计算机控制系统第五章

第五章极点配置设计：多项式方法

5.1引言

5.2简单的设计问题

5.3丢番图方程

5.4更实际的假设

5.5相对于建模误差的灵敏度

5.6设计步骤

5.7双重积分起的控制器的设计

5.8谐波振荡器的控制器的设计

5.9柔性机器人臂的控制器的设计

5.10与其它设计方法的关系

5.11结论第五章极点配置设计：多项式方法极点配置：闭环系统具有指定的特征方程。模型：输入-输出模型。(SISO)设计5.1引言5.2简单的设计问题

5.2.1设计问题求解

5.2.2小结5.2简单的设计问题设计问题：为具有输出反馈的线性系统寻求一个二自由度的控制器。考虑因素：指令信号的跟踪，负载扰动的衰减，以及测量噪声的影响。设系统的单输入单输出模型为：(5.1)假设的次数低于的次数。且两者没有任何公因子——互质。为首一多项式：多项式中的的最高幂项的系数被规范化来等于1。过程的脉冲传递函数：它包括：保持电路，执行机构，传感器和防假频滤波器。设计变量：闭环特征多项式，采样周期。引入控制规律：(5.2)其中：，和是正向平移算子多项式。为首一多项式。5.2.1设计问题求解在过程模型(5.1)式和控制器(5.2)式之间消去，得：(5.3)闭环系统的特征多项式为：(5.4)问题：寻求满足方程(5.4)得多项式和的代数问题。方程(5.4)在多项式方法中起着重要作用，称为丢番图方程。多项式可因式分解为：(5.5)其中：控制器多项式观测器多项式多项式的设计由指令信号到输出的脉冲传递函数为：(5.6)选择多项式：(5.7)系统对指令信号的响应为：(5.8)为了得到单位增益，应选：5.2.2小结综合前几节，得到下列设计步骤：算法5.1简单极点配置设计数据：由脉冲传递函数指定的控制模型，其中和互质。性能规范由希望的闭环特征多项式给定。步骤1

求满足方程：得多项式和，且。步骤2

把闭环特征多项式分解为且。系统对指令信号的响应为：其中。控制律是：；5.3关于丢番图方程基本数学问题是应理解下列多项式方程的性质：其中，A、B、C是已知多项式，X和Y是未知多项式。(5.9)欧几里得算法最大分约式定理5.1丢番图方程的解的存在性设A、B和C是具有实系数的多项式，那么方程(5.9)有一个解的充要条件是A和B的最大公因子能除尽C。如果和是方程（5.9）的一个解，则和也是一个解，其中是任意多项式。推论5.1唯一解方程(5.9)有唯一解的条件是或因果性条件因果性约束条件：如果计算时间等于一个采样周期有：(5.19)最小次数解最小次数解为：和如果控制器具有积分作用，则控制器的次数为n

。由推论5.1有，如果与线性矩阵方程的关系斯尔维斯特（Sylvester）矩阵考虑方程（5.9），假设多项式的次数为：则有：例5.1双重积分器的控制对于双重积分器有：丢番图方程（5.4）为：于是得：得：最简单的情况是比例控制器，这是有和采用一阶控制器，这时和将闭环特征多项式的实根与观测器多项式相对应，从而有：其中：进而得：选用：令同幂项系数相等，得：上述方程的解为：例5.2用于双重积分器的具有积分作用的控制器带有一个积分器的阶次为2的最简单的控制器为：将上两式带入丢番图方程(5.4)得：这个闭环系统是4阶的，它有4个待确定的参数。即：5.4更实际的假设

5.4.1极点和零点的消除

5.4.2扰动响应和指令信号响应的分离

5.4.3扰动响应的改善5.4更实际的假设5.4.1极点和零点的消除假设多项式A和B被分解为：(5.20)和是可以消去因子，将其选为首一多项式。由此得出，多项式R、S、T有如下结构：(5.21)由方程(5.4)得，闭环系统的特征多项式为：(5.22)因此被消去的多项式和是闭环特征多项式的因子。在条件下，选出唯一解就得到次数最小的因果控制器。（5.2）式的控制规律可以写为：把闭环特征多项式分解为，其中：(5.23)消去方程(5.22)中的公因子后，我们发现多项式和满足：(5.24)因此：因为，脉冲传递函数为：图5.1小结模型：控制律：闭环传递函数：丢番图方程：若有可对消系统的零点或极点：控制律：丢番图方程：则闭环传递函数由：即：若闭环稳态增益为1，则由：若期望的闭环传递函数为：5.4.2扰动响应和指令信号响应的分离设系统对指令信号的希望的响应为：则控制规律(5.2)式可写为：由丢番图方程（5.22）可得：因此：为得到理想的模型跟踪，。引入：(5.25)(5.26)(5.27)(5.28)这样控制规律（5.27）式可以写为：这个控制器由前馈和反馈两部分组成，前馈的脉冲传递函数为：反馈信号来自模型误差，其脉冲传递函数为：(5.29)(5.30)(5.31)图5.2采用(5.29)式的控制器的闭环系统框图，它允许指令信号响 应和扰动信号响应完全分离。5.4.3扰动响应的改善图5.3

具有指令信号，负载扰动和测量噪声的闭环系统的框图图5.3的系统描述为：求解方程(5.32)得：设计的目的是保证闭环系统稳定，则特征多项式的全部根都在单位圆内。若负载扰动为阶跃扰动，为避免静态误差，要求v到x的定态增益为零。则：。如果过程本身的增益非零即：则：。(5.32)(5.33)周期信号扰动的克服使成为的因子，即能消除之。频率为的正弦扰动的克服使具有因子即可。例5.5对消过程零点的电动机直流电动机的脉冲传递函数为：(5.34)(5.35)其中：注意，即这个零点位于负实轴上。首先假定希望的闭环系统由脉冲传递函数：表征。脉冲传递函数有一个零点，这个零点未包括在中。在给定的性能规范的情况下，必须消去零点。把分解为：这样：又有：多项式和的次数给定为：现在把零阶多项式和一阶多项式待入设计方程，得：令上式的z的同幂项系数相等，得：再加上：这样控制规律可以写成：(5.36)系统的阶跃响应的仿真结果示于图5.4中：5.5相对于建模误差的灵敏度5.5.1稳定裕量在表示系统对建模误差的灵敏度时，相位裕量和幅度裕量是传统的度量手段，3.3节引入的灵敏度函数是另一种度量手段。5.5.2另一种条件5.5.2性能图5.65.6设计步骤

5.6.1控制规律的计算

5.6.2尤拉-库塞拉参数化

5.6.3实际问题

5.6.4特征多项式

5.6.5观测器多项式的影响

5.6.6采样间隔的选择

5.6.7验证5.6设计步骤算法5.3一般极点配置设计数据：过程模型由脉冲传递函数规定，且和没有任何公因子；闭环特征多项式为；多项式和规定了和的已知因子；脉冲传递函数给定了系统对指令信号的希望相应。极点盈数条件：模型跟踪条件：不由控制器对消的的因子必须是的因子，即：多项式次数条件：(5.42)步骤1：把多项式和分解为和，其中和是能由控制器对消的因子。步骤2：相对于和的丢番图方程：(5.43)步骤3：这样，控制器由下式给定：(5.44)其中：(5.45)闭环特征式为：次数条件：在的条件下，方程(5.43)有一个最小次数解，这样由方程(5.44)得：因为：，就得到条件（5.42）式。5.6.1控制律的计算对方程：(5.46)有解和，对方程：(5.47)有最小次数解和。引入由：(5.48)定义的多项式和，其中是稳定的首一多项式。那么有：下列线性方程组来确定多项式的系数：(5.49)5.6.2尤拉-库赛拉（）参数化定理5.2尤拉-库塞拉参数化考虑由传递函数描述的系统，设是一个稳定的控制器，那么，所有有理的稳定控制器由：(5.50)描述，其中是稳定的。证明：引入，这样（5.50）式可以写为：闭环系统的特征方程为：考察稳定控制器，它给出闭环系统的特征多项式为：由（5.50）式可得：因此：由于多项式的全部零点都在单位圆内，所以是稳定的。图5.7说明所有稳定控制器的尤拉-库塞拉特征的框图5.6.3实际问题选择特征多项式和控制器的约束和。由算法5.3确定控制器。评估设计结果。5.6.4特征多项式由表征的一阶系统的离散时间的等价式为：其中，二阶系统的离散时间等价式为：其中，。通常选择的等价式为：5.6.5观测器多项式的影响例5.9观测器多项式的影响1考虑系统的脉冲传递函数为：希望的脉冲传递函数为：因此有。观测器多项式可以选为。则：对照图（5.3）过程输出为：图5.8表明，比例反馈给出的闭环系统对负载的扰动灵敏例5.10观测器多项式的影响2考虑例5.9的同一系统，则希望的闭环相应也相同。观测器多项式为：丢番图方程(5.4)变为：得到下列条件：引入一个附加条件，选择，给出：得到求取过程输出的表达式为：图5.9表明，负载扰动和测量噪声的影响程度强烈的受到观测器多项式的影响。图5.9对于例5.10中的控制器，从（a）负载扰动（b）测量误 差到过程输出的信号传输的伯德图。5.6.6采样间隔的选择把采样间隔的选择与希望的闭环特性联系起来，应该注意所有的闭环极点都需要考虑。5.6.7验证考虑：指令信号扰动的相应建模误差的灵敏度5.7双重积分器的控制器设计

5.7.1过程模型

5.7.2性能规范

5.7.3控制器的设计

5.7.4标称设计

5.7.5和变化的影响

5.7.6观测器极点变化的影响

5.7.7采样周期变化的影响

5.7.8相对于建模误差的灵敏度5.7双重积分器的控制器的设计极点配置中，主要是选择多项式和以及采样周期5.7.1过程模型考虑传递函数的过程为：其中，采样脉冲传递函数为：5.7.2性能规范对的要求：离散表示：如果控制其具有积分作用，则观测器应该是二阶的：为连续系统对应的极点。5.7.3控制器的设计丢番图方程（5.4）变为：其中，要求在处有一个零点。控制器没有延迟时的最小次数解要求和都为二阶多项式，即：直接计算得：多项式给定为：5.7.4标称设计5.7.5和变化的影响图5.11当改变时，极点配置控制器的仿真。5.7.6观测器极点变化的影响图5.12观测器极点变化时的极点配置控制器的仿真。5.7.7采样周期变化的影响图5.13采样周期变化时的极点配置控制器的仿真5.7.8相对于建模误差的灵敏度图5.16系统的环路传递函数的伯德图。图5.17系统的灵敏度函数的幅度曲线。5.8谐波振荡器的控制器的设计

5.8.1过程模型

5.8.2性能规范

5.8.3控制器设计

5.8.4标称设计

5.8.5观测器极点变化的影响

5.8.6采样周期变化的影响

5.8.7防假频滤波器的影响

5.8.8鲁棒性5.8谐波振荡器的控制器的设计5.8.1过程模型传递函数为：采样脉冲传递函数为：5.8.2性能规范希望的响应由连续时间特征方程表征：因为零点在处，所以不允许对消零点。意味着：引入积分作用，观测器为二阶：5.8.3控制器设计丢番图方程（5.4）为：其中：控制器参数给定为：多项式给定为：5.8.4标称设计图5.18谐波振荡器的标称设计的仿真5.8.5观测器极点变化的影响图5.19在不同的观测器动力学特性情况下，谐波振荡器的极点配置设计的响应5.8.6采样周期变化的影响图5.20在不同的采样间隔的条件下，谐波振荡器的极点配置设计的响应5.8.7防假频滤波器的影响图5.21采用防假频滤波器时的极点配置设计的响应。在设计中用时 延近似滤波器时的输入和输出。5.8.8鲁棒性5.9柔性机器人臂的控制器的设计5.9.1过程的采样图5.24以对过程和滤波器进行采样时的极点-零点图。5.9.2性能规范的离散时间等价式，其余的极点选为防假频滤波器的极点的离散时间等价式。多项式为五阶的，三个极点选为：5.9.3陷波滤波器5.9.4振荡振型的有效阻尼5.9.5比较：5.10与其它设计方法的关系

5.10.1根迹法

5.10.2完全对消时的误差反馈

5.10.3达林-海恩算法

5.10.4史密斯预报器

5.10.5内模控制

5.10.6转矩观测器5.10与其他设计方法的关系5.10.1根迹法设计控制系统的经典方法。这种方法是基于企图把闭环极点配置在希望位置的思路，因此它与极点配置密切相关。5.10.2完全对消时的误差反馈控制规律（5.2）式变为：假设过程的脉冲传递函数为，希望的闭环脉冲传递函数为，这样，闭环特征多项式为，丢番图方程（5.4）变为：(5.55)由此方程可得，和。必须是的因子。这样，次数最小的控制器为，且由（5.55）式可知：控制器变为：(5.56)局限性：极点，零点是稳定的和阻尼良好的，不会被扰动过分激励。5.10.3达林-海恩算法过程的脉冲传递函数形式为：(5.57)希