数值分析-课件-第02章插值法1

数值分析NumericalAnalysis机械与汽车工程学院主讲人：李蕾2023/1/31第2章插值法插值法的概念拉格朗日插值多项式

Newton插值多项式等距节点插值

Hermite插值分段插值和抛物线插值样条插值2023/1/312.1插值法的概念举例已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下： 深度（M）46674195014221634 水温（oC）7.044.283.402.542.13根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米，600米，1000米…）处的水温。2023/1/31当精确函数y=f(x)非常复杂或未知时，在区间[a,b]上一系列节点x0…xm

处测得函数值y0

=f(x0),…,ym

=f(xm)，由此构造一个简单易算的近似函数g(x)

f(x)，满足条件

这个问题称为“插值问题”这里的g(x)

称为f(x)的插值函数。节点x0…xm称为插值节点,条件（*)称为插值条件，区间[a,b]称为插值区间。2023/1/31x0x1x2x3x4

xf(x)g(x)2023/1/312.2拉格朗日插值n=1使得可见P1(x)是过(x0,y0

)和(x1,y1

)两点的直线。l0(x)l1(x)求n

次多项式使得已知x0

,x1

;

y0

,

y1

，求2023/1/31构造基函数

与节点有关，而与f

无关j=0,1,…，n（1）2023/1/31可以证明函数组l0(x)，l1(x)，…,ln(x)在插值区间［a,b］上线性无关，所以这n+1个函数可作为Pn的一组基函数，称为Lagrange插值基函数插值多项式Pn(x)=Ln(x)=f(x0)l0(x)+f(x1)l1(x)+…+f(xn)ln(x)记为Pn(x)＝f(xj)lj(x)=Ln(x)称Pn(x)为n次Lagrange插值多项式2023/1/31例：已知分别利用sinx的1次、2次Lagrange插值计算sin50，并估计误差。

解：n=1分别利用x0,x1

以及x1,x2

计算利用2023/1/31sin50=0.7660444…利用x0,x1

作为插值节点的实际误差0.01001利用

计算得：sin500.76008,利用x1,x2作为插值节点的实际误差

0.005962023/1/31n=2sin50=0.7660444…2次插值的实际误差0.000612023/1/31拉格朗日插值多项式构造简单，形式对称，计算方便，理论分析中有重要的应用价值。但要想在计算中进一步提高精度，增加节点，则要重新构造基函数，原来的计算要作废，这对实际计算很不利。

为了克服这个缺点，可把插值多项式表示为如下便于计算的形式2.3

Newton插值多项式2023/1/31差商（也叫均差）设 在 上定义，令互异的点 ，相应的函数 值，记两点上的一阶差商为，即由定义知： 即差商具有对称性。显然，一阶差商 是一元函数，再考虑它在点 的一阶差商，并记 ，即称为点 上的二阶差商。2023/1/31一般地，由m-1阶差商 及 ，再作两点 上的一阶差商，便得到 点上的m阶差商2023/1/31均差计算表一阶差商二阶差商……N阶差商...……………………2023/1/31例题：已知 在 点处的值分别为 计算解 制差商表根据问题知插值点x=4.01在与之间，故可用前三点 的二次插值多项式计算，即用一阶差商二阶差商4.00020.60208174.01040.60318770.1084314.02330.60458240.108116-0.01364.02940.60524040.107869-0.01302023/1/31计算，代入数据，得也可以取 作线性插值计算，即代入数据，得注：取七位有效数字的真值2023/1/312.4等距节点插值差分的定义设函数 在等距节点 上的函数值 为已知，常数叫做步长，则分别称为函数 在点的一阶向前差分，一阶向后差分。利用一阶差分，可以定义高阶差分。例如：

二阶向前差分二阶向后差分2023/1/31一般地，点的n阶向前差分是 的线性组合。向后差分是 的线性组合。2023/1/31差分表及其应用

常用的差分表的形式2023/1/31Newton前插公式（表初公式）用插值多项式作近似计算时，当插值点位于表初附近，可用表初公式构造插值多项式。令 ，插值点 ，则表初公式余项2023/1/31 Newton后插公式（表末公式）用插值多项式作近似计算时，当插值点位于表末附近，可用表末公式构造插值多项式。令 ，插值点 ，则 表末公式余项2023/1/31例题： 已知 在7个点处的函数值试计算 的值。解 根据函数值作出差分表0.00.10.20.30.40.50.61.000000.995000.980070.955340.921060.877580.825340.01.000000.10.99500-0.005000.20.98007-0.01493-0.009930.30.95534-0.02473-0.009800.000130.40.92106-0.03428-0.009550.000250.000120.50.87758-0.04348-0.009200.000350.00010-0.000020.60.82534-0.05224-0.008760.000440.00009-0.000012023/1/31由于五阶差分接近于零，可取四次插值多项式计算。插值点0.048位于附近，故可用表初公式计算。有 ，知因此2023/1/31插值点0.575位于 附近，故可用表末公式计算。有 ，知 。因此2023/1/312.5

Hermite插值Hermite插值

许多实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等，而且还要求对应的导数值也相等，甚至要求更高阶导数也相等，满足这种要求的插值多项式就是Hermite插值多项式。构造Hermite插值多项式的方法就是Hermite插值法。设在节点上，已知要求构造满足该条件的插值多项式。2023/1/31假设待构造的插值多项式H(x)需要满足以下插值条件这里给出了2n+2个条件，可唯一确定一个次数不超过2n+1的多项式其形式为如果根据插值条件来确定系数，显然是非常复杂。因此，我们采用类似于拉格朗日插值多项式的构造方法并用具有特殊性质的基函数来构造Hermite插值多项式。2023/1/31利用插值节点构造如下两类特殊的2n+1次多项式其中， 是拉格朗日插值多项式的插值基函数。可以验证， 具有以下性质2023/1/31利用以上性质，构造Hermite插值多项式由于 是 的线性组合，组合系数为 ，所以称 是Hermite插值多项式的基函数。2023/1/31低次插值多项式当 时，则有两点三次Hermite插值多项式，注意到两个节点 时基函数 的形式，即知满足条件的插值多项式为2023/1/31例题 已知函数 满足条件试构造三次Hermite插值多项式。解 利用公式得2023/1/312.6分段低次插值分段线性插值和抛物插值 分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近被插值函数f(x)。 分段二次插值叫做抛物插值2023/1/31 设函数 在n+1个节点： 上的函数值分别为 ，记现在要用过曲线 上n+1个点 的折线近似代替曲线，这就是分段线性插值函数的几何解释。记这种折线函数为 ，则其在每个小区间上为线性函数2023/1/31若记并称为分段线性插值基函数，则分段线性插值函数可表示为

2023/1/31分段线性插值的算法简单，但精度不高。为了提高精度，有时取三个节点 ，按抛物插值公式进行计算，称为分段二次插值或抛物插值。其中，三点的取法取决于插值点x的位置。2023/1/31例题 已知 在区间[0,1]内四等分点的函数值：试分别用分段线性插值和分段抛物插值的方法求各段中点的函数值。解 1、分段线性插值区间[0,0.25]的中点为0.125，该段上的线性插值函数为同理，有xi00.250.50.751f(xi)11.28401.64872.11702.71832023/1/312、分段抛物插值对于中点0.125，取节点 ，根据分段抛物插值公式有从而，精确值 2023/1/31

分段线性插值和分段抛物插值有个共同的缺点，即在各分段的连接点处不可导，相邻直线或抛物线的连接点处常出现角点，光滑性不够。为了解决这个问题，可构造导数连续的分段插值函数，常用的是分段三次Hermite插值。2023/1/312.7样条插值 样条函数的概念来源于工程设计的实践。所谓样条（Spline）是工程设计中的一种绘图工具，是一种富有弹性的细长条。绘图时用亚铁迫使样条通过指定的型值点，并调整样条，使其具有光滑的外形，然后按样条画出曲线，称为样条曲线，相应的函数关系称为样条函数。当以样条函数为插值函数时，称为样条插值。 样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。2023/1/31三次样条函数定义 若函数 ，且在每个小区间 ，上是三次多项式，其中 是给定节点，则称S（x）是节点 上的三次样条函数。若在节点xj上给定函数值