《0三元一次方程组及其解法》案例

《三元一次方程组及其解法》教学案例教学目标：掌握三元一次方程组的概念，通过观察、分析、思考、讨论等方式，共同探索解三元一次方程组的方法，培养学生观察、归纳、分析、解方程组的能力。经历解三元一次方程组的过程，进一步体验化归的思想和消元的方法。通过小组合作的学习方式，培养学生的协作精神；通过小组间的比赛，激发学生的学习热情，强化学生的参与意识，培养学生勇于探索的精神。教学重难点：重点：掌握三元一次方程组的解法。难点：解法的灵活运用。能够熟练的解三元一次方程组是进一步学习一次方程组的应用基础．教学准备：多媒体课件、实物投影仪教学过程：教学过程教学内容教师活动学生活动教案设计说明一、复习导入探索新知问题：（1）什么叫二元一次方程组？（2）解二元一次方程组的基本方法有哪几种？（3）解二元一次方程组的基本思想是什么？（4）甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，求这三个数。解：设甲数为x,乙数为y,丙数为z，根据题意，得板书：三元一次方程组的解法提出问题，引导学生复习二元一次方程组的概念﹑解二元一次方程组的基本方法及解二元一次方程组的基本思想题目中有几个未知数？含有几个相等关系?你能根据题意列出几个方程？这个问题(4)必须三个条件都满足，因此，我们把三个方程合在一起，写成下面的形式：

引导学生，启发学生总结三元一次方程组的特点。引入新课学生观察所列方程组的特点，学生进行总结，教师板书学生思考，回忆二元一次方程组的相关内容，学生积极回答问题学生根据题意设未知数、根据题中的等量关系列方程．学生在老师的启发下，观察所列方程组有什么特点，总结了解三元一次方程组的特征，从而认识三元一次方程组的概念。通过问题的引入使学生复习巩固原有知识，同时通过列方程，引入新的知识，为新课的导入作准备。通过实际问题，引入三元一次方程组，使学生认识三元一次方程组，了解三元一次方程组的特点，增加学生感性认识通过学生的回答，教师总结板书，增加学生对三元一次方程组的理解二、围绕问题展开探索研究，进行归纳验证板书：如果方程组中含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是1次，这样的方程组叫做三元一次方程组．判断：下列方程组中，哪些是三元一次方程组？（1）（2）（3）思考：我们知道了什么叫三元一次方程组，那么如何去解三元一次方程组？经过讨论研究，我们可以知道：解三元一次方程组的思想方法是：应用举例：例1解方程组：分析：本题是一道三元一次方程组，虽然是三元一次方程组，但其中一个未知数的值是告诉同学们的，那么我们来研究讨论它的解题方法：是代入消元法解：将（1）代入（2）解得y=2.将（1）代入（3）解得z=10.所以，原方程组得解是总结：三元一次方程组类型一：两个是三元一次方程，第三个是直接告诉未知数的值。将第三个方程分别代入前两个方程中，就转化为二元一次方程组。例题2解方程组：分析：三个方程中的未知数y的系数相等或者互为相反数，可以把方程（1）（2）相加消去y，方程（2），（3）相加消去y，得到关于x,z的二元一次方程组。解：由（1）＋（2），得4x+4z=8即x+z=2(4)由（2）＋（3），得5x－8z=36(5)由（4）和（5）组成解得所以原方程组的解是总结：三元一次方程组类型二：三个方程都是三元一次方程。解这类方程组时，要先选择其中一个方程，与其他两个方程结合在一起，消去一个共同的未知数，组成新的二元一次方程组，然后将二元一次方程组的解代入任意一个三元一次方程，求出最初消去的那个未知数。练习：解下列方程组：（1）（2）例题3解方程：分析：该方程组的特点：这个方程组的三个方程左边是一个轮换对称式。让学生在练习本上练习，让个别学生板演。解法一：把（1）+（2）+（3），得到2(x+y+z)=－2,即x+y+z=－1(4)得z=13（4）－（2）得x=6（4）－（3）得y=－20所以，原方程组的解是解法二由（1）－（2），得x－z=－7(4)由（3）（4）组成方程组，得解得，x=6,z=13将x=6代入（1）得到y=－20所以，原方程组的解是解法三:先消去y,由（1）－（2）得x－z=－7(4)由（3）（4）组成方程组解得x=6,z=13再求出y=－20也可先消去x,组成方程组解得y=－20,z=13再求x=6.也可先消去z,组成方程组解得x=6,y=－20,再求z=13.所以，原方程组的解是总结：三元一次方程组类型三：已知三个未知数两两之和。一般先将三个方程相加，得到三个未知数之和，然后用三个数之和逐一减去每两个数之和。教师讲解三元一次方程组的概念。板书几组方程组，根据前面讲到的三元一次方程组的概念，引导学生进行判断。通过练习判断，重复三元一次方程组的概念，强化训练。总结三元一次方程组的概念，增加学生记忆我们已经了解了什么是三元一次方程组，那么如何去解三元一次方程组？引导学生回忆二元一次方程组的解法，从二元一次方程组的解法，类推到三元一次方程组的解法板书题目，引导学生讨论解题方法根据学生讨论结果，要求学生回答探索性的解题方法，教师板书，并对学生的回答做必要的引导和纠正根据例题，总结这类题目的特点，学会解这类题目的思想方法，达到举一反三的目的。请学生观察考虑先消哪个未知数，然后比较消哪个未知数较为简单。引导学生把三元一次方程组通过加减消元法转化为二元一次方程组让学生自己独立完成解二元一次方程组的过程强调解三元一次方程组的书写格式。强调消去“共同”的未知数根据例题，总结这类题目的特点，学会解这类题目的思想方法，达到举一反三的目的。进一步巩固所学新知让学生到黑板上进行板演，发现问题，及时纠正学生在做练习过程中存在的问题板书题目引导学生观察该方程组的特点：这个方程组的三个方程左边是一个轮换对称式。让学生分组讨论，研究解题方法教师根据学生提出的解题方法进行评价，将正确的解题方法用实物投影仪投影到屏幕上。启发学生，得到不同的解题方法，培养学生一题多解的能力，拓展学生的思维根据例题，总结这类题目的特点，学会解这类题目的思想方法，达到举一反三的目的。学生在书中找到三元一次方程组的概念，并阅读理解，增加记忆。学生根据三元一次方程组的概念，作出判断，回答老师提问。学生讨论研究学生回答老师问题。学生回忆复习二元一次方程组的解法。学生分小组进行讨论，运用前面所讲的解三元一次方程组的基本思想方法，讨论如何解题根据讨论结果，把解题思路告诉老师。在教师引导下，学会解题方法。在教师引导下，归纳这类题目的特点，解题的方法学生观察这个三元一次方程组中各未知数的系数有什么特点？发现未知数y的系数相等或者互为相反数学生在练习本上独立完成掌握解三元一次方程组的实际方法在教师引导下，归纳这类题目的特点，解题的方法引导学生观察该方程组的特点。学生说出方程组的特点教师引导下，归纳这类题目的特点，解题的方法引入三元一次方程组的概念。通过教师的讲解，学生完整规范的了解三元一次方程组的概念。加强学生记忆。通过设计这组判断练习题，加深学生对于三元一次方程组的概念的理解，纠正学生对于三元一次方程组概念的一些错误认识。加强三元一次方程组的概念的理解通过二元一次方程组的解法的复习与总结，引导学生将二元一次方程组的解法的思想类推到三元一次方程组的解法，使学生很自然的接受新引入的知识，使学生在不知不觉中突破解三元一次方程组的难点，使学生体验化归的思想和消元的方法，培养学生推理能力。通过学生的讨论，探究解题方法，教师引导和纠正，培养学生探索新知的能力。通过归纳总结，使学生学会解这类题目的思想方法，达到举一反三的目的。培养学生观察问题的能力让学生理解解三元一次方程组的过程和书写格式通过归纳总结，使学生学会解这类题目的思想方法，达到举一反三的目的。有了前例的基础，让学生独立尝试解题，可以培养他们分析问题、解决问题的能力；在解题后归纳题目的特点，更有助于学生探索方法、掌握技巧提高学生观察能力，和语言表达能力通过学生对方程组的观察和学生对解题方法的探讨，提高进一步掌握三元一次方程组的基本方法，提高学生灵活解题的能力通过不同解题方法的训练，培养学生思维能力，拓展学生思路通过归纳总结，使学生学会解这类题目的思想方法，达到举一反三的目的。三、知识的运用与巩固练习：一填空：1．解三元一次方程组的基本思想是______,方法是代入法与加减法，使_________消元转化为________,再消元转化为一元一次方程。2．方程组：的解是：___________.3．已知3(x+2)2+5(y-3)2+2(z+5)2=0,则x+y+z的值为_________.4.方程组：的解是__________.二思考题在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=-6;当x=-1时，y=-12;当x=-2时,y=-21.求a、b、c的值.教师投影题目，请学生口答。发现问题，及时纠正2．教师巡视，投影学生作业，进行点评。回答老师问题学生做练习学生做练习巩固知识，发现问题。通过练习进一步掌握所学知识，发现学习过程中的问题，纠正错误。四、课堂小结与评价本节课上同学们的思维活跃，发言积极，善于动脑。特别是同学们在讨论过程中善于寻找解方程组的最佳方法。那本节课上同学们都有哪些收获呢？启发学生思路，引导学生总结课堂所学内容，对学生的发言进行总结补充。学生思考，发言。让学生有足够的时间总结本节课的所学所悟，理清思路。五、布置作业1.练习部分习题2.探究题：如下图所示，三角形ABC的三边长AB=6cm,BC=7cm,CA=5cm,你能算出图中三个圆的半径吗？课后巩固练习。探究题①培养学生观察、分析、归纳能力。②对学有余力的学生增加难度，实施分层教学

教学设计说明与反思：本节教学的重点是掌握三元一次方程组的解法，教学难点是解法的灵活运用．能够熟练的解三元一次方程组是进一步学习一次方程组的应用的基础。本节课所用的教学方法包括：观察法、讨论法、练习法等等．反思本节课的教学，我有以下体会：（1）在学新知识的时候，运用学生原有的知识结构，从而自然过渡，不显得突兀，而且易于接受。如果只是强硬地灌输给学生知识，不考虑学生的理解程度，效果会很不理想。所以本节课一开始就复习原有二元一次方程组的概念与解法，运用解二元一次方程组的思想方法自然的类推出解三元一次方程组的解法，使学生自然而然的接受了解三元一次方程组的基本思想。

（2）在问题的设计方面，首先考虑到用多种途径来解决，从简到繁，从易到难，拓宽学生的思维。在例题三的解法上，先后运用三种不同的解题方法，启发学生的思路，拓展学生的思维，使学生真正理解解三元一次方程组的精髓。

（3）在解决问题的时候，注意适当的引导。在授课的时候，一部分学生理解能力很强，反应很快。但是仍有一部分学生需要教师一步步指引，对于这部分学生要有耐心。反复的启发引导他们，使每位学生都能掌握所学的内容。（4）注重学生的“转化”思维的训练。“转化”是数学研究中常用的一种方法。我们知道，数学知识间联系极为密切，许多新问题经过转化都可归结为我们已经了解的问题去解决。有些很难解决的问题通过转化就能归为一个较容易研究的问题。那么，我们首先就要注意培养学生的“转化”思想。具备这种思维能力，对于解决新问题是大有益处的。例如：在进行本节课的教学时，解三元一次方程组，由于学生已经学会二元一次方程组的解法，所以解三元一次方程组时解题的基本思路就是通过消元（或代入消元或加减消元），将其转化为二元一次方