插值matlab计算方法

第五章插值法

本部分课件主要参考哈工大刘克安老师的课件史晓非大连海事大学信息工程学院信号与图像处理研究所

--4计算方法KeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanL1-1问题天气预报早中晚夜间8271020C15时出门怎样穿衣服？?7=xi4916yi234479164320数学模型外延广阔潜在巨大意义

实际中，f(x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散数据；或者f(x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数g(x)来逼近f(x)。

自然地，希望g(x)通过所有的离散点。x0x1x2x3x4xg(x)

f(x)f(x)1-2数学模型已知：是函数

的离散点求：曲线插值问题插值节点插值函数插值条件Interpolate

FittingKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanL数学模型：已知{xi，yi}，求一条光滑曲线满足φn(xi)=yi。理论问题：1数学描述；2误差估计；3收敛性。目的：通过已知点求未知点。x0x1x2x3x4xg(x)

f(x)f(x)内插x外插1-3求解1）已知曲线方程直线、抛物线等2）未知曲线方程，允许一定的误差，构造多项式方程拉格朗日、牛顿均差法等2已知曲线方程x0x1y0y1xy1)直线令：将插值条件代入上式，得待定系数法2)抛物线令：将插值条件代入上式，得0xy1y2x0x1xx2yy3)N阶多项式只需确定即可AXb这是范德蒙行列式，其插值节点互异时，它不等于零，方程组的解存在唯一。可以用高斯消去法求解，其工作量：是关于的线性代数方程组。其系数行列式是存在唯一性3未知曲线方程，允许一定的误差，构造多项式方程用N阶多项式近似：多项式的基多项式的坐标余项（p144）问题：当n很大时，待定系数法的工作量太大，是否存在简单的构造插值项式的方法？?4Lagrange插值方法构造？称为Lagerange插值基例：已知函数y=f(x)的观测数据为x1234y0-5-63试求拉格朗日插值多项式。解x1234y0-5-63解x0123y230-1试求拉格朗日插值多项式。并求出x=1.5时的值已知函数y=f(x)的观测数据为x012y123试求拉格朗日插值多项式。解程序：functionyTest=GetLagrange(x,y,xTest)nSampNum=length(x);nTestNum=length(xTest);yTest=zeros(nTestNum,1);fornTIndex=1:nTestNumz=xTest(nTIndex);s=0;fork=1:nSampNump=1;forj=1:nSampNumifj~=kp=p*(z-x(j))/(x(k)-x(j));endends=p*y(k)+s;endyTest(nTIndex)=s;end

5Newton插值

拉格朗日法增加一个节点，所有的系数必须重新计算能否有一种方法，增加节点时，先前的计算仍然可以利用，只增加很少的工作量就能得到新的高次插值多项式。？做法：求解：依据：只有教学意义，为此引入差商（均差）概念称为k阶差商称为1阶差商定义：差商定义给定一个函数表只有教学意义，为此引入差商（均差）概念一般的,f(x)关于xi,xi+1,…,xi+k的k

阶差商记做

f[xi,xi+1,…,xi+k]

，即例：差商示意一阶二阶n阶差商表牛顿插值公式插值余项牛顿插值公式（推导方法选讲）

例3构造例1中f(x)的牛顿均差插值多项式。作均差表。P3(x)=0+(-5)(x-1)+2(x-1)(x-2)+(x-1)(x-2)(x-3)=x3-4x2+3例已知数据表：x12356F(x)0262090试求牛顿均差插值多项式。解作均差表：

首先根据给定函数表造出均差表.

给出的函数表（见），求4次牛顿插值多项式，并由此计算的近似值.

从均差表看到4阶均差近似常数，5阶均差近似为0.

故取4次插值多项式做近似即可.于是

按牛顿插值公式，将数据代入

functionD=matdivdif(x,y)

%计算数据的均差表

%x,y为已知数据，D返回各阶均差

n=length(x);D=zeros(n);D(:,1)=y′;

forj=2:n

fork=j:n

D(k,j)=(D(k,j-1)-D(k-1,j-1))/(x(k)-x(k-j+1));

end

end习题P155:1,2,7,8,9选作:数值实验牛顿法推导选讲由插值条件Nn(xi)=f(xi)i=0,1,…,nNewton插值公式的一种解法导出