《2用换元法解可化为一元二次方程的分式方程》案例

《用换元法解可化为一元二次方程的分式方程》教学设计【教学内容】上海教育出版社试用本八年级第二学期第二十一单章第三节可化为一元二次方程的分式方程（三）——换元法Ⅰ、教案：一、【教学目标】1．使学生掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，会用换元的方法求此类方程的解，并会验根.2．通过本节课的，向学生渗透“转化”的数学思想方法；3．通过本节的，继续向学生渗透事物是相互联系及相互转化的辨证唯物主义观点.二、【教学重点与难点】【教学重点】能正确、熟练的运用“换元法”解可化为一元二次方程的分式方程．【教学难点】解分式方程时，学生不容易理解为什么必须进行检验．三、【教学准备】查找资料，熟读教材，准备小黑板四、【教学过程】（一）复习题问：1.解分式方程的基本方法是去分母，基本步骤是去分母、解整式方程、验根.2.解分式方程时必须验根.目的：巩固旧知。（二）情景导入：到目前为止我们已经能比较熟练的解分式方程了，在学习中也学会了运用化归的思想来思考问题.下面请学生们思考：?环节一：在这里找个学生上黑板板演，其他学生下面解决，我全班巡视，注意学生的解题方法。环节二：总结方法：方法一：去分母——双二次方程分解因式法换元法方法二：观察方程本身据有的特征，两个分式互为倒数这一特征，采用先换元，再去分母的方法解决问题。引出课题：（三）新授课：（板书课题）21．3（3）用换元法解可化为一元二次方程的分式方程1、例题分析：例题4.注意：在这里不指定方法，让学生自由发挥，当学生用去分母的方法化为整式方程解决时，发现此整式方程是.在此教师可以引导：是什么原因使我们的尝试失败了呢？下面互相讨论分析一下：同样是分式方程，为什么求解分式方程成功了呢？现在把两者做一个比较.同学们会发现在求解分式方程时，通过去分母将分式方程恰好转化成一个特殊的高次方程，再通过换元思想或换元方法将高次方程转化为我们能解决的一元二次方程，从而得到原方程的解.而本题去分母后，分式方程转化为一个我们不会解的高次方程，说明在这里直接去分母对求解本方程于事无补！怎么办呢？我们仔细观察一下这个方程，有什么特殊之处？观察后可以发现分式与互为倒数关系.于是联系题目，可通过“换元”把原方程化成较简单的分式方程.两边都乘以2y得到注意：1、在这里要强调两（三）次验根，及为什么要两（三）次验根的理由。2、验根的方法有两种：一是把求得的根代入原方程的分母，使分母为零的值是增根，应舍去；二是代入所乘的最简公分母，使最简公分母的值为零的值是增根，应舍去.3、换元后的方程应该只有一个未知数，如果出现了两个未知数应该重新观察方程的特征，寻找新的方法换元，直到换元后只含有一个未知数为止.例题5解设，则原方程变形为.解得当时，解得当时，解得经检验，，都是原方程得根所以原方程得根是，2、下面请同学们小结规律，什么时候用换元法解决？要注意哪些问题？1）方程中含未知数的项是倒数形式，而且没有其他含未知数的项.这样的分式方程可以用换元法解.另外，当一个分式是另一个分式的平方时也可以采用换元法求解。即具有相同的整体或互为倒数的整体时可以换元.2）在运用换元法求解方程的根时求出y的值以后别忘了代入原方程求x,即回代，检验可以象书上一样分步检验，也可以最后直接代入原方程检验，但是一定要检验.3）换元时要注意先将方程化繁为简，即换元后不要出现两个未知数，然后再去分母，得到一元二次方程，避免出现高次方程，其实质还是起到了“降次”的作用.3、下面请同学们小结一下：用换元法解分式方程的方法和步骤：1）设元、换元；2）解换元后的方程（验根）；3）把换元后方程的解还原成原未知数的较简单的分式方程，求方程的根；4）验根。4、拓展探究：如何解方程解：可设=y,则=()2-2=y2-2原方程化为6(y2-2)+5y-38=0解之得y1=,y2=当y=时，=，3x2+10x+3=0,解之得x1=-3,x2=当y=时，=，2x2-5x+2=0,解之得x3=2,x4=经检验，x1=-3,x2=，x3=2,x4=都是原方程的根。（三）巩固练习：1、填空：用换元法解分式方程时，（1）时，可设y=，原方程可变形为；（2）时，可设y=，原方程可变形为；（3）时，可设y=，原方程可变形为；（4）时，可设y=，原方程可变形为；2、用换元法解下列方程：（1）；；；（4）；（5）；（6）3、已知，求的值（四）课堂小结：1、这堂课你学到了什么知识？2、在用换元法解题的时候要注意什么？3、在数学的学习中，要仔细观察题目，注意化归思想的应用.注意：本节内容的小结应从所学习的知识内容、所学知识采用了什么数学思想及方法两方面进行.本节我们通过类比的方法，在已有的解可化为一元一次方程的分式方程的基础上，学习了可化为一元二次方程的分式方程的解法，在具体方程的解法上，适用了“转化”与“换元”的基本数学思想与基本数学方法.此小结的目的，使学生能利用“类比”的方法，使学过的知识系统化、网络化，形成认知结构，便于学生掌握。（五）作业布置：练习册习题（3）Ⅱ、教案设计说明：本节课教材上的引例不容易直接让学生想到用换元法解，而且可以有其他方法解，体现不出换元法的优势，所以一上来，我就先让学生自己去寻找解题的思路和解题的方法，然后给出例题4，由于学生用其他方法有障碍，在反思后，就能理解为什么用换元法，也更体现出了换元法的优势。而关于检验，课本的检验比较啰嗦，学生不容易理解，所以可以用最后一次检验的方法.由于学生容易忽视对分式方程的解进行检验，所以在教学中可以通过对分式方程的解进行剖析，使学生进一步认识解分式方程必须进行检验的重要性．由于初学用换元法解分式方程，学生一般不容易想到直接用换元法解分式方程，所以在教学中教师不应该急着让学生推出，而是在后面的问题中，当他们遇到障碍的时候，再引导他们重新观察问题，发现尝试新的方法.这样学生对所学知识也更容易掌握.Ⅲ、教学反思：本节课我是以课本为基础，通过让学生探究解一道比较简单的题目出发引出课题的，其实这道题目解法并不唯一，可以先去分母再换元，也可以去分母后直接分解因时，也可以先换元再去分母，在教学中学生对这道题目的解法都可以得出，但是在做例题4时有一部分学生遇到了问题——先去分母再解题根本做不出来了，这时候就想到了能不能用换元的方法解决此问题，但在换元的时候有的学生又遇到了一个问题——换元后出现了两个未知数了，这个时候教师就该发挥自己的主导作用了，让学生明白换元的时候应该满足怎样的特征的分式方程可以换元，换元的时候应该注意哪些问题等等.另外，作为教师应该充分利用学生已有的知识，指导学生把所要学的数学知识转化为已学习过的数学知识，体会数学中的化归思想。进而激发他们热爱数学，学好数学，为他们的可持续发展奠定基础。而且我认为教师在设计教学时，要以课程标准为指导，以教材为依据，但