数学建模-聚类分析

聚类分析分类物以类聚、人以群分；但根据什么分类呢？如要想把中国的县分类，就有多种方法可以按照自然条件来分，比如考虑降水、土地、日照、湿度等，也可考虑收入、教育水准、医疗条件、基础设施等指标；既可以用某一项来分类，也可以同时考虑多项指标来分类。研究对样品或指标进行分类的一种多元统计方法,是依据研究对象的个体的特征进行分类的方法。聚类分析把分类对象按一定规则分成若干类，这些类非事先给定的，而是根据数据特征确定的。在同一类中这些对象在某种意义上趋向于彼此相似，而在不同类中趋向于不相似。

聚类分析的基本思想是认为我们所研究的样本或指标（变量）之间存在着程度不同的相似性（亲疏关系）。根据事物本身的特性研究个体分类的方法，原则是同一类中的个体有较大的相似性，不同类中的个体差异很大。不一定事先假定有多少类，完全可以按照数据本身的规律来分类。按照远近程度来聚类需要明确两个概念：一个是点和点之间的距离，一个是类和类之间的距离。

二、距离和相似系数在进行聚类分析时，样本间的相似系数和距离有多种不同的定义，通常按特性来划分。变量特征的测度尺度有三种类型：间隔尺度（由连续的实值变量表示）有序尺度（没有明确的数量表示，只有次序关系，如产品等级）名义尺度（具有某种特性，如性别）从一组复杂数据产生一个相当简单的类结构，必然要求进行“相关性”或“相似性”的度量。在相似性度量的选择中，常常包含许多主观上的考虑，但最重要的考虑是指标的性质或观测的尺度（名义、次序、间隔）以及相关知识。课堂上主要讨论的指标测量为间隔尺度的情况。⒈距离每个样本有p个指标，因此每个样本可以看成p维空间中的一个点，n个样本就组成p维空间中的n个点，这时很自然想到用距离来度量n个样本间的接近程度。用表示第i个样本与第j个样本之间的距离。一切距离应满足以下条件：常见的距离有：blockdistance绝对值距离：euclideandistance欧式距离squaredeuclideandistance平方欧式距离chebychevdistance切比雪夫距离minkowskidistance明考斯基距离（明氏距离）当q=1,2时，为绝对值、欧式距离；若趋近无穷时，则为切比雪夫距离Lanberra兰氏距离Mahalanobis马氏距离以上都是样本间距离的定义。⒉相似系数夹角余弦相关系数变量间的距离利用相似系数来定义距离利用样本协差阵来定义距离把变量Xi的n次观测值看成n维空间的点, 在n维空间中定义m个变量间的距离。①夹角余弦两变量的夹角余弦定义为：

②相关系数两变量的相关系数定义为：

把样本看成n维空间的点，而把变量看成n维空间的坐标轴，m个样本开始时自成一类，然后规定各类之间的距离，将距离最小的一对并成一类，然后再计算距离，直到所有单位全部合并为止。系统聚类法根据一批样本的多个观测指标，具体找出一些彼此之间相似程度较大的样本（或指标）聚合为一类，把另外一些彼此之间相似程度较大的样本（或指标）又聚合为另一类，关系密切的聚合到一个小的分类单位，关系疏远的聚合到一个大的分类单位，直到把所有样本（或指标）都聚合完毕，把不同的类型一一划分出来，形成一个由小到大的分类系统。最后把整个分类系统画成一张谱系图，用它把所有样本（或指标）间的亲疏关系表示出来。这种方法是最常用的、最基本的一种，称为系统聚类分析。系统聚类法基本步骤1.选择样本间距离的定义及类间距离的定义；2.计算n个样本两两之间的距离，得到距离矩阵

3.构造个类，每类只含有一个样本；4.合并符合类间距离定义要求的两类为一个新类；5.计算新类与当前各类的距离。若类的个数为1，则转到步骤6，否则回到步骤4;6.画出聚类图；

7.决定类的个数和类。系统聚类分析的方法系统聚类法的聚类原则决定于样品间的距离以及类间距离的定义，类间距离的不同定义就产生了不同的系统聚类分析方法。以下用dij表示样品X(i)和X(j)之间的距离，当样品间的亲疏关系采用相似系数Cij时，令；以下用D(p,q)表示类Gp和Gq之间的距离。1.最短距离法(SINglemethod)2.最长距离法(COMpletemethod)最长距离最短距离ABCDEF3.重心法(CENtroidmethod)4.类平均法(AVEragemethod)中间距离5.离差平方和法(WARD)基本思想来源于方差分析。它认为：如果分类正确，同类间的类差平方和应较小，类与类之间的离差平方和应较大.具体做法是，先将n个样本分成一类,然后每次缩小一类,每缩小一类离差平方和就要增大.离差平方和法(WARD)⒍系统聚类方法的统一

⒎系统聚类法参数表

类的个数的确定由适当的阈值确定；根据数据点的散布直观地确定类的个数；根据统计量确定分类个数；类的个数的确定根据谱系图确定分类个数的准则：各类重心间的距离必须很大；类中保包含的元素不要太多；类的个数必须符合实际应用；如果采用几种不同的聚类方法处理，则在各种聚类图中应该发现相同的类。四、系统聚类的参数选择㈠聚类类别：㈡统计㈢图：树型谱系图冰柱谱系图㈣聚类方法1.Between-groupslinkage类间平均法两类距离为两类元素两两之间平均平方距离2.Within-groupslinkage类内平均法两类距离为合并后类中可能元素两两之间平均平方距离3.Nearestneighbor最短距离法4.Furthestneighbor最长距离法5.Centroidclustering重心法(欧式距离)6.Medianclustering中间距离法(欧式距离)7.WardMethod离差平方法(欧式距离)SPSS界面指南饮料数据（drink.sav）16种饮料如何分类？k-均值聚类k-均值聚类（k-meanscluster，也叫快速聚类，quickcluster）却要求你先说好要分多少类。假定你说分3类，这个方法还进一步要求你事先确定3个点为“聚类种子”(SPSS软件自动为你选种子)；也就是说，把这3个点作为三类中每一类的基石。然后，根据和这三个点的距离远近，把所有点分成三类。再把这三类的中心(均值)作为新的基石或种子(原来“种子”就没用了)，再重新按照距离分类。如此叠代下去，直到达到停止叠代的要求（比如，各类最后变化不大了，或者叠代次数太多了）。下面用饮料例的数据来做k-均值聚类。假定要把这16种饮料分成3类。利用SPSS，只叠代了三次就达到目标了（计算机选的种子还可以）。这样就可以得到最后的三类的中心以及每类有多少点

根据需要，可以输出哪些点分在一起。结果是：第一类为饮料1、10；第二类为饮料2、4、8、11、12、13、14；第三类为剩下的饮料3、5、6、7、9、15、16。SPSS实现(聚类分析)K-均值聚类以数据drink.sav为例，在SPSS中选择Analyze－Classify－K-MenasCluster，然后把calorie（热量）、caffeine（咖啡因）、sodium（钠）、price（价格）选入Variables,在NumberofClusters处选择3（想要分的类数），如果想要知道哪种饮料分到哪类，则选Save，再选ClusterMembership等。注意k-均值聚类只能做Q型聚类，如要做R型聚类，需要把数据阵进行转置。分层聚类分层聚类或系统聚类（hierarchicalcluster）。开始时，有多少点就是多少类。它第一步先把最近的两类（点）合并成一类，然后再把剩下的最近的两类合并成一类；这样下去，每次都少一类，直到最后只有一大类为止。越是后来合并的类，距离就越远。对于饮料聚类。SPSS输出为“冰柱图”(icicle)聚类要注意的问题聚类结果主要受所选择的变量影响。如果去掉一些变量，或者增加一些变量，结果会很不同。相比之下，聚类方法的选择则不那么重要了。因此，聚类之前一定要目标明确。

聚类要注意的问题另外就分成多少类来说，也要有道理。只要你高兴，从分层聚类的计算机结果可以得到任何可能数量的类。但是，聚类的目的是要使各类之间的距离尽可能地远，而类中点的距离尽可能的近，并且分类结果还要有令人信服的解释。这一点就不是数学可以解决的了。SPSS实现(聚类分析)分层聚类对drink.sa