是6250元.降价销售①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售降价销售2030020-x300+18xy=(20-x)(300+18x)建立函数关系式：y=(20-x)(300+18x)，即y=-18x2+60x+6000.例2

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？6000综合可知，应定价65元时，才能使利润最大.

②自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x

≥0，且x

≥0,因此自变量的取值范围是0≤x

≤20.③涨价多少元时，利润最大，是多少？当

时,即：y=-18x2+60x+6000，由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?例3

某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？①每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每月利润（元）正常销售涨价销售1018010+x180-10xy=(10+x)(180-10x)1800建立函数关系式：y=(10+x)(180-10x),即：y=-10x2+80x+1800.营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故180-10x

≥0，因此自变量的取值范围是x≤18.③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？y=-10x2+80x+1800

=-10(x-4)2+1960.

当x=4时，即销售单价为34元时，y取最大值1960元.

答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最大利润1960元.

②自变量x的取值范围如何确定？

求解最大利润问题的一般步骤（1）建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：

可以利用配方法或公式法求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.仿佛带你某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内获得最大利润?解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则

y=(x+30-20)(400-20x)=-20x2+200x+4000=-20(x-5)2+4500.

∴当x=5时，y最大

=4500.答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元.巩固练习例4

某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元.

（1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？解：由题意得：当40≤x≤50时，

Q=60(x－30)=60x－1800.∵y=60>0，Q随x的增大而增大，∴当x最大=50时，Q最大=1200.

答：此时每月的总利润最多是1200元.

限定取值范围中如何确定最大利润典例精析（2）当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？解：当50≤x≤70时，

设y与x函数关系式为y=kx+b,

∵线段过(50，60)和(70，20).50k+b=60,70k+b=20,∴∴y

=－2x+160（50≤x≤70）.

解得k

=－2,b=160.∴Q=(x－30)y

=(x－30)(－2x+160)=－2x2+220x－4800

=－2(x－55)2+1250(50≤x≤70).∵a=－2＜0，图象开口向下，∴当x=55时，Q最大=1250.∴当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元.

解：∵当40≤x≤50时，Q最大=1200＜1218.当50≤x≤70时，Q最大=1250＞1218.∴售价x应在50~70元之间.因此令－2(x－55)2+1250=1218,解得：x1=51，x2=59.当x1=51时，y1=－2x+160=－2×51+160=58(件),当x2=59时，y2=－2x+160=－2×59+160=42(件).∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价为51元或59元，当月的销售量分别为58件或42件.

（3）若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销售量各是多少？变式：(1)若该商品售价在40～70元之间变化，根据例题的分析、解答，直接写出每月总利润Q与售价x的函数关系式；并说明，当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？解：Q与x的函数关系式为：60x－1800,（40≤x≤50

）－2(x－55)2+1250.（50≤x≤70）Q=由例3可知：若40≤x≤50，则当x=50时，Q最大=1200,若50≤x≤70，则当x=55时，Q最大=1250.∵1200＜1250∴售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元.（2）若该商店销售该商品所获利润不低于1218元，试确定该商品的售价x的取值范围；解：①当40≤x≤50时，∵Q最大=1200＜1218，

∴此情况不存在.

60x－1800,

（40≤x≤50）－2(x－55)2+1250.（50≤x≤70）Q=②当50≤x≤70时，

Q最大=1250>1218，令Q=1218，得－2(x－55)2+1250=1218.解得x1=51，x2=59.由Q=－2(x－55)2+1250的图象和性质可知:当51≤x≤59时，Q≥1218.因此若该商品所获利润不低于1218元，则售价x的取值范围为51≤x≤59.

xQ055121859511250（3）在（2）的条件下，已知该商店采购这种新商品的进货款不低于1620元，则售价x为多少元时，利润最大，最大利润是多少元？解：由题意得51≤x≤59,30(－2x+160)≥1620.解得：51≤x≤53.∵Q=－2(x－55)2+1250的顶点不在51≤x≤53范围内，又∵a=－2＜0，∴当51≤x≤53时，Q随x的增大而增大.∴当x最大

=53时，Q最大=1242.∴此时售价x应定为53元，利润最大，最大利润是1242元.xQo5512425351某商店购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元售出，那么每月可售出500个，据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个.

(1)假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是_______元，这种篮球每月的销售量是

个(用x的代数式表示).

(2)8000元是否为每月销售篮球的最大利润?如果是，说明理由，如果不是，请求出最大月利润,此时篮球的售价应定为多少元?x+1050010x8000元不是每月最大利润，最大月利润为9000元，此时篮球的售价为70元.巩固练习1.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30)出售，可卖出（300－20x）件，使利润最大，则每件售价应定为

元.25课堂练习2.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为

.每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为

.(以上关系式只列式不化简）.

y=2000-5(x-100)w=[2000-5(x-100)](x-80)最大利润问题建立函数关系式总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本确定自变量取值范围涨价:要保证销售量≥0；降件:要保证单件利润≥0确定最大利润利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出归纳新知1．若一种服装销售盈利y(万元)与销售数量x(万件)满足函数关系式y＝－2x2＋4x＋5，则盈利()A．最大值为5万元B．最大值为7万元C．最小值为5万元D．最大值为6万元B课后练习2．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件，若使利润最大，则每件商品的售价应为____元．25205

4．(2020·滨州)某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．(1)当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？(2)当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？(3)当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？(1)当售价为55元/千克时，每月销售水果500－10×(55－50)＝450(千克)

(2)设每千克水果售价为x元，由题意，得8750＝(x－40)[500－10(x－50)]，解得x1＝65，x2＝75，答：每千克水果售价为65元或75元(3)设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，由题意，得y＝(m－40)[500－10(m－50)]＝－10(m－70)2＋9000，∴当m＝70时，y有最大值为9000元，答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大5．(教材P52T8变式)某市结合本地丰富的山水资源，大力发展旅游业，该市某村庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房．根据合作社提供的房间单价x(元)和游客居住房间数y(间)的信息，乐乐绘制出y与x的函数图象如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需支出20元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大？最大利润是多少？6．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，床位可全部租出．若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位的租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高()A．4元或6元B．4元C．6元D．8元C7．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车，已知在甲、乙两地的销售利润y(单位：万元)与销售量x(单位：辆)之间分别满足y甲＝－x2＋10x，y乙＝2x，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为____万元．468．(2020·丹东)某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：(1)求出y与x之间的函数解析式；(不需要求自变量x的取值范围)(2)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？(3)物价部门规定，该衬衫