线性代数-课件第四讲

矩阵的秩与矩阵的初等变换（续）三、初等矩

c3

00

P2

00

11

0000 分别计算P1、P2、P3A解

0

a3

a3

0

b3=

2b3

c3

c3

00

0 0

c3

bb c2

c32b3

1010

0 0

a3c3

a3c3

a3

0

c3 c3a22a3

01a3

00

c3

b2c2

c3

a3

a3

0

c3

c3定义由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩1 IiEi(c) 1 1 1 11k1 I

E(k) 1 1 1 010110 ij ij 1 1 IEi(c)，

jE(k)，

定理对mnA作一次初等行变换，等同于在A的左边乘上一个对应的m阶初等矩阵A作一次初等列A的右边乘上一个对n阶初等矩阵。

c1

A

c2

B

3c2

a1

a1

c1C

a2

D

c2AB、C、D

AB，13 3

33

故AE3(3B而

CA C 3

E12(2)，11故AE12(2)D A

a3

B

aa

c3

c2

c32a31P1

0，Q

00

0101 PQA QPQA=BQPA=B

A

b3

c3

c3a a

c2

c32a3又R12PR32R2对应Q,QPAQ(PA)性PQ=QP=I定理推论定理AB是两个mnA相抵于B的充分必要条件是m阶满秩矩阵Pn阶QPAQ=B。定理AB秩(A秩推论定（1）秩(A)=秩ATn秩(A秩(PA秩(AQ秩A4×5(A

0 0B= 40 40P，均存在同阶的满秩方Q，使PQ=QP=I。P满秩，故存在初等矩阵P1P2,使P

。已知对初等矩阵Pi，存在初阵Qi

Qi

I

1,2,sQQsQs1Q2Q1，则QPQ=QP=I 可逆矩定义Ann使AB=BA=A是可逆矩阵BA的逆矩阵n0nI例设方阵A满足AA3I证

A23A10I

A(A3I)

且A3IA10I(1AA3I 且A3I)(

A1A3I 且[1A3I)]A

由(1)得A3I可逆，且A3I)1

1A由(2得A可逆，且

1(A3I).定理AA是可逆矩阵的充分必A满秩。推论AnnBAB=IBA=IA可逆，且A1B.例设方阵A满足AA3I证

A23A10I

A(A3I)(1A)(A3I)

A[1(A3I)]

由(1)得A3I

(A3I)1

1A由(2得A可逆，且

1(A3I).设矩阵A可逆，则存在若干个初等矩阵①式两边同时右乘A1

把AI化为A1。 I求矩阵A 3 A 677解 7 7

10 22

1111(1)

1

2 1 性A可逆，则A1也可逆，并且A1)1A可逆，则AT也可逆，且AT)1ABAB且

B1(Am)1(如何判断矩阵是否可逆？如何求逆矩阵思考AB为同阶可逆矩阵AB)1可逆吗(A

1

A1

？kA可逆吗BnA1令

A2AB A2证明：当

1

ATB1

0时，A

1(B1A1)(ATB1) A[B11(B1A1)(AT (BAAT)[B11(B1

)(AT BB1

c

AT AT 2 (Bc

2I12

ATB1

ATB11

(AT

)AT Ic1AATB1c1

AT

故A

1(B1A1ATB1) 例(1.4.7)ABABA1B1证AB都可逆，故存在A1与B1

A1A

A1

B1

A1A1

IBA1A1(IAB1)A1(BB1A1(BA1、B

A1B1

B（A1

B

[

BA）B

B

B（A定理设A是nAX=0A不可逆。矩阵方程AX=C，XB=D，AXB=A、B都是可逆矩阵。AX=

X

XB=

XAXB=

X

例(1.4.8)

1例(1.4.9) 2 2 A、B、X A

(I

AB1)TX 求矩阵X由(I

AB1)TX 可X[(

[BT(I{[(

[(B

A)T

0

0 0 0 4

0202

0 0 14例(1.4.10)设矩阵X满足AXA2XA

3 03 3A2I可逆；(2)求X解法一

0∵A2I 0行 1 ∴A2I

由此得A2I