《2方向角问题》设计

方向角问题【教学目标】

1.使学生理解方位角概念的意义，并能适当的选择锐角三角函数关系式去解决有关直角三角形实际问题；2.培养学生将实际问题抽象为数学问题(形)的能力【教学重点】用三角函数有关知识解决方位角的实际问题;【教学难点】学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型.【教学过程】一、情境导入如图，一艘轮船从A点出发，航行路线为AC、CB，你知道如何准确描述此过程轮船航行的方向吗？二、合作探究探究点：与方向角有关的实际问题一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45°方向还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30km，B，C间的距离是60km，想要经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B，C的距离相等，请求出交叉口P到加油站A的距离(结果保留根号)．解析：此题针对点P的位置分两种情况讨论，即点P可能在线段AB上，也可能在BA的延长线上．解：分两种情况：(1)如图①，在Rt△BDC中，CD＝30km，BC＝60km，∴∠B＝30°.∵PB＝PC，∴∠BCP＝∠B＝30°.∴在Rt△CDP中，∠CPD＝∠B＋∠BCP＝60°，∴DP＝eq\f(CD,tan∠CPD)＝eq\f(30,tan60°)＝10eq\r(,3)(km)．在Rt△ADC中，∵∠A＝45°，∴AD＝DC＝30km.∴AP＝AD＋DP＝(30＋10eq\r(,3))km；(2)如图②，同理可求得DP＝10eq\r(,3)km，AD＝30km.∴AP＝AD－DP＝(30－10eq\r(,3))km.答：交叉口P到加油站A的距离为(30±10eq\r(,3))km.方法总结：求一般三角形的边长或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成45°角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来的路程600km远了多少？(参考数据：eq\r(,3)≈，eq\r(,2)≈，要求在结果化简后再代入参考数据运算，结果保留整数)解：过点C作CD⊥AB于点D，则AD＝eq\f(CD,tan30°)，BD＝eq\f(CD,tan45°)，∵AD＋BD＝AB，∴(eq\r(,3)＋1)CD＝600，∴CD＝300(eq\r(,3)－1)(km)．∴在Rt△BCD中，BC＝300eq\r(,2)(eq\r(,3)－1)(km)，在Rt△ACD中，AC＝600(eq\r(3)－1)(km)，∴AC＋BC＝600(eq\r(,3)－1)＋300eq\r(,2)(eq\r(,3)－1)≈747(km)，747－600＝147(km)．答：飞机的飞行路程比原来的路程600km远了147km.方法总结：构造直角三角形，分别解两个直角三角形．三、课堂练习1.（内蒙古呼和浩特市）如图5，、是两座现代城市，是一个古城遗址，城在城的北偏东，在城的北偏西，且城与城相距千米.城在城的正东方向.以为圆心，以千米为半径的圆形区域内有古迹和地下文物现要在、两城市间修建一条笔直的高速公路.（1）请你计算公路的长（结果保留根号）.（2）请你分析这条公路有没有可能对文物古迹造成损毁.分析：解本题的关键是根据题意构造直角三角形，只要过作于，就得到两个直角三角形.这样就把问题转化为直角三角形问题来解决.解：（1）过作于，在中，∵，∴，.在中，∵.∴.∴公路长（千米）.（2）∵（千米）（千米），∴此条公路不会对文物造成损毁.四、课堂小结方向角：指北方向或指南方向与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫方向角.解决与方向角问题的关键是找到与已知和未知数据相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题化归