高三排列组合复习

排列、组合复习课排列与排列数

定义：一般地，从n个不同元素中取出m个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用表示.有关公式:组合与组合数:

定义：一般地，从n个不同元素中取出m个元素，并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用表示。有关公式:3排列与组合的区别：前者先选出元素，再按一定的顺序排成一列，后者只要选出元素并成一组即可；两个排列相同当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的顺序也相同，如abc与acb是不同的排列；两个组合相同，只要元素完全相同，可从集合的观点来看，如{a,b,c}{a,c,b}是同一集合。4常用解题方法及适用题目类型

⑴直接法：特殊元素法、特殊位置法（两者适用某一个或几个元素在指定的位置或不在指定的位置）、捆绑法（两个或两个以上的元素必须相邻）、插空法（两个或两个以上的元素必须不相邻）、挡板法（相同的元素分成若干部分，每部分至少一个）

⑵间接法（排除法,正难则反的思想）．例1

学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？解先排学生共有A88

种排法,然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有A74种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为A88A74

种.结论1

插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可.分析此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.例2

5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法?

解

因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是一个人,与5个男生作全排列,有A66

种排法,其中女生内部也有A33

种排法,根据乘法原理,共有A66A33种不同的排法.结论2

捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列.分析此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题.例3

高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?解

此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排,在11个空档中放上7个隔板,每个空档最多放一个,即可将白球分成8份,显然有种不同的放法,所以名额分配方案有种.结论3

隔板法:解决指标分配问题分析此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方法简单,结果容易理解.例4

袋中有5分不同硬币23个,1角不同硬币10个,如果从袋中取出2元钱,有多少种取法?解

把所有的硬币全部取出来,将得到0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元,所以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角,所以共有种取法.结论4：

剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化为求剩法.分析

此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来.但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很容易解决问题.例5、9人排成一行，下列情形分别有多少种排法？

⑴甲不站排头，乙不站排尾点评：利用对称的思想，（一）先排甲（特殊元素优先考虑）（二）先排尾位(特殊位置优先考虑）

(三）间接法练习：用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字的三位数，其中1不在个位的数共有_______种。

分析：五个数组成三位数的全排列有个，0排在首位的有个，1排在末尾的有，减掉这两种不合条件的排法数，再加回百位为0同时个位为1的排列数（为什么？）故共有种。⑵甲乙必须排在一起，丙丁不能排在一起点评：小团体排列问题中，先整体后局部，再结合不相邻问题的插空处理。练习：(2005·辽宁)用１、２、３、４、５、６、７、８组成没有重复数字的八位数，要求１与２相邻，３与４相邻，５与６相邻，而７与８不相邻，这样的八位数共有___________个．（用数字作答）

将１与２，３与４，５与６捆绑在一起排成一列有种，再将７、８插入4个空位中的两个有种，故有种．引申:用１、２、３、４、５、６、组成没有重复数字的六位数，要求１与２相邻，３与４相邻，５与６相邻，现将7、8插进去，仍要求１与２相邻，３与４相邻，５与６相邻，那么八位数共有___________个．（用数字作答）[A3323（A42+A41A22）=960]

⑶甲乙丙从左到右排列（固定顺序问题）分析：评：对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.引申：有三人从左到右顺序一定

点评：定序问题除法处理分析：

练习：有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？⑷前排三人，中间三人，后排三人

分析：引申：前排一人，中间二人，后排六人点评：分排问题直排处理练习：

七人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，则有多少种不同的坐法？

分析：7个人，可以在前后排随意就坐，再无其他限制条件，故两排可看作一排处理，所以不同的坐法有种.⑸分成甲、乙、丙三组，甲组4人，乙组3人，丙组2人。分析：

引申：①分成甲、乙、丙三组，一组4人，一组3人，一组2人分析：

②分成甲、乙、丙三组，每组3人。分析：⑹分成三组，每组3人分析：引申：分成三组，一组5人，另两组各两人分析：点评：局部均分无序问题易出错实验法（穷举法）

题中附加条件增多，直接解决困难时，用实验逐步寻求规律有时也是行之有效的方法。

例

将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格内，每个方格填1个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有（）A.6B.9C.11D.23分析：此题考查排列的定义，由于附加条件较多，解法较为困难，可用实验法逐步解决。第一方格内可填2或3或4。如填2，则第二方格中内可填1或3或4。若第二方格内填1，则第三方格只能填4，第四方格应填3。若第二方格内填3，则第三方格只能填4，第四方格应填1。同理，若第二方格内填4，则第三方格只能填1，第四方格应填3。因而，第一格填2有3种方法。不难得到，当第一格填3或4时也各有3种，所以共有9种。练习（不对号入座问题）（1）（2004湖北）将标号为1，2，3，……，10的10个球放入标号为1，2，3，……，10的10个盒子中，每个盒内放一个球，恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法有___________种（2）编号为1、2、3、4、5的五个球放入编号为1、2、3、4、5的五个盒子里，至多有2个对号入座的情形有___________种109直接法：间接法：住店法解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：

一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。例6

七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有（）A.B.CD.分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得种。注：对此类问题，常有疑惑，为什么不是呢？用分步计数原理看，5是步骤数，自然是指数。

对应法例7

在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场比赛失败要退出比赛），最后产生一名冠军，问要举行几场？

分析：要产生一名冠军，需要淘汰掉冠军以外的所有选手，即要淘汰99名选手，淘汰一名选手需要进行一场比赛，所以淘汰99名选手就需要99场比赛。例8、高二（1）班从7人中选4人组成4×100m接力赛其中甲乙二人不跑中间两棒，有多少种选法？

点评：排列组合综合题的解法应遵循在分类的基础上，先组合后排列的原则，分类与分步相结合，分类时做到不重复不遗漏.练习:（徐州二检）从6人中选4人组成4×100m接力赛，其中甲跑第一棒，乙不跑最后一棒，有多少种选法？分析：（一）直接法（二）间接法48例9、从正方体的6个面中任选3个，其中2个面不相邻的选法有多少种？练习：从正方体的8个顶点中选4个作四面体，则不同的四面体的个数为

。58练习：（南通一检）一个三位数，其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字（如７３５，４１４等），那么这样的三位数有

个．285

练习1

某人射击8枪，命中4枪，那么命中的4枪中恰有3枪是连中的情形有几种？练习2

一排8个座位，3人去坐，每人两边至少有一个空座的坐法有多少种？练习3

马路上有编号为1,2,3,……10的十只路灯,为节约电而不影响照明,可以把其中的三只路灯关掉,但不能同时关掉相邻的两只或三只,也不能关掉马路两端的灯,问满足条件的关灯方法有多少种？练习4A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必须站在A的右边，那么不同的站法有多少种？练习5

某电路有5个串