矩阵的进一步讨论

1第三章矩阵的进一步争论根底训练题A的秩指的是什么？解：A中非零子式的最大阶数,假设没有非零子式,则A的秩为零.给出证明；是错的，举出反例.〔1〕Ar阶子式不为零；0 解：错.例如A=1 2,秩0 〔2〕Ar1阶子式全为零；1 0 0 解：错.例如A=0 1 2,秩A=2,但A有5个2-1阶子式非零. 0 2 〔3〕Ar＋1阶子式不为零；解：错.A=r冲突.〔4〕Ar阶子式不为零.解：对.Ar阶子式全为零,A<r冲突.取何值时，矩阵的全部1 1 2 1 1 2 2 4 .2.求以下矩阵的秩1

2 0 1

0 1

1 2 (1)

2 1 1

1

3 1.解:(1)4;

2 1 1 1 1 0 2

2 1414

2 16 1A*FnAA<n－1A*的秩是多少？解:A*=0..AFmnm.mG,使GA＝0.证明:A＝r,mPnQ,使得PAQ=Ir 00 00令m阶方阵B=0 B0,而

0 mr

mr

m阶单位矩阵,r<m,BPAQ=BIr 0=00 0G=BP,Pm阶可逆矩阵,所以G0.GAQ=0两边右乘以Q1即得GA=0.A2CAC＝0.1 0 1A＝1 1 0 1 0 解:由于T(1)T

(1)AT(1)I2 032 21

13 0 00 0 10 0 所以CT(1)0 I=0 0 0.13

1 0 0 1 ,A的特征向量？为什么？解:假设0, 则不是A的特征向量;假设0, 则是A 的属于特征根的特征向量.这是由于A()=().求以下矩阵的特征根.(1)

2 4

. 122 12231024;(2)101(1)11(2)1

=7,2=2,2

2;31.31210.设12

,

是相应的特征向量，12证明＋121

A的特征向量.12证明:假设＋是A的属于特征根的特征向量,则12A(＋)=(＋),另一方面A(＋)=＋1 2 1 2 1 2 1 2()()0,

因此1 1 2 2 1 2 1 2).11k = kA111

=2

=k2 12(21

)121

=0.因此1

.冲突.2A,BFnA可逆，证明，ABBA相像.证明:由于ABABAA1(A1)1(BA)A1,ABBA相像.成立，请举一个反例.1 0 1 1解:不成立.例如:A0 1,B

f(x)f(x)(x1)2,A与A B 0 1B不相像(B=A).AB相像，其中ab的值.

2 0 0 1 0 0 A＝2 a 2， B＝0 2 0. 3 1 1 设A,B,T都是复数域上的n阶方阵,且T是可逆矩阵.证明,假设T1AT=B,m,T1AmT=Bm.证明:B2＝(T1AT)(T1AT)=T1A2TB3＝B2B=(T1A2T)(T1AT)=T1A3T…….Bm＝T1AmT.A,BFn阶对称矩阵，证明，ABAB＝BA.ABABAB)TBTATBA．ABBA，则AB)TBTATBAAB．AAT＝A.证明，实斜对称矩阵的特征根为零或纯虚数.A的任一特征根，则存在复数域上ｎ维列向量，使得c1

c2

,,c

均为复数且不全为零．用的转置矩阵c cn

1 2 nTTAT(TAAT矩阵的性质可得

所以()T0，而Tncci ii1

0．因此0，即是零或纯虚数．AB合同.A＝B.ABPBPTAPB＝秩(PTAP＝A．AB合同.证明，detAdetB的符号一样.AB合同，则存在可逆实方阵PBPTAP，因此detBdetTAP)(detP2 de，由于(detP20，所以detA与detB同正，同负或同时为零．用合同变换化以下矩阵为对角形.

1 1(1)

1 1 201 0 1， 0

2 20 1. 2 2 2 1 3 02 2 1 0

1 0 0 1 解〔１．0 1 0〔２．0

0；〔答案不唯一〕0 0

4 0

1用非退化的线性替换化以下二次型为标准形1〔1〕4x1

x2＋2x1x3

＋2x2x3;〔2〕x23x22xx＋2xx

6xx.1 2 12

13 23

1 1 1x 2 y1 1解1经非退化的线形替换x0 1 3y，得标准形：y2 2y2y21y21 2 2

2．3

x 1 13 23

2 31 1 3x

2y 1 1 1〔2经非退化的线形替换x20 1 2y2，得标准形：x y3 0 0 1 33 y24y2〔答案不唯一〕1 2nA是正定的,Pn阶实可逆矩阵.证明,PTAP也是正.A正定，所以存在可逆的n阶实矩阵Q，使得QTAQIn

，因此(P1Q)T(PTAP)(P1Q)QTAQIn

P1QPTAP正定．An阶实对称矩阵.证明，An阶实可逆PA＝PTP.AAIn

合同，所以存在nP，APTIn

PPTP．ijnAA的正惯性指数,A是半正定的.A＝(a)rn阶实对称矩阵,那么ijA是半正定矩阵的充分且必要条件是A与n阶方阵Ir 0合同;0 0x x A是半正定矩阵的充分且必要条件是对于变量 , ,…x x 1 2 n全为零的实数,f(x1

,x2

,…,xn

axxiji

的函数值都是非负数.

I 0证明〔１A半正定A的正惯性指数PA的秩r A与0

合同．00〔２．

设APMn

(R)IPTAPr0

0，其中r＝A．令XPY，由于P可逆，所以对任意一组不全为零的x1

,,xn

，都有y1

,,yr

,y

, ,yn

不全为零．因此f(x1

,,xn

)XTAXYT(PTAP)Yy2 y1 r

20．AprPMn

(R)，I 0 0P PTAP00

Irp

0，其中0prXPY，则 0 0f(x1

,,xn

)XTAXYT(PTAP)Yy2 y1

2yp

2 yp1

20y1

yp

0，但y

p1

, ,yr

, ,yn

x1

,,xn

f(x1

,,xn

0，冲突．An阶实对称矩阵.证明,A是半正定的,A的行列式是非负实数.APMn

I(RPTAPr0

0，I

0rn，则detA0．否则detA0．

0 0An阶正定矩阵,Bn阶半正定矩阵.证明,A+B是正定矩阵.A是nB是n阶半正定矩阵，所以对任意一个n维XXTAX0XTBX0XTABX0AB是正定的．A是一个正定矩阵.证明,对于任意正实数l, lA是正定矩阵;k,Ak是正定矩阵;A1是正定矩阵;AA*也是正定矩阵.〔１A正定，所以存在可逆的PMn此lA( lP)T( lP)．故lA正定．

(RAPT