金融工程郑振龙第3章远期与期货的定价

2023/1/311第三章

远期和期货定价

2023/1/312一、远期价值、远期价格与期货价格远期价值是指远期合约本身的价值。关于远期价值的讨论要分远期合约签订时和签订后两种情形。－在签订远期合约时，如果信息是对称的，而且合约双方对未来的预期相同，对于一份公平的合约，多空双方所选择的交割价格应使远期价值在签署合约时等于零。－在远期合约签订以后，由于交割价格不再变化，多空双方的远期价值将随着标的资产价格的变化而变化。

第一节远期价格与期货价格2023/1/313远期价格是指使远期合约签订时价值为零的交割价格。远期价格是理论上的交割价格。关于远期价格的讨论也要分远期合约签订时和签订后两种情形。－一份公平合理的远期合约在签订的当天应使交割价格等于远期价格。如果实际交割价格不等于这个理论上的远期价格，该远期合约价值对于多空双方来说就都不为零，实际上隐含了套利空间。－在远期合约签订以后，交割价格已经确定，远期合约价值不一定为零，远期价格也就不一定等于交割价格。2023/1/314类似地，在期货合约中，我们定义期货价格（FuturesPrices）为使得期货合约价值为零的理论交割价格。但值得注意的是，对于期货合约来说，一般较少谈及“期货合约价值”这个概念。基于期货的交易机制，投资者持有期货合约，其价值的变动来源于实际期货报价的变化。由于期货每日盯市结算、每日结清浮动盈亏，因此期货合约价值在每日收盘后都归零。

2023/1/315二、远期价格与期货价格的关系当无风险利率恒定且对所有到期日都相同时，交割日相同的远期价格和期货价格应相等。当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格高于远期价格。

－这是因为当标的资产价格上升时，期货价格通常也会随之升高，期货合约的多头将因每日结算制而立即获利，并可按高于平均利率的利率将所获利润进行再投资。而当标的资产价格下跌时，期货合约的多头将因每日结算制而立即亏损，但是可按低于平均利率的利率从市场上融资以补充保证金。相比之下，远期合约的多头将不会因利率的变动而受到上述影响。在此情况下，期货多头比远期多头更具吸引力，期货价格自然就大于远期价格当标的资产价格与利率呈负相关时，远期价格就会高于期货价格。(dao)2023/1/316

远期价格和期货价格的差异幅度还取决于合约有效期的长短。当有效期只有几个月时，两者的差距通常很小。此外，税收、交易费用、保证金的处理方式、违约风险、流动性等方面的因素或差异都会导致远期价格和期货价格的差异。远期价格与期货价格的定价思想在本质上是相同的，其差别主要体现在交易机制和交易费用的差异上，在很多情况下常常可以忽略，或进行调整。因此在大多情况下，我们可以合理地假定远期价格与期货价格相等，并都用F来表示。2023/1/317（一） 基本的假设为分析简便起见，本章的分析是建立在如下假设前提下的：1．没有交易费用和税收。2．市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金。3．远期合约没有违约风险。4．允许现货卖空。5．当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动，从而使套利机会消失，我们得到的理论价格就是在没有套利机会下的均衡价格。6．期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率。这意味着任何人均可不花成本地取得远期和期货的多头和空头地位。三、基本的假设与符号2023/1/318（二） 符号本章将要用到的符号主要有：T：远期和期货合约的到期时间，单位为年。t：现在的时间，单位为年。变量T和t是从合约生效之前的某个日期开始计算的，T-t代表远期和期货合约中以年为单位的距离到期的剩余时间。S：远期（期货）标的资产在时间t时的价格。ST：远期（期货）标的资产在时间T时的价格（在t时刻这个值是个未知变量）。K：远期合约中的交割价格。f：远期合约多头在t时刻的价值，即t时刻的远期价值。2023/1/319（二） 符号（续）F：t时刻的远期合约和期货合约中的理论远期价格和理论期货价格，在本书中如无特别注明，我们分别简称为远期价格和期货价格。r：T时刻到期的以连续复利计算的t时刻的无风险利率（年利率），在本书中，如无特别说明，利率均为连续复利的年利率。2023/1/3110第二节无收益资产远期合约的定价2023/1/3111本章所用的定价方法为无套利定价法。基本思路为：构建两种投资组合，令其终值相等，则其现值一定相等；否则就可进行套利，即卖出现值较高的投资组合，买入现值较低的投资组合，并持有到期末，套利者就可赚取无风险收益。众多套利者这样做的结果，将使较高现值的投资组合价格下降，而较低现值的投资组合价格上升，直至套利机会消失，此时两种组合的现值相等。这样，我们就可根据两种组合现值相等的关系求出远期价格。

2023/1/3112例如，为了给无收益资产的远期合约定价，我们构建如下两个组合：组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-r（T－t）的现金；组合B：一单位标的资产。远期合约现金组合A标的资产组合B一、无套利定价法2023/1/3113

在组合A中，Ke-r（T－t）的现金以无风险利率投资，投资期为（T－t）。到T时刻，其金额将达到K。这是因为：Ke-r（T－t）er（T－t）=K

在远期合约到期时，这笔现金刚好可用来交割换来一单位标的资产。这样，在T时刻，两种组合都等于一单位标的资产。根据无套利原则：终值相等，则其现值一定相等，这两种组合在t时刻的价值必须相等。

即：

f+Ke-r（T－t）=S

f=S－Ke-r（T－t）

（3.1）

该公式表明，无收益资产远期合约多头的价值等于标的资产现货价格与交割价格现值的差额。或者说,一单位无收益资产远期合约多头等价于一单位标的资产多头和Ke-r（T－t）单位无风险负债的资产组合。

2023/1/3114由于远期价格就是使远期合约价值为零的交割价格，即当=0时，=。据此可令式（3.1）中的=0，则

(3.2)

这就是无收益资产的现货-远期平价定理（Spot-ForwardParityTheorem），或称现货期货平价定理（Spot-FuturesParityTheorem）。二、现货—远期平价定理2023/1/3115为了证明无收益资产的现货-远期平价定理，我们用反证法证明等式不成立时的情形是不均衡的。若K>Ser（T－t），即交割价格大于现货价格的终值。在这种情况下，套利者可以按无风险利率r

借入S现金，期限为T－t。然后用S购买一单位标的资产，同时卖出一份该资产的远期合约，交割价格为K。在T时刻，该套利者就可将一单位标的资产用于交割换来K现金，并归还借款本息Ser（T－t），这就实现了

K－Ser（T－t）

的无风险利润。

2023/1/3116

若K<Ser（T－t），即交割价值小于现货价格的终值。套利者就可进行反向操作，即卖空标的资产，将所得收入以无风险利率进行投资，期限为T-t，同时买进一份该标的资产的远期合约，交割价格为K。在T时刻，套利者收到投资本息Ser（T－t），并以K现金购买一单位标的资产，用于归还卖空时借入的标的资产，从而实现Ser（T－t）-K的利润。2023/1/3117三、远期价格的期限结构描述的是不同期限远期价格之间的关系。

设F为在T时刻交割的远期价格，F*为在T*时刻交割的远期价格,r为T时刻到期的无风险利率,r*为T*时刻到期的无风险利率。对于无收益资产而言，从无收益资产的现货-远期平价公式可知,

两式消除掉S后，（3.3）2023/1/3118第三节支付已知现金收益资产远期合约的定价仍然采用无套利定价法给支付已知现金收益资产的远期合约定价。构建如下两个组合：组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke–r(T-t)的现金。组合B：一单位标的证券加上利率为无风险利率、期限为从当前时刻到现金收益派发日、本金为I的负债。2023/1/3119

组合A在T时刻的价值等于一单位标的证券。在组合B中，由于标的证券的现金收益刚好可以用来偿还负债的本息，因此在T时刻，该组合的价值也等于一单位标的证券。因此，在t时刻，这两个组合的价值应相等，即

(3.4)从组合的角度考虑，式（3.4）说明一单位支付已知现金收益资产的远期合约多头可由一单位标的资产和(I+Ke

–r(T-t))单位无风险负债构成。2023/1/3120根据远期价格的定义，我们可从式中求得：（3.5）这就是支付已知现金收益资产的现货-远期平价公式。式（3.5）表明，支付已知现金收益资产的远期价格等于标的证券现货价格与已知现金收益现值差额的终值。2023/1/3121反证法来证明：

假设，即交割价格高于远期理论价格。则套利者可以进行如下操作：以无风险利率借入现金S买入标的资产，并卖出一份交割价为K的远期合约，将在T-t期间从标的资产获得的现金收益以无风险利率贷出至T时刻。这样，到T时刻，套利者将标的资产用于交割得到现金收入K，还本付息，同时得到的本利收入。最终套利者在T时刻可实现无风险利润。

2023/1/3122如果，即交割价格低于远期理论价格。则套利者可以进行反向操作：借入标的资产卖掉，得到现金收入S以无风险利率贷出，同时买入一份交割价为K的远期合约。在T时刻，套利者可得到贷款本息收入，同时付出现金F换得一单位标的证券，用于归还标的证券的原所有者，并把该标的证券在T-t期间的现金收益的终值同时归还原所有者。这样，该套利者在T时刻可实现无风险利润。

2023/1/3123例：2007年8月31日，美元6个月期与1年期的无风险年利率分别为4.17%与4.11％。市场上一种十年期国债现货价格为990美元，该证券一年期远期合约的交割价格为1001美元，该债券在6个月和12个月后都将收到60美元的利息，且第二次付息日在远期合约交割日之前，求该合约的价值。2023/1/3124例：假设黄金现价为每盎司733美元，其存储成本为每年每盎司2美元，一年后支付，美元一年期无风险利率为4％。则一年期黄金期货的理论价格为多少？2023/1/3125第四节支付已知收益率资产远期合约的定价为了给支付已知收益率资产的远期定价，我们可以构建如下两个组合：组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为的现金；组合B：单位证券并且所有收入都再投资于该证券，其中q为该资产按连续复利计算的已知收益率。组合A在T时刻的价值等于一单位标的证券。组合B由于获得的红利收入全部都再投资于该证券，拥有的证券数量随着获得红利的不断发放而增加，所以在时刻T，正好拥有一单位标的证券。2023/1/3126因此在t时刻两个组合的价值也应相等，即：（3.6）根据远期价格的定义，我们可根据式（3.6）算出支付已知收益率资产的远期价格：（3.7）这就是支付已知红利率资产的现货-远期平价公式。式（3.7）表明，支付已知收益率资产的远期价格等于按无风险利率与已知收益率之差计算的现货价格在T时刻的终值。2023/1/3127例：2007年9月20日，美元3个月期无风险年利率为3.77％，S&P500指数预期红利收益率为1.66％。当S&P500指数为1518.75点时，2007年12月到期的S&P500指数期货SPZ7相应的理论价格应为多少？2023/1/3128第五节远期和期货价格的一般结论2023/1/3129注意，这里所谓的完美市场，就是我们在本章第一节中所讨论的基本假设成立的市场。从直觉上理解，假设标的资产无收益，投资者A计划出售一单位标的资产，以下两种方法应该是等价的：1.在当前t时刻卖出一份远期价格为F的远期合约[1]，合约到期T时刻交割必定能获得F；2.在当前t时刻立刻出售获得S，并以无风险利率r贷出，这样在T时刻可以获得确定性收入。由于t时刻两种投资的价值都为S，T时刻的两种确定性收入应相等：如果实际价格高于或低于上述理论价格F，市场上就存在着套利机会。

一、完美市场下的持有成本模型2023/1/3130通俗地说，由于远期价格是A未来可获得的现金收入，一个合理的远期价格应使得A现在出售现货和未来出售远期所获得的确定性收入相等，无风险利率r实际上反映了A现在不出售而在未来出售标的资产所承担的确定性成本。推而广之，I和q则反映了A现在不出售而在未来出售标的资产所能获得的确定性收益，因此应该从其收到的远期价格中扣减。我们可以用持有成本（Cost-of-Carry）的概念来概括远期价格与现货价格的关系。持有成本的基本构成如下：持有成本＝保存成本＋无风险利息成本－标的资产在合约期限内提供的收益

2023/1/3131举例来说，不支付红利的股票没有保存成本和收益，所以持有成本就是利息成本r

；股票指数的资产红利率为q，其持有成本就为r-q；货币的收益率为rf，所以其持有成本是r-rf；对黄金和白银等投资性商品而言，若其存储成本与现货价格的比例为u，则其持有成本就为r＋u；依此类推。所以，如果我们用c表示持有成本，远期价格就为:

（3.8）相应地：（3.9）

2023/1/31321.

存在交易成本的时候，假定每一笔交易的费率为Y，那么不存在套利机会的远期价格就不再是确定的值，而是一个区间：

2.借贷存在利差的时候，如果用rb表示借入利率，用rl表示借出利率，对非银行的机构和个人，一般是rb>rl。这时远期和期货的价格区间为：

二、非完美市场条件下的远期定价2023/1/31333.存在卖空限制的时候，因为卖空会给经纪人带来很大风险，所以几乎所有的经纪人都扣留卖空客户的部分所得作为保证金。假设这一比例为X，那么均衡的远期和期货价格区间应该是：

如果上述三种情况同时存在，远期和期货价格区间应该是：

完全市场可以看成是的特殊情况。2023/1/3134本书的讨论焦点是金融标的资产的衍生产品，金融标的资产属于投资性资产。所谓投资性资产是指投资者主要出于投资目的而持有的资产，如股票、债券等金融资产和黄金、白银等资产。－由于投资性资产的投资决策不受消费等其他目的的影响，投资者所关注的是金融资产中所蕴涵的风险收益特征而非金融产品本身，因此标的资产及其期货之间存在高度的可替代性，只要相对价格水平不合理，投资者随时可在这两者之间进行转换。所以，在这样的市场上，只要没有其他的制度制约套利行为，期货的定价就成为一个纯粹的风险收益问题，相应地无套利原则和持有成本模型就成为远期定价的基本原理。

三、消费性资产的远期定价2023/1/3135消费性资产则是指那些投资者主要出于消费目的而持有的资产，如石油、铜、农产品等。对于消费性资产来说，远期定价公式不再适用，而是转化为：原因在于消费性的标的资产具有消费价值，而远期却无法即时消费，消费性的标的资产与其远期之间并不具有完全的可替代性。因此即使在远期相对价值偏低的时候投资者也不会轻易出售现货，购买远期，从而使得单纯基于风险收益考虑的金融无套利原则不再完全有效。2023/1/3136第六节远期价格与标的资产现货价格的关系2023/1/3137无套利条件下，。可以从三个角度分析F和S之间的关系：第一，当标的资产在远期（期货）存续期内没有收益、已知现金收益较小、或已知收益率小于无风险利率时，当前远期（期货）价格应高于标的资产的当前现货价格；当标的资产在远期（期货）存续期内的已知现金收益较大或已知收益率大于无风险利率时，当前远期（期货）价格应小于标的资产的当前现货价格。在远期（期货）到期日，远期（期货）价格将收敛于标的资产的现货价格（这是套利行为决定的）。

一、同一时刻远期（期货）价格与标的资产现货价格的关系2023/1/3138当标的证券没有收益，或者已知现金收益较小、或者已知收益率小于无风险利率时，期货价格应高于现货价格。

现货价格期货价格第三章远期和期货的定价

2023/1/3139当标的证券的已知现金收益较大，或者已知收益率大于无风险利率时，期货价格应小于现货价格。现货价格

期货价格第三章远期和期货的定价

2023/1/3140

第二，标的资产的现货价格对同一时刻的远期（期货）价格起着重要的制约关系，正是这种制约关系决定了远期（期货）是无法炒作的。但是，如果现货市场规模不够大，现货价格无法形成对远期（期货）价格的有效制约，远期（期货）市场就迟早会因恶性投机而出问题。（案例3.7国债期货事件）

2023/1/3141第三，对式（3.8）进行变换，可得从本质来看，远期（期货）是衍生产品，其价格应取决于标的资产当前现货价格S，随S变化而变化；在实际中则应该体现为远期（期货）和现货市场同时对新的信息作出反映。 －但在现实生活中，大量实证研究表明