刚体力学 习题库

第四章刚体力学一、计算题1。如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联,绳子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动．假设定滑轮质量为M、半径为R，其转动惯量为，滑轮轴光滑．试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系．解：根据牛顿运动定律和转动定律列方程对物体：mg－T＝maTR=Jβ①2分2分1分对滑轮：②运动学关系：a＝Rβ③将①、②、③式联立得a＝mg/（m＋M）∵v0＝0,1分∴v＝at＝mgt/（m＋M）2分2.如图所示，转轮A、B可分别独立地绕光滑的固定轴O转动,它们的质量分别为mA＝10kg和mB＝20kg,半径分别为rA和rB．现用力fA和fB分别向下拉绕在轮上的细绳且使绳与轮之间无滑动．为使A、B轮边缘处的切向加速度相同,相应的拉力fA、fB之比应为多少？（其中A、B轮绕O轴转动时的转动惯量分别为和)解:根据转动定律fArA=JAβA①1分其中，且fBrB=JBβB②1分其中．要使A、B轮边上的切向加速度相同,应有a=rAβA=rBβB③1分由①、②式，有由③式有④βA/βB=rB/rA将上式代入④式,得fA/fB=mA/mB=2分3。一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上，如图所示．轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r，整个装置架在光滑的固定轴承之上．当物体从静止释放后，在时间t内下降了一段距离S．试求整个轮轴的转动惯量(用m、r、t和S表示)．解：设绳子对物体（或绳子对轮轴）的拉力为T，则根据牛顿运动定律和转动定律得：mg。T＝maTr＝Jβ①2分2分a=rβ②由运动学关系有：③2分由①、②、③式解得:J＝m（g－a）r2/a又根据已知条件v0＝0④∴S＝,a＝2S/t2⑤2分将⑤式代入④式得:J＝mr2(－1）2分4。质量为5kg的一桶水悬于绕在辘轳上的轻绳的下端，辘轳可视为一质量为10kg的圆柱体．桶从井口由静止释放，求桶下落过程中绳中的张力．辘轳绕轴转动时的转动惯量为轳的质量和半径，轴上摩擦忽略不计．，其中M和R分别为辘解：对水桶和圆柱形辘轳分别用牛顿运动定律和转动定律列方程mg－T＝ma①1分TR＝Jβa＝Rβ②1分1分③由此可得T＝m（g－a）＝m那么将J=MR2代入上式，得＝24。5N2分5。一长为1m的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动．抬起另一端使棒向上与水平面成60°，然后无初转速地将棒释放．已知棒对轴的转动惯量为，其中m和l分别为棒的质量和长度．求：(1）放手时棒的角加速度；(2）棒转到水平位置时的角加速度．解：设棒的质量为m，当棒与水平面成60°角并开始下落时，根据转动定律M=Jβ其中1分1分1分于是当棒转动到水平位置时，M=mgl1分那么1分6。一轴承光滑的定滑轮，质量为M＝2.00kg,半径为R＝0.100m,一根不能伸长的轻绳,一端固定在定滑轮上,另一端系有一质量为m＝5.00kg的物体，如图所示．已知定滑轮的转动惯量为J＝ω0＝10.0rad/s，方向垂直纸面向里．求：,其初角速度（1)定滑轮的角加速度的大小和方向；(2)定滑轮的角速度变化到ω＝0时，物体上升的高度；(3）当物体回到原来位置时，定滑轮的角速度的大小和方向．解：(1)∵TR＝Jβmg－T＝ma2分1分a＝Rβ1分∴β=mgR/(mR2＋J)＝81.7rad/s21分方向垂直纸面向外．1分（2)∵当ω＝0时,物体上升的高度h=Rθ=6.12×10—2m2分（3）10。0rad/s方向垂直纸面向外.2分7.一质量为M＝15kg、半径为R＝0.30m的圆柱体，可绕与其几何轴重合的水平固定轴转动(转动惯量J＝)．现以一不能伸长的轻绳绕于柱面，而在绳的下端悬一质量m＝8.0kg的物体．不计圆柱体与轴之间的摩擦，求：（1)物体自静止下落,5s内下降的距离；(2)绳中的张力．解：J＝＝0.675kg·m21分∵mg－T＝maTR＝Jβa＝Rβ2分1分∴a＝mgR2/（mR2+J)＝5.06m/s21分因此(1）下落距离（2）张力h＝＝63.3m2分T＝m(g－a)＝37.9N1分8.一半径为25cm的圆柱体,可绕与其中心轴线重合的光滑固定轴转动．圆柱体上绕上绳子．圆柱体初角速度为零，现拉绳的端点，使其以1m/s2的加速度运动．绳与圆柱表面无相对滑动．试计算在t=5s时(1）圆柱体的角加速度，(2）圆柱体的角速度，(3)如果圆柱体对转轴的转动惯量为2kg·m2，那么要保持上述角加速度不变,应加的拉力为多少？解：（1）圆柱体的角加速度ββ＝a/r＝4rad/s2（2)根据有2分，此题中ω0=0，则ωt=βt那么圆柱体的角速度20rad/s1分（3)根据转动定律fr=Jβf=Jβ/r=32N则2分9。一轴承光滑的定滑轮，质量为M＝2.00kg，半径为R＝0.100m,一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为m＝5。00kg的物体，如图所示．已知定滑轮的转动惯量为J＝其初角速度ω0＝10.0rad/s，方向垂直纸面向里．求:，（1）定滑轮的角加速度的大小和方向；(2)定滑轮的角速度变化到ω＝0时，物体上升的高度；(3)当物体回到原来位置时，定滑轮的角速度的大小和方向．解:(1)∵TR＝Jβmg－T＝ma2分1分a＝Rβ1分∴β=mgR/（mR2＋J)＝81。7rad/s21分方向垂直纸面向外．1分（2）∵当ω＝0时，物体上升的高度h=Rθ=6。12×10—2m2分（3）10.0rad/s方向垂直纸面向外.2分10.一质量为M＝15kg、半径为R＝0。30m的圆柱体，可绕与其几何轴重合的水平固定轴转动（转动惯量J＝)．现以一不能伸长的轻绳绕于柱面,而在绳的下端悬一质量m＝8。0kg的物体．不计圆柱体与轴之间的摩擦,求：（1）物体自静止下落,5s内下降的距离；（2）绳中的张力．解：J＝＝0.675kg·m21分∵mg－T＝maTR＝Jβ2分1分a＝Rβ∴a＝mgR2/(mR2+J)＝5.06m/s21分因此(1）下落距离（2）张力h＝＝63。3m2分T＝m(g－a)＝37。9N1分11.一半径为25cm的圆柱体，可绕与其中心轴线重合的光滑固定轴转动．圆柱体上绕上绳子．圆柱体初角速度为零，现拉绳的端点，使其以1m/s2的加速度运动．绳与圆柱表面无相对滑动．试计算在t=5s时（1）圆柱体的角加速度，(2）圆柱体的角速度，（3)如果圆柱体对转轴的转动惯量为2kg·m2，那么要保持上述角加速度不变，应加的拉力为多少?解:（1)圆柱体的角加速度ββ＝a/r＝4rad/s22分(2)根据，此题中ω0=0,则有ωt=βt那么圆柱体的角速度20rad/s1分(3）根据转动定律fr=Jβf=Jβ/r=32N则2分12。长为L的梯子斜靠在光滑的墙上高为h的地方,梯子和地面间的静摩擦系数为μ，若梯子的重量忽略，试问人爬到离地面多高的地方,梯子就会滑倒下来？解：当人爬到离地面x高度处梯子刚要滑下,此时梯子与地面间为最大静摩擦，仍处于平衡状态(不稳定的)．1分N1－f＝0，N2－P＝0N1h－Px·ctgθ＝0f＝μN21分1分1分解得1分13。一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动,起初角速度为ω0．设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即M＝－kω(k为正的常数)，求圆盘的角速度从ω0变为时所需的时间．解：根据转动定律：Jdω/dt=—kω∴2分两边积分：得ln2=kt/J∴t＝（Jln2)/k3分14.一圆柱体截面半径为r，重为P,放置如图所示．它与墙面和地面之间的静摩擦系数均为．若对圆柱体施以向下的力F＝2P可使它刚好要反时针转动，求(1)作用于A点的正压力和摩擦力，(2)力与之间的垂直距离d．解：设正压力NA、NB，摩擦力fA,fB如图．根据力的平衡，有fA＋NB=F+P=3P①1分NA=fB②1分根据力矩平衡，有Fd=（fA+fB)r③2分刚要转动有④⑤（1）把④及②、⑤代入①可求得NA=0。9P，fA=0。3P(2)由③可求得1分d=0.6r1分2分15.一轻绳跨过两个质量均为m、半径均为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m和2m的重物，如图所示．绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑．两个定滑轮的转动惯量均为．将由两个定滑轮以及质量为m和2m的重物组成的系统从静止释放,求两滑轮之间绳内的张力．解：受力分析如图所示．2分2mg－T1＝2maT2－mg＝ma1分1分T1r－Tr＝Tr－T2r＝1分1分a＝rβ2分解上述5个联立方程得:T＝11mg/82分16.质量分别为m和2m、半径分别为r和2r的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起,可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为9mr2/2，大小圆盘边缘都绕有绳子,绳子下端都挂一质量为m的重物，如图所示．求盘的角加速度的大小．解：受力分析如图．2分mg－T2=ma2T1－mg=ma11分1分T2(2r)－T1r=9mr2β/22分2rβ=a2rβ=a11分1分解上述5个联立方程，得：2分17.质量m＝1.1kg的匀质圆盘,可以绕通过其中心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对轴的转动惯量J＝(r为盘的半径）．圆盘边缘绕有绳子，绳子下端挂一质量m1＝1。0kg的物体，如图所示．起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率v0＝0.6m/s匀速上升,如撤去所加力矩，问经历多少时间圆盘开始作反方向转动．解：撤去外加力矩后受力分析如图所示．2分m1g－T=m1aTr＝1分Jβ1分a＝rβ1分a=m1gr/(m1r+J/r)代入J＝∵v0－at＝0t＝v0/a＝0。095s，a==6.32ms-22分2分∴1分18.一轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的半径为R,质量为M/4，均匀分布在其边缘上．绳子的A端有一质量为M的人抓住了绳端，而在绳的另一端B系了一质量为M的重物，如图．设人从静止开始相对于绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求B端重物上升的加速度？（已知滑轮对通过滑轮中心且垂直于轮面的轴的转动惯量J＝MR2/4）解:受力分析如图所示．设重物的对地加速度为a,向上。则绳的A端对地有加速度a向下，人相对于绳虽为匀速向上，但相对于地其加速度仍为a向下。2分根据牛顿第二定律可得：对人：Mg－T2＝Ma①2分对重物：T1－Mg＝Ma②2分根据转动定律,对滑轮有（T2－T1)R＝Jβ＝MR2β/4因绳与滑轮无相对滑动，③2分a＝βR④1分1分①、②、③、④四式联立解得a＝2g/719。如图所示，设两重物的质量分别为m1和m2，且m1＞m2，定滑轮的半径为r,对转轴的转动惯量为J，轻绳与滑轮间无滑动,滑轮轴上摩擦不计．设开始时系统静止，试求t时刻滑轮的角速度．解：作示力图．两重物加速度大小a相同，方向如图。示力图2分m1g－T1＝m1aT2－m2g＝m2a1分1分设滑轮的角加速度为β，则(T1－T2)r＝Jβ2分且有a＝rβ1分由以上四式消去T1，T2得：2分开始时系统静止，故t时刻滑轮的角速度．１分20。质量为M1＝24kg的圆轮,可绕水平光滑固定轴转动，一轻绳缠绕于轮上，另一端通过质量为M2＝5kg的圆盘形定滑轮悬有m＝10kg的物体．求当重物由静止开始下降了h＝0。5m时，（1）物体的速度；（2)绳中张力．（设绳与定滑轮间无相对滑动，圆轮、定滑轮绕通过轮心且垂直于横截面的水平光滑轴的转动惯量分别为，)解:各物体的受力情况如图所示．图2分由转动定律、牛顿第二定律及运动学方程，可列出以下联立方程：T1R＝J1β1＝方程各1分共5分T2r－T1r＝J2β2＝mg－T2＝ma,a＝Rβ1＝rβ2，v2＝2ah求解联立方程,得m/s2=2m/s1分1分T2＝m(g－a)＝58NT1＝＝48N1分21。两个匀质圆盘，一大一小,同轴地粘结在一起，构成一个组合轮．小圆盘的半径为r，质量为m；大圆盘的半径＝2r，质量＝2m．组合轮可绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水平固定轴O转动，对O轴的转动惯量J＝9mr2/2．两圆盘边缘上分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为m的物体A和B,如图所示．这一系统从静止开始运动，绳与盘无相对滑动,绳的长度不变．已知r=10cm．求：（1)组合轮的角加速度β；(2）当物体A上升h＝40cm时，组合轮的角速度ω．解:(1）各物体受力情况如图．图2分T－mg＝mamg－＝m1分1分（2r）－Tr＝9mr2β/2a＝rβ1分＝(2r)β1分1分由上述方程组解得：β＝2g/(19r）＝10。3rad·s-2(2)设θ为组合轮转过的角度，则θ＝h/r1分ω2＝2βθ所以,ω=(2βh/r)1/2＝9.08rad·s-12分22.物体A和B叠放在水平桌面上，由跨过定滑轮的轻质细绳相互连接，如图所示．今用大小为F的水平力拉A．设A、B和滑轮的质量都为m，滑轮的半径为R，对轴的转动惯量J＝．AB之间、A与桌面之间、滑轮与其轴之间的摩擦都可以忽略不计，绳与滑轮之间无相对的滑动且绳不可伸长．已知F＝10N，m＝8.0kg，R＝0.050m．求：（1)滑轮的角加速度;（2)物体A与滑轮之间的绳中的张力；(3)物体B与滑轮之间的绳中的张力．解：各物体受力情况如图．图2分F－T＝ma＝ma1分1分（）R＝1分a＝Rβ1分由上述方程组解得：β＝2F/（5mR)＝10rad·s-22分T＝3F/5＝6。0N＝2F/5＝4。0N1分1分23。两个大小不同、具有水平光滑轴的定滑轮,顶点在同一水平线上．小滑轮的质量为m'，半径为r'，对轴的转动惯量J＝．大滑轮的质量m＝2m，半径r＝2r,对轴的转动惯量．一根不可伸长的轻质细绳跨过这两个定滑轮，绳的两端分别挂着物体A和B．A的质量为m,B的质量＝2m．这一系统由静止开始转动．已知m＝6.0kg,r＝5.0cm．求两滑轮的角加速度和它们之间绳中的张力．解：各物体受力情况如图．2分TA－mg＝ma1分(2m)g－TA＝(2m)a1分(T－TA）r＝1分(TB－T）(2r)＝（2m）(2r）21分a＝rβ＝（2r）1分由上述方程组解得：β＝2g/（9r）＝43.6rad·s—21分＝＝21。8rad·s—21分1分T＝（4/3）mg＝78。4N24.一质量m=6。00kg、长l=1.00m的匀质棒，放在水平桌面上，可绕通过其中心的竖直固定轴转动，对轴的转动惯量J=ml2/12．t=0时棒的角速度ω0=10.0rad·s-1．由于受到恒定的阻力矩的作用，t=20s时，棒停止运动．求:（1)棒的角加速度的大小;(2)棒所受阻力矩的大小；（3)从t=0到t=10s时间内棒转过的角度．解：（1)0＝ω0＋βtβ＝－ω0/t＝－0。50rad·s-22分（2）Mr＝ml2β/12＝－0.25N·m2分1分(3）θ10＝ω0t＋βt2＝75rad25.如图所示的阿特伍德机装置中，滑轮和绳子间没有滑动且绳子不可以伸长，轴与轮间有阻力矩，求滑轮两边绳子中的张力．已知m1＝20kg，m2＝10kg．滑轮质量为m3＝5kg．滑轮半径为r＝0.2m．滑轮可视为均匀圆盘，阻力矩Mf＝6.6N·m，已知圆盘对过其中心且与盘面垂直的轴的转动惯量为．解:对两物体分别应用牛顿第二定律（见图）,则有m1g－T1=m1a①T2–m2g=m2a②2分对滑轮应用转动定律，则有③2分1分对轮缘上任一点,有a=βr④又：=T1，=T2⑤则联立上面五个式子可以解出＝2m/s22分T1＝m1g－m1a＝156NT2＝m2g－m2a＝118N3分26.如图所示，一半径为R的匀质小木球固结在一长度为l的匀质细棒的下端，且可绕水平光滑固定轴O转动．今有一质量为m,速度为的子弹，沿着与水平面成α角的方向射向球心,且嵌于球心．已知小木球、细棒对通过O的水平轴的转动惯量的总和为J．求子弹嵌入球心后系统的共同角速度．解：选子弹、细棒、小木球为系统．子弹射入时,系统所受合外力矩为零,系统对转轴的角动量守恒．2分2分mv0（R+l)cosα=[J+m（R+l)2]ω1分27.如图所示，一半径为R，质量为m的水平圆台,正以角速度ω0绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量J＝．台上原站有2人,质量各等于转台质量的一半，一人站于台边A处，另一人站于距台的B处．今A处的人相对于圆台以速率v顺着圆台转向沿圆周走动，同时B处的人相对于圆台以中心速率2v逆圆台转向沿圆周走动．求圆台这时的角速度ω．解：以转台和二人