山东省示范中学2021-2022学年高考数学二模试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．正的边长为2，将它沿边上的高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球表面积为（）A． B． C． D．2．已知抛物线和点，直线与抛物线交于不同两点，，直线与抛物线交于另一点．给出以下判断：①直线与直线的斜率乘积为；②轴；③以为直径的圆与抛物线准线相切.其中，所有正确判断的序号是（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③3．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面4．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为、、元）．甲、乙租车费用为元的概率分别是、，甲、乙租车费用为元的概率分别是、，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（）A． B． C． D．5．如图，网格纸是由边长为1的小正方形构成，若粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A． B． C． D．6．将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的一个对称中心为（）A． B． C． D．7．三棱锥中，侧棱底面，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．8．中，，为的中点，，，则（）A． B． C． D．29．要得到函数的图象，只需将函数的图象A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度10．已知数列为等比数列，若，且，则（）A． B．或 C． D．11．某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在（单位：元）的同学有34人，则的值为（）A．100 B．1000 C．90 D．9012．已知正项等比数列的前项和为，且，则公比的值为（）A． B．或 C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知随机变量服从正态分布，，则__________．14．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为________.15．设,满足约束条件,若目标函数的最大值为,则的最小值为______．16．如图，在三棱锥中，平面，，已知，，则当最大时，三棱锥的体积为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，四棱锥中，底面是边长为的菱形，，点分别是的中点．（1）求证：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．18．（12分）联合国粮农组织对某地区最近10年的粮食需求量部分统计数据如下表：年份20102012201420162018需求量（万吨）236246257276286（1）由所给数据可知，年需求量与年份之间具有线性相关关系，我们以“年份—2014”为横坐标，“需求量”为纵坐标，请完成如下数据处理表格：年份—20140需求量—2570（2）根据回归直线方程分析，2020年联合国粮农组织计划向该地区投放粮食300万吨，问是否能够满足该地区的粮食需求？参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.19．（12分）如图，在正四棱柱中，，，过顶点，的平面与棱，分别交于，两点（不在棱的端点处）.（1）求证：四边形是平行四边形；（2）求证：与不垂直；（3）若平面与棱所在直线交于点，当四边形为菱形时，求长.20．（12分）设函数.（1）解不等式；（2）记的最大值为，若实数、、满足，求证：.21．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）若射线与和分别交于点，求．22．（10分）已知．（1）已知关于的不等式有实数解，求的取值范围；（2）求不等式的解集．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【解析】

如图所示，设的中点为，的外接圆的圆心为，四面体的外接球的球心为，连接，利用正弦定理可得，利用球心的性质和线面垂直的性质可得四边形为平行四边形，最后利用勾股定理可求外接球的半径，从而可得外接球的表面积.【详解】如图所示，设的中点为，外接圆的圆心为，四面体的外接球的球心为，连接，则平面，.因为，故，因为，故.由正弦定理可得，故，又因为，故.因为，故平面，所以，因为平面，平面，故，故，所以四边形为平行四边形，所以，所以，故外接球的半径为，外接球的表面积为.故选：D.【点睛】本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算，还考查正弦定理和余弦定理，折叠问题注意翻折前后的变量与不变量，外接球问题注意先确定外接球的球心的位置，然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算，本题有一定的难度.2．B【解析】

由题意，可设直线的方程为，利用韦达定理判断第一个结论；将代入抛物线的方程可得，，从而，，进而判断第二个结论；设为抛物线的焦点，以线段为直径的圆为，则圆心为线段的中点．设，到准线的距离分别为，，的半径为，点到准线的距离为，显然，，三点不共线，进而判断第三个结论.【详解】解：由题意，可设直线的方程为，代入抛物线的方程，有．设点，的坐标分别为，，则，．所．则直线与直线的斜率乘积为．所以①正确．将代入抛物线的方程可得，，从而，，根据抛物线的对称性可知，，两点关于轴对称，所以直线轴．所以②正确．如图，设为抛物线的焦点，以线段为直径的圆为，则圆心为线段的中点．设，到准线的距离分别为，，的半径为，点到准线的距离为，显然，，三点不共线，则．所以③不正确．故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义与几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查数形结合思想、化归与转化思想,属于难题．3．B【解析】

本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．【详解】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B．【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若，则”此类的错误．4．B【解析】

甲、乙两人所扣租车费用相同即同为1元，或同为2元，或同为3元，由独立事件的概率公式计算即得．【详解】由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是，∴甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为．故选：B．【点睛】本题考查独立性事件的概率．掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础．5．C【解析】

根据三视图还原为几何体，结合组合体的结构特征求解表面积.【详解】由三视图可知，该几何体可看作是半个圆柱和一个长方体的组合体，其中半圆柱的底面半圆半径为1，高为4，长方体的底面四边形相邻边长分别为1，2，高为4，所以该几何体的表面积，故选C.【点睛】本题主要考查三视图的识别，利用三视图还原成几何体是求解关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.6．D【解析】

根据函数图象的变换规律可得到解析式，然后将四个选项代入逐一判断即可.【详解】解：图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,得到再将图像向左平移个单位长度，得到函数的图象，故选：D【点睛】考查三角函数图象的变换规律以及其有关性质，基础题.7．B【解析】由题，侧棱底面，，，，则根据余弦定理可得，的外接圆圆心三棱锥的外接球的球心到面的距离则外接球的半径，则该三棱锥的外接球的表面积为点睛：本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径公式是解答的关键．8．D【解析】

在中，由正弦定理得；进而得，在中，由余弦定理可得.【详解】在中，由正弦定理得，得，又，所以为锐角，所以，，在中，由余弦定理可得，.故选：D【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力.9．D【解析】

先将化为，根据函数图像的平移原则，即可得出结果.【详解】因为，所以只需将的图象向右平移个单位.【点睛】本题主要考查三角函数的平移，熟记函数平移原则即可，属于基础题型.10．A【解析】

根据等比数列的性质可得，通分化简即可.【详解】由题意，数列为等比数列，则，又，即，所以，，.故选：A.【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了推理能力与运算能力，属于基础题.11．A【解析】

利用频率分布直方图得到支出在的同学的频率，再结合支出在（单位：元）的同学有34人，即得解【详解】由题意，支出在（单位：元）的同学有34人由频率分布直方图可知，支出在的同学的频率为．故选：A【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.12．C【解析】

由可得，故可求的值.【详解】因为，所以，故，因为正项等比数列，故，所以，故选C.【点睛】一般地，如果为等比数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则；（2）公比时，则有，其中为常数且；（3）为等比数列（）且公比为.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．0.22.【解析】

正态曲线关于x＝μ对称，根据对称性以及概率和为1求解即可。【详解】【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题．14．【解析】

根据三视图知该几何体是三棱柱与半圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积．【详解】根据三视图知，该几何体是三棱柱与半圆锥的组合体，如图所示：结合图中数据，计算它的体积为.故答案为：.【点睛】本题考查了根据三视图求简单组合体的体积应用问题，是基础题．15．【解析】

先根据条件画出可行域,设,再利用几何意义求最值,将最大值转化为轴上的截距,只需求出直线,过可行域内的点时取得最大值,从而得到一个关于,的等式,最后利用基本不等式求最小值即可．【详解】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线过直线与直线的交点时,目标函数取得最大,即,即,而．故答案为．【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题．16．4【解析】设，则，，，，当且仅当，即时，等号成立.,故答案为4三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）见解析；（2）.【解析】

（1）取的中点，连接，通过证明，即可证得；（2）建立空间直角坐标系，利用向量的坐标表示即可得解.【详解】（1）证明：取的中点，连接．是的中点，，又，四边形是平行四边形．，又平面平面，平面．（2），，同理可得：，又平面．连接，设，则，建立空间直角坐标系．设平面的法向量为，则，则，取．直线与平面所成角的正弦值为．【点睛】此题考查证明线面平行，求线面角的大小，关键在于熟练掌握线面平行的证明方法，法向量法求线面角的基本方法，根据公式准确计算.18．（1）见解析；（2）能够满足.【解析】

（1）根据表中数据，结合以“年份—2014”为横坐标，“需求量”为纵坐标的要求即可完成表格；（2）根据表中及所给公式可求得线性回归方程，由线性回归方程预测2020年的粮食需求量，即可作出判断.【详解】（1）由所给数据和已知条件，对数据处理表格如下：年份—2014024需求量—25701929（2）由题意可知，变量与之间具有线性相关关系，由（1）中表格可得，，，，.由上述计算结果可知，所求回归直线方程为，利用回归直线方程，可预测2020年的粮食需求量为：（万吨），因为，故能够满足该地区的粮食需求.【点睛】本题考查了线性回归直线的求法及预测应用，属于基础题.19．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】

（1）由平面与平面没有交点，可得与不相交，又与共面，所以，同理可证，得证；（2）由四边形是平行四边形，且，则不可能是矩形，所以与不垂直；（3）先证，可得为的中点，从而得出是的中点，可得.【详解】（1）依题意都在平面上，因此平面，平面，又平面，平面，平面与平面平行，即两个平面没有交点，则与不相交，又与共面，所以，同理可证，所以四边形是平行四边形；（2）因为，两点不在棱的端点处，所以，又四边形是平行四边形，，则不可能是矩形，所以与不垂直；（3）如图，延长交的延长线于点，若四边形为菱形，则，易证，所以，即为的中点，因此，且，所以是的中位线，则是的中点，所以.【点睛】本题考查了立体几何中的线线平行和垂直的判定问题，和线段长的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相