随机信号分析与应用第三章

第三章

随机信号通过线性系统分析

随机信号分析2023/1/3123.1线性系统基本理论3.2连续时间系统的线性系统分析主要内容3.3离散时间系统的线性系统分析3.43dB带宽和等效噪声带宽3.5希尔伯特变换和解析过程3.6窄带随机过程表示3.7窄带随机过程包络和相位的特性3.8正弦信号与窄带SP之和的包络和相位的特性2023/1/3133.2连续时间系统的线性系统分析主要内容3.3离散时间系统的线性系统分析3.43dB带宽和等效噪声带宽3.5希尔伯特变换和解析过程3.6窄带随机过程表示3.7窄带随机过程包络和相位的特性3.8正弦信号与窄带SP之和的包络和相位的特性3.1线性系统基本理论2023/1/314系统可分为：（1）线性系统：线性放大器、线性滤波器（2）非线性系统：限幅器、平方律检波器对于线性系统：已知系统特性和输入信号的统计特性，可以求出系统输出信号的统计特性3.1线性系统的基本理论2023/1/315下面的分析限定系统是单输入单输出（响应）的、连续或离散时不变的、线性的和物理可实现的稳定系统。连续时间系统：系统的输入和输出都是连续时间信号；离散时间系统：系统的输入和输出都是离散时间信号。连续与离散系统：（1）线性性：（2）时不变：

线性时不变系统：称作算子2023/1/316什么是线性系统？时不变线性系统连续时不变线性系统离散时不变线性系统3.1线性系统的基本理论2023/1/317时不变线性系统若任意常数a,b,输入信号x1(t),x2(t),有L[ax1(t)+bx2(t)]=aL[x1(t)]+bL[x2(t)]若输入信号x(t)时移时间C,输出y(t)也只引起一个相同的时移，即y(t-C)=L[x(t-C)]L[.]x(t)y(t)=L[x(t)]3.1线性系统的基本理论什么是线性系统？2023/1/318连续时不变线性系统h(t)x(t)y(t)=x(t)*h(t)3.1线性系统的基本理论什么是线性系统？与单位冲击响应的卷积2023/1/3193.1线性系统的基本理论3.1.2连续时不变线性系统的分析方法1.时域分析2．频域分析3.物理可实现的稳定系统如果当时，所有实际的物理可实现系统都是因果的。，那么该系统称为因果系统。2023/1/31103.1线性系统的基本理论3.1.3离散时不变线性系统的分析方法1.时域分析2．频域分析3.物理可实现的稳定系统如果当时，，那么该系统称为因果系统。物理可实现稳定系统的极点都位于z平面的单位圆内。2023/1/31113.2连续时间系统的线性系统分析主要内容3.3离散时间系统的线性系统分析3.43dB带宽和等效噪声带宽3.5希尔伯特变换和解析过程3.6窄带随机过程表示3.7窄带随机过程包络和相位的特性3.8正弦信号与窄带SP之和的包络和相位的特性3.1线性系统基本理论2023/1/3112在给定系统的条件下，输出信号的某个统计特性只取决于输入信号的相应的统计特性。根据输入随机信号的均值、相关函数和功率谱密度，再加上已知线性系统单位冲激响应或传递函数，就可以求出输出随机信号相应的均值、相关函数和功率谱密度

分析方法：卷积积分法；频域法。3.2随机信号通过连续时间系统的分析2023/1/31133.2.1时域分析法

1、输出表达式（零状态响应，因果系统）

2、输出的均值

3、系统输入与输出之间的互相关函数

4、系统输出的自相关函数

5、系统输出的高阶距3.2随机信号通过连续时间系统的分析2023/1/31143.2.1时域分析法

1、输出表达式（零状态响应，因果系统）

2、输出的均值

3、系统输入与输出之间的互相关函数

4、系统输出的自相关函数

5、系统输出的高阶距3.2随机信号通过连续时间系统的分析►输入为随机信号X(t)的某个实验结果的一个样本函数，则输出为：系统的单位冲激响应一个确定性函数一个确定性函数2023/1/31153.2.1时域分析法

1、输出表达式（零状态响应，因果系统）

2、输出的均值

3、系统输入与输出之间的互相关函数

4、系统输出的自相关函数

5、系统输出的高阶距3.2随机信号通过连续时间系统的分析对于随机信号任意一个样本函数均成立。：

那么对于所有的试验结果，系统输出为一族样本函数，这族样本函数构成随机过程2023/1/31163.2.1时域分析法

1、输出表达式（零状态响应，因果系统）

2、输出的均值

3、系统输入与输出之间的互相关函数

4、系统输出的自相关函数

5、系统输出的高阶距3.2随机信号通过连续时间系统的分析证明

若为平稳SP，则2023/1/31173.2.1时域分析法

1、输出表达式（零状态响应，因果系统）

2、输出的均值

3、系统输入与输出之间的互相关函数

4、系统输出的自相关函数

5、系统输出的高阶距3.2随机信号通过连续时间系统的分析

结论：由于系统的输出是系统输入的作用结果，因此，系统输入输出之间是相关的，系统输入输出相关函数为2023/1/31183.2随机信号通过连续时间系统的分析

证明：由于系统的输出是系统输入的作用结果，因此，系统输入输出之间是相关的，系统输入输出相关函数为

(3.2.8

若输入为平稳随机过程2023/1/31193.2.1时域分析法

1、输出表达式（零状态响应，因果系统）

2、输出的均值

3、系统输入与输出之间的互相关函数

4、系统输出的自相关函数

5、系统输出的高阶距3.2随机信号通过连续时间系统的分析

结论：已知系统输入随机信号的自相关函数，可以求出系统输出端的自相关函数

2023/1/31203.2随机信号通过连续时间系统的分析证明：已知系统输入随机信号的自相关函数，可以求出系统输出端的自相关函数

2023/1/31213.2随机信号通过连续时间系统的分析证明：已知系统输入随机信号的自相关函数，可以求出系统输出端的自相关函数

2023/1/31223.2.1时域分析法

1、输出表达式（零状态响应，因果系统）

2、输出的均值

3、系统输入与输出之间的互相关函数

4、系统输出的自相关函数

5、系统输出的高阶距3.2随机信号通过连续时间系统的分析

系统输出的n阶矩的一般表达式为

2023/1/31233.2.1时域分析法

系统输出的平稳性和遍历性

3.2随机信号通过连续时间系统的分析前提:系统处于稳定状态时。在这种情况下，t=0系统输出响应在已处于稳态结论1：若输入是宽平稳的，则系统输出也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。结论2：若输入是严平稳的，则输出也是严平稳的。结论3：若输入是宽遍历性的，则输出也是宽遍历性的，且联合遍历2023/1/31243.2随机信号通过连续时间系统的分析结论1：若输入是宽平稳的，则系统输出也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。若输入为宽平稳随机过程，则有：

2023/1/31253.2随机信号通过连续时间系统的分析结论1：若输入是宽平稳的，则系统输出也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。

2023/1/31263.2随机信号通过连续时间系统的分析结论2：若输入是严平稳的，则输出也是严平稳的。因为

对于时不变系统，若时移常数T，有输出和分别是输入和与的卷积，即可以表示成级数和的形式。由于随机信号是严平稳的，所以与具有相同的n维概率密度函数，这样与也应该具有相同的n维概率密度函数，即是严平稳的。2023/1/31273.2随机信号通过连续时间系统的分析由的宽遍历的定义得结论3：若输入是宽遍历性的，则输出也是宽遍历性的，且联合遍历则输出的时间平均2023/1/31283.2随机信号通过连续时间系统的分析结论3：若输入是宽遍历性的，则输出也是宽遍历性的，且联合遍历

2023/1/31293.2随机信号通过连续时间系统的分析

例3.1如图3.1所示的低通电路，已知输入信号是宽平稳的稳定的随机信号，其均值为，假设是相关函数为的白噪声，求：①求输出均值；②输出的自相关函数；③输出平均功率；④输入与输出间互相关函数：2023/1/31303.2随机信号通过连续时间系统的分析

例3.2应用举例：设某线性系统输入为相关函数的白噪声，如果测得系统输入和输出的互相关函数，求这个线性系统的单位冲激响应。2023/1/31313.2.2频域分析法

3.2随机信号通过连续时间系统的分析1、输出的均值

2、系统输出的功率谱密度

3、系统输入与输出间互谱密度

4、拉氏变换与付氏变换关系2023/1/31323.2.2频域分析法

3.2随机信号通过连续时间系统的分析1、输出的均值

2、系统输出的功率谱密度

3、系统输入与输出间互谱密度

4、拉氏变换与付氏变换关系2023/1/31333.2.2频域分析法

3.2随机信号通过连续时间系统的分析1、输出的均值

2、系统输出的功率谱密度

3、系统输入与输出间互谱密度

4、拉氏变换与付氏变换关系

由，两边取付氏变换得：

表示，有：

2023/1/31343.2.2频域分析法

3.2随机信号通过连续时间系统的分析1、输出的均值

2、系统输出的功率谱密度

3、系统输入与输出间互谱密度

4、拉氏变换与付氏变换关系2023/1/31353.2.2频域分析法

3.2随机信号通过连续时间系统的分析1、输出的均值

2、系统输出的功率谱密度

3、系统输入与输出间互谱密度

4、拉氏变换与付氏变换关系当不可积时，可积。因此对于随机信号，通常情况下其拉氏变换存在。

2023/1/31363.2连续时间系统的线性系统分析主要内容3.3离散时间系统的线性系统分析3.43dB带宽和等效噪声带宽3.5希尔伯特变换和解析过程3.6窄带随机过程表示3.7窄带随机过程包络和相位的特性3.8正弦信号与窄带SP之和的包络和相位的特性3.1线性系统基本理论2023/1/31373.3.1时域分析法

1、输出表达式

2、输出的均值

3、系统输入与输出之间的互相关函数

4、系统输出的自相关函数3.2随机信号通过离散时间系统的分析2023/1/31383.3.1时域分析法

1、输出表达式

2、输出的均值

3、系统输入与输出之间的互相关函数

4、系统输出的自相关函数3.2随机信号通过离散时间系统的分析系统的输出等于输入信号与单位冲激响应的卷积和可以证明，在假定系统是稳定的、输入有界的条件下，上式在均方收敛的意义下是存在的。2023/1/31393.3.1时域分析法

1、输出表达式

2、输出的均值

3、系统输入与输出之间的互相关函数

4、系统输出的自相关函数

3.3随机信号通过离散时间系统的分析证明

若为平稳SP，则2023/1/31403.3.1时域分析法

1、输出表达式

2、输出的均值

3、系统输入与输出之间的互相关函数

4、系统输出的自相关函数3.3随机信号通过离散时间系统的分析

2023/1/31413.3.1时域分析法

1、输出表达式

2、输出的均值

3、系统输入与输出之间的互相关函数

4、系统输出的自相关函数3.3随机信号通过离散时间系统的分析

2023/1/31423.3.1时域分析法

1、输出表达式

2、输出的均值

3、系统输入与输出之间的互相关函数

4、系统输出的自相关函数3.3随机信号通过离散时间系统的分析

2023/1/31433.3.2频域分析法

3.3随机信号通过离散时间系统的分析1、功率谱密度表达式

2、输出平均功率的计算2023/1/31443.3.2频域分析法

3.3随机信号通过离散时间系统的分析1、功率谱密度表达式

2、输出平均功率的计算若系统输入随机信号是宽平稳的，则系统的输出也是宽平稳的，那么有2023/1/31453.3.2频域分析法

3.3随机信号通过离散时间系统的分析1、功率谱密度表达式

2、输出平均功率的计算系统输出的自相关函数为2023/1/31463.3.2频域分析法

3.3随机信号通过离散时间系统的分析1、功率谱密度表达式

2、输出平均功率的计算式中l代表z平面上的单位圆2023/1/31473.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.1白噪声通过线性系统分析设连续线性系统的传递函数为或，其输入白噪声功率谱密度为＝，那么系统输出的功率谱密度为

或物理谱密度为2023/1/31483.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.1白噪声通过线性系统分析输出自相关函数为

输出平均功率为

注意：上式表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出端随机信号的功率谱密度主要由系统的幅频特性决定，不再保持常数。这是因为无线电系统都具有一定的选择性，系统只允许与其频率特性一致的频率分量通过的原因。

2023/1/31493.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.23dB带宽2023/1/31503.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.3等效噪声带宽当系统比较复杂时，计算系统输出噪声的统计特性是困难的。在实际中为了计算方便，常常用一个幅频响应为矩形的理想系统等效代替实际系统，在等效时要用到一个非常重要的概念——等效噪声带宽，它被定义为理想系统的带宽。2023/1/3151等效的原则

理想系统与实际系统在同一白噪声激励下,两个系统的输出平均功率相等理想系统的增益等于实际系统的最大增益3.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.3等效噪声带宽2023/1/3152计算实际系统的等效噪声带宽H(0)|H(w)|max|H(w)|0wK|HI(w)|0w功率谱密度为白噪声激励

消耗在1电阻上的系统输出端总平均功率为

理想线性系统对同一白噪声输入的输出总平均功率为3.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.3等效噪声带宽2023/1/3153实际系统的等效噪声带宽为

对于一般的低通滤波器的最大值出现在＝0处，即对于中心频率为带通系统(如单调谐回路)

的最大值出现在处，即3.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.3等效噪声带宽2023/1/3154实际系统的等效噪声带宽为

拉氏变换

代入

系统输出平均功率

3.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.3等效噪声带宽2023/1/3155小结：由系统的等效噪声带宽可求出系统的输出噪声功率，当系统输入白噪声时，仅使用参数和就可以描述非常复杂的线性系统及其噪声响应。

3.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.3等效噪声带宽2023/1/3156A0设白噪声的物理谱输出的物理谱

输出的自相关函数

输出平均功率

输出相关系数

输出相关时间

3.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.4白噪声通过理想低通线性系统

2023/1/3157A0设白噪声的物理谱输出的物理谱

输出的自相关函数

输出平均功率

输出相关系数

输出相关时间

3.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.4白噪声通过理想低通线性系统

2023/1/3158A0设白噪声的物理谱输出的物理谱

输出的自相关函数

输出平均功率

输出相关系数

输出相关时间

3.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.4白噪声通过理想低通线性系统

2023/1/3159A0设白噪声的物理谱输出的物理谱

输出的自相关函数

输出平均功率

输出相关系数

输出相关时间

3.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.4白噪声通过理想低通线性系统

2023/1/3160A0设白噪声的物理谱输出的物理谱

输出的自相关函数

输出平均功率

输出相关系数

输出相关时间

3.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.4白噪声通过理想低通线性系统

2023/1/3161A0设白噪声的物理谱输出的物理谱

输出的自相关函数

输出平均功率

输出相关系数

输出相关时间

3.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.4白噪声通过理想低通线性系统

该式表明：输出随机信号的相关时间与系统的带宽成反比。这就是说，系统带宽越宽，相关时间越小，输出随机信号随时间变化(起伏)越剧烈；反之，系统带宽越窄，则越大，输出随机信号随时间变化就越缓慢。

2023/1/3162A|H

(w)|0系统的中心频率远大于系统的带宽，则称这样的系统为窄带系统。3.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.4白噪声通过理想带通线性系统

2023/1/31633.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.4白噪声通过理想带通线性系统

若输入白噪声的物理，则输出的物理谱为

2023/1/31643.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.4白噪声通过理想带通线性系统

输出相关函数为

2023/1/3165输出自相关函数等于与的乘积，其中只包含的成分。当满足时，与相比，是的慢变化函数，而是的快变化函数。可见是RY()的慢变化部分是RY()的包络。而是RY()的快变化部分．

理想带通系统输出的相关函数等于其相应的低通系统输出的相关函数与的乘积。3.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.4白噪声通过理想带通线性系统

2023/1/31663.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.4白噪声通过理想带通线性系统

2023/1/31673.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.4白噪声通过理想带通线性系统

输出的相关系数为

带通系统输出的平均功率为

带通系统的相关时间是由相关系数的慢变部分定义的，因此带通系统的相关时间与低通系统的相关时间一致：2023/1/31683.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.4白噪声通过理想高斯线性系统

高斯带通系统的频率响应为：设输入白噪声的功率谱系统输出功率谱为

2023/1/31693.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.4白噪声通过理想高斯线性系统

高斯带通系统的频率响应为：设输入白噪声的功率谱输出相关函数

2023/1/31703.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.4白噪声通过理想高斯线性系统

高斯带通系统的频率响应为：设输入白噪声的功率谱输出相关函数

2023/1/31713.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.4白噪声通过理想高斯线性系统

高斯带通系统的频率响应为：设输入白噪声的功率谱输出平均功率

相关系数2023/1/31723.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.4白噪声通过理想高斯线性系统

高斯带通系统的频率响应为：设输入白噪声的功率谱

等效噪声带宽相关时间2023/1/31733.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.5线性系统输出的概率分布

2023/1/3174线性系统输出端随机信号的概率分布难输入随机信号为高斯过程

系统输入为非高斯过程，其带宽远大于线性系统的通频带的情况

3.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.5线性系统输出的概率分布

2023/1/3175线性系统输入为高斯过程，则该系统输出仍为高斯过程若系统输入端的平稳随机过程为非高斯分布，只要输入过程的等效噪声带宽远大于系统的通频带时，则系统输出端便能得到接近于高斯分布的随机过程。3.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.5线性系统输出的概率分布

为什么上述两种情况下成立?2023/1/3176线性系统输入为高斯过程，则该系统输出仍为高斯过程级数表示若我们将X(t)和Y(t)两个随机过程都用相应的多维随机变量来代替。于是，随机过程的线性变换实际上可以看成是由一组线性方程组表示的多维随机变量的线性变换。这样，根据第一章的有关结论可知：当X(t)为高斯过程时，多维高斯变量经线性变换以后，得到的多维随机变量仍是高斯型的。因此Y(t)是高斯过程。

3.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.5线性系统输出的概率分布

7676

(a)

(b)2023/1/3177若系统输入端的平稳随机过程为非高斯分布，只要输入过程的等效噪声带宽远大于系统的通频带时，则系统输出端便能得到接近于高斯分布的随机过程。基本思想：在式(a)中，根据中心极限定理，大量统计独立的随机变量之和的分布接近于高斯分布。因此，Y(t)接近于高斯分布。条件：（1）随机变量必须相互独立；（2）独立随机变量求和的数目要足够多。为随机变量，它是非高斯的。How?How?3.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.5线性系统输出的概率分布

2023/1/3178分析：下面研究使非高斯随机信号激励下的线性系统输出端的随机信号的分布趋于高斯分布的条件。输入随机过程采样值之间相互独立的条件之间是互不相关的；随机变量求和数目足够多的条件设线性系统的单位冲激响应的建立时间为，则输出可近似写成：其中，，显然，随机变量求和数目足够多的条件是之间是统计独立的。3.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.5线性系统输出的概率分布

若系统输入端的平稳随机过程为非高斯分布，只要输入过程的等效噪声带宽远大于系统的通频带时，则系统输出端便能得到接近于高斯分布的随机过程。2023/1/3179物理解释：线性动态系统具有惰性，不能立即对输入信号作出响应，它需要有一定的建立时间足够小于是输出过程的分布将与原输入过程的分布相接近足够大综上所述，当，或简写为时，输出随机过程Y(t)在任意时刻t上，皆为大量独立随机变量之和。因此，线性系统在非高斯随机信号激励下，其输出随机信号的分布趋于高斯分布，而与输入随机信号是否服从高斯分布无关。系统的单位冲激响应h(t)近似于这时系统对输入响应极快，使输入过程通过系统后失真很小这样当输入为非高斯过程时，在输出就不可能得到高斯分布的随机过程。3.43dB带宽和等效噪声带宽2023/1/3180因为如果那么即输入过程的相关时间与其等效噪声带宽成反比即系统建立时间与其3dB带宽成反比线性系统的输入过程的等效噪声带宽远大于系统的通频带时，系统输出过程的概率接近于高斯分布。

3.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.5线性系统输出的概率分布

2023/1/31813.5希尔伯特变换和解析过程3.5.1希尔伯特变换

设有一个实值函数，它的希尔伯特变换记作（或记作）

2023/1/31823.5希尔伯特变换和解析过程3.5.1希尔伯特变换

希尔伯特变换的单位冲激响应及其传递函数证明：由对称性性质：若，则因为，所以整理得：2023/1/31833.5希尔伯特变换和解析过程3.5.1希尔伯特变换

希尔伯特逆变换

为希尔伯特逆变换的单位冲激响应证明：若输入信号为通过一个滤波器输出为2023/1/31843.5希尔伯特变换和解析过程3.5.1希尔伯特变换

证明：若输入信号为通过一个滤波器输出为显然有：所以反变换2023/1/31853.5希尔伯特变换和解析过程3.5.1希尔伯特变换

希尔伯特变换相当于一个正交滤波器2023/1/31863.5希尔伯特变换和解析过程3.5.2解析过程及其性质

定义：给定任一实随机过程定义一复随机过程的希尔伯特变换是为实随机过程的复解析过程，简称解析过程。2023/1/31873.5希尔伯特变换和解析过程3.5.2解析过程及其性质

（1）若为实平稳随机过程，则也是实平稳过程，且联合平稳。因为希尔伯特变换是线性变换，线性系统输入为平稳过程，输出也为平稳过程，且联合平稳。2023/1/31883.5希尔伯特变换和解析过程3.5.2解析过程及其性质

（1）若为实平稳随机过程，则也是实平稳过程，且联合平稳。（2）实函数与其希尔伯特变换的相关函数和功率谱相同经付氏反变换，得：2023/1/31893.5希尔伯特变换和解析过程3.5.2解析过程及其性质

（1）若为实平稳随机过程，则也是实平稳过程，且联合平稳。（2）实函数与其希尔伯特变换的相关函数和功率谱相同（3）证明代入令2023/1/31903.5希尔伯特变换和解析过程3.5.2解析过程及其性质

（1）若为实平稳随机过程，则也是实平稳过程，且联合平稳。（2）实函数与其希尔伯特变换的相关函数和功率谱相同（3）证明2023/1/31913.5希尔伯特变换和解析过程3.5.2解析过程及其性质

（1）若为实平稳随机过程，则也是实平稳过程，且联合平稳。（2）实函数与其希尔伯特变换的相关函数和功率谱相同（3）（4）2023/1/31923.5希尔伯特变换和解析过程3.5.2解析过程及其性质

（5）证明：=2023/1/31933.5希尔伯特变换和解析过程3.5.2解析过程及其性质

（5）（6）（7）2023/1/31943.5希尔伯特变换和解析过程3.5.2解析过程及其性质

（5）（6）（7）（8）证明：由性质3，=两边取付氏变换得2023/1/31953.5希尔伯特变换和解析过程3.5.2解析过程及其性质

（5）（6）（7）（8）（9）证明：由性质7，两边取付氏变换2023/1/31963.6窄带随机过程表示3.6.1窄带随机过程

定义：若的功率谱密度满足

且，称为高频窄带随机过程，简称窄带随机过程2023/1/31973.6窄带随机过程表示3.6.1窄带随机过程

2023/1/31983.6窄带随机过程表示3.6.2窄带随机过程的表达式

包络相位中心频率2023/1/31993.6窄带随机过程表示3.6.2窄带随机过程的表达式

包络相位中心频率莱斯表达式2023/1/311003.6窄带随机过程表示3.6.3莱斯表达式的性质

都是实随机过程都是平稳随机过程，且联合平稳为平稳过程，且假设其均值为0。

2023/1/311013.6窄带随机过程表示3.6.3莱斯表达式的性质

都是实随机过程证明：因为和都是实过程。由都是实随机过程所以2023/1/311023.6窄带随机过程表示3.6.3莱斯表达式的性质

都是实随机过程都是平稳随机过程，且联合平稳2023/1/311033.6窄带随机过程表示3.6.3莱斯表达式的性质

证明：因为由假设，所以，因此，2023/1/311043.6窄带随机过程表示3.6.3莱斯表达式的性质

都是实随机过程都是平稳随机过程，且联合平稳2023/1/311053.6窄带随机过程表示3.6.3莱斯表达式的性质

都是平稳随机过程，且联合平稳证明：+++因为：，所以它与t无关2023/1/311063.6窄带随机过程表示3.6.3莱斯表达式的性质

都是实随机过程都是平稳随机过程，且联合平稳2023/1/311073.6窄带随机过程表示3.6.3莱斯表达式的性质

证明：由性质3，当2023/1/311083.6窄带随机过程表示3.6.3莱斯表达式的性质

都是实随机过程都是平稳随机过程，且联合平稳2023/1/311093.6窄带随机过程表示3.6.3莱斯表达式的性质

证明：++2023/1/311103.6窄带随机过程表示3.6.3莱斯表达式的性质

都是实随机过程都是平稳随机过程，且联合平稳2023/1/311113.6窄带随机过程表示3.6.3莱斯表达式的性质

证明：由性质5，2023/1/311123.6窄带随机过程表示3.6.3莱斯表达式的性质

都是实随机过程都是平稳随机过程，且联合平稳2023/1/311133.6窄带随机过程表示3.6.3莱斯表达式的性质

证明：+2023/1/311143.6窄带随机过程表示3.6.3莱斯表达式的性质

都是实随机过程都是平稳随机过程，且联合平稳2023/1/311153.6窄带随机过程表示3.6.3莱斯表达式的性质

证明：由性质3，有两边取付氏变换，注意=2023/1/311163.6窄带随机过程表示3.6.3莱斯表达式的性质

证明：2023/1/311173.6窄带随机过程表示3.6.3莱斯表达式的性质

2023/1/311183.7窄带随机过程包络和相位的特性3.7.1窄带随机过程包络与相位的慢变化特性定理：当为窄带随机过程，即的功率谱带宽是慢变换的随机过程。和，证明：因为是低频限带随机过程，即它们的功率谱只在区间内非0，且则=2023/1/311193.7窄带随机过程包络和相位的特性证明：此式说明：若，在t到的时间内，的变化的均方值远小于的均方值。因为，即，令由切比雪夫不等式：令，注意带入上式，得：2023/1/311203.7窄带随机过程包络和相位的特性证明：即，即足够小时，对于给定的右式趋近于0。这就是说，为窄带随机过程时，在一个高频周期内，的变化大于的概率趋于0。也就是说，为慢变换的随机过程，同理，也为慢变化随机过程，则包络，相位也是慢变化的随机过程。2023/1/311213.7窄带随机过程包络和相位的特性3.7.2包络和相位的一维概率密度假设窄带高斯实随机过程的均值为0，方差为表示成莱斯表示式令t固定，边沿概率密度二维r.v.函数的概率密度变换2023/1/311223.7窄带随机过程包络和相位的特性3.7.2包络和相位的一维概率密度关于at和bt的统计特性2023/1/311233.7窄带随机过程包络和相位的特性3.7.2包络和相位的一维概率密度利用二维随机变量函数的概率密度变换有：式中J为雅可比行列式，有==2023/1/311243.7窄带随机过程包络和相位的特性3.7.2包络和相位的一维概率密度2023/1/311253.7窄带随机过程包络和相位的特性3.7.3窄带高斯随机过程包络平方的概率密度已经推导出=概率密度为指数函数2023/1/311263.8正弦信号与窄带SP之和的包络和相位的特性3.8.1正弦信号与窄带随机过程之和的包络与相位概率密度函数假设式中a、为已知常数；均匀分布的随机变量平稳窄带实高斯随机过程，具有零均值和方差功率谱密度对称于表示成莱斯表示式2023/1/311273.8正弦信号与窄带SP之和的包络和相位的特性3.8.1正弦信号与窄带随机过程之和的包络与相位概率密度函数令于是，低频限带随机过程同样准正弦振荡慢变化随机过程概率密度函数?2023/1/311283.8正弦信号与窄带SP之和的包络和相位的特性3.8.1正弦信号与窄带随机过程之和的包络与相位概率密度函数先把固定，再把t固定，得到随机变量1、求条件二维联合概率密度函数互相独立的高斯变量2023/1/311293.8正弦信号与窄带SP之和的包络和相位的特性3.8.1正弦信号与窄带随机过程之和的包络与相位概率密度函数2、由随机变量的函数的概率分布求2023/1/311303.8正弦信号与窄带SP之和的包络和相位的特性3.8.1正弦信号与窄带随机过程之和的包络与相位概率密度函数2023/1/311313.8正弦信号与窄带SP之和的包络和相位的特性3.8.1正弦信号与窄带随机过程之和的包络与相位概率密度函数3.由边沿分布求的条件概率密度为因此正弦型信号加窄带高斯噪声包络的一维概率密度为132时域分析法

1、输出表达式（零状态响应，因果系统）随机信号通过连续时间系统的分析对于随机信号任意一个样本函数均成立。：

那么对于所有的试验结果，系统输出为一族样本函数，这族样本函数构成随机过程2、输出的均值

若为平稳SP，则3、系统输入与输出之间的互相关函数

若输入为平稳随机过程2023/1/31134时域分析法

4、系统输出的自相关函数

2023/1/31134

2023/1/31135平稳性和遍历性结论1：若输入是宽平稳的，则系统输出也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。若输入为宽平稳随机过程，则有：

2023/1/31136平稳性和遍历性结论1：若输入是宽平稳的，则系统输出也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。

2023/1/31137平稳性和遍历性结论2：若输入是严平稳的，则输出也是严平稳的。因为

对于时不变系统，若时移常数T，有输出和分别是输入和与的卷积，即可以表示成级数和的形式。由于随机信号是严平稳的，所以与具有相同的n维概率密度函数，这样与也应该具有相同的n维概率密度函数，即是严平稳的。2023/1/31138平稳性和遍历性由的宽遍历的定义得结论3：若输入是宽遍历性的，则输出也是宽遍历性的，且联合遍历则输出的时间平均2023/1/31139平稳性和遍历性结论3：若输入是宽遍历性的，则输出也是宽遍历性的，且联合遍历

2023/1/31140随机信号通过连续时间系统的分析

例3.1如图3.1所示的低通电路，已知输入信号是宽平稳的稳定的随机信号，其均值为，假设是相关函数为的白噪声，求：①求输出均值；②输出的自相关函数；③输出平均功率；④输入与输出间互相关函数：2023/1/31141随机信号通过连续时间系统的分析

例3.2应用举例：设某线性系统输入为相关函数的白噪声，如果测得系统输入和输出的互相关函数，求这个线性系统的单位冲激响应。2023/1/31142频域分析法

随机信号通过连续时间系统的分析1、输出的均值2023/1/31

由，两边取付氏变换得：

表示，有：

2、系统输出的功率谱密度2023/1/31143频域分析法

1、输出的均值

2、系统输出的功率谱密度

3、系统输入与输出间互谱密度

4、拉氏变换与付氏变换关系

由，两边取付氏变换得：

表示，有：

2023/1/31频域分析法3、系统输入与输出间互谱密度2023/1/311453.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.1白噪声通过线性系统分析输出自相关函数为

输出平均功率为

注意：上式表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出端随机信号的功率谱密度主要由系统的幅频特性决定，不再保持常数。这是因为无线电系统都具有一定的选择性，系统只允许与其频率特性一致的频率分量通过的原因。

2023/1/311463.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.23dB带宽2023/1/311473.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.3等效噪声带宽当系统比较复杂时，计算系统输出噪声的统计特性是困难的。在实际中为了计算方便，常常用一个幅频响应为矩形的理想系统等效代替实际系统，在等效时要用到一个非常重要的概念——等效噪声带宽，它被定义为理想系统的带宽。2023/1/31148等效的原则

理想系统与实际系统在同一白噪声激励下,两个系统的输出平均功率相等理想系统的增益等于实际系统的最大增益3.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.3等效噪声带宽2023/1/31149计算实际系统的等效噪声带宽H(0)|H(w)|max|H(w)|0wK|HI(w)|0w功率谱密度为白噪声激励

消耗在1电阻上的系统输出端总平均功率为

理想线性系统对同一白噪声输入的输出总平均功率为3.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.3等效噪声带宽2023/1/31150实际系统的等效噪声带宽为

对于一般的低通滤波器的最大值出现在＝0处，即对于中心频率为带通系统(如单调谐回路)

的最大值出现在处，即3.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.3等效噪声带宽2023/1/31151A0设白噪声的物理谱输出的物理谱

输出的自相关函数

输出平均功率

输出相关系数

输出相关时间

3.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.4白噪声通过理想低通线性系统

2023/1/31152A0设白噪声的物理谱输出的物理谱

输出的自相关函数

输出平均功率

输出相关系数

输出相关时间

3.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.4白噪声通过理想低通线性系统

2023/1/31153A0设白噪声的物理谱输出的物理谱

输出的自相关函数

输出平均功率

输出相关系数

输出相关时间

3.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.4白噪声通过理想低通线性系统

2023/1/31154A0设白噪声的物理谱输出的物理谱

输出的自相关函数

输出平均功率

输出相关系数

输出相关时间

3.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.4白噪声通过理想低通线性系统

2023/1/31155A0设白噪声的物理谱输出的物理谱

输出的自相关函数

输出平均功率

输出相关系数

输出相关时间

3.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.4白噪声通过理想低通线性系统

2023/1/31156A0设白噪声的物理谱输出的物理谱

输出的自相关函数

输出平均功率

输出相关系数

输出相关时间

3.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.4白噪声通过理想低通线性系统

该式表明：输出随机信号的相关时间与系统的带宽成反比。这就是说，系统带宽越宽，相关时间越小，输出随机信号随时间变化(起伏)越剧烈；反之，系统带宽越窄，则越大，输出随机信号随时间变化就越缓慢。

2023/1/31157A|H

(w)|0系统的中心频率远大于系统的带宽，则称这样的系统为窄带系统。3.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.4白噪声通过理想带通线性系统

2023/1/311583.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.4白噪声通过理想带通线性系统

若输入白噪声的物理，则输出的物理谱为

2023/1/311593.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.4白噪声通过理想带通线性系统

输出相关函数为

2023/1/31160输出自相关函数等于与的乘积，其中只包含的成分。当满足时，与相比，是的慢变化函数，而是的快变化函数。可见是RY()的慢变化部分是RY()的包络。而是RY()的快变化部分．

理想带通系统输出的相关函数等于其相应的低通系统输出的相关函数与的乘积。3.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.4白噪声通过理想带通线性系统

2023/1/311613.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.4白噪声通过理想带通线性系统

2023/1/311623.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.4白噪声通过理想带通线性系统

输出的相关系数为

带通系统输出的平均功率为

带通系统的相关时间是由相关系数的慢变部分定义的，因此带通系统的相关时间与低通系统的相关时间一致：2023/1/311633.43dB带宽和等效噪声带宽3.4.4