工业机器手设计

第二讲工业机器人的总体设计

4.4工业机器人

4.4.1工业机器人概况 工业机器人是一种可编程的智能型自动化设备，是应用计算机进行控制的替代人进行工作的高度自动化系统。机器人是从初级到高级逐步完善起来的，它的发展过程可以分为三代。

第二代机器人是带感觉的机器人，它具有一些对外部信息进行反馈的能力，诸如力觉、触觉、视觉等。

4.4.2工业机器人的结构 工业机器人一般由主构架（手臂）、手腕、驱动系统、测量系统、控制器及传感器等组成。图4-16是工业机器人的典型结构。图4-16工业机器人的典型结构

4.4.3工业机器人的应用 目前，工业机器人主要应用于汽车制造、机械制造、电子器件、集成电路、塑料加工等较大规模生产企业。下面介绍几种机器人的典型应用。

1.汽车制造领域 图4-19是一个焊接机器人系统的示意图。焊接机器人还分成采用点位控制的点焊机器人和采用轨迹控制的焊接机器人两种。图4-18喷漆工业机器人系统示意图图4-19焊接工业机器人系统示意图

2.机械制造领域 机械制造企业的柔性制造系统采用搬运机器人搬运物料、工件和工具，装配机器人完成设备的零件装配，测量机器人进行在线或离线测量。 图4-20所示是两台机器人用于自动装配的情况，主机器人是一台具有三个自由度且带有触觉传感器的直角坐标机器人，它抓取第1号(No.1)零件，并完成装配动作；辅助机器人仅有一个回转自由度，它抓取第2号(No.2)零件，第1号和第2号零件装配完成后，再由主机械手完成与第3号(No.3)零件的装配工作。图4-20机器人用于零件装配 图4-21所示是一教学型FMS，由一台CNC车床、一台CNC铣床、工件传送带、料仓、两台关节型机器人和控制计算机组成。两台机器人在FMS中服务，一台机器人服务于加工设备和传送带之间，为车床和铣床装卸工件；另一台位于传送带和料仓之间，负责上、下料。图4-21机器人上、下料

3.其它领域 机器人在其它领域的应用也非常广泛，如工业机器人可以取代人去完成一些危险环境中的作业(如放射线、火灾、海洋、宇宙等)。例如，2004年1月4日，美国“勇气”号火星探测机器人实现了人类登陆火星的梦想，图4-22为“勇气”号的图片。图4-22“勇气”号火星探测器工业机器人操作机的结构及设计工业机器人由操作机（机械本体）、控制器、伺服驱动系统和检测传感装置构成，是一种仿人操作、自动控制、可重复编程、能在三维空间完成各种作业的机电一体化自动化生产设备。特别适合于多品种、变批量的柔性生产。它对稳定、提高产品质量，提高生产效率，改善劳动条件和产品的快速更新换代起着十分重要的作用。

机器人技术是综合了计算机、控制论、机构学、信息和传感技术、人工智能、仿生学等多学科而形成的高新技术，是当代研究十分活跃，应用日益广泛的领域。机器人应用情况，是一个国家工业自动化水平的重要标志。机器人并不是在简单意义上代替人工的劳动，而是综合了人的特长和机器特长的一种拟人的电子机械装置，既有人对环境状态的快速反应和分析判断能力，又有机器可长时间持续工作、精确度高、抗恶劣环境的能力，从某种意义上说它也是机器的进化过程产物，它是工业以及非产业界的重要生产和服务性设备，也是先进制造技术领域不可缺少的自动化设备。一．操作机的不同结构及其特点

1．直角坐标型操作机

这类操作机的手部在空间三个相互垂直的方向X、Y、Z上作移动运动，运动是独立的，如图1a所示。其控制简单，运动直观性强，易达到高精度，但操作灵活性差，运动的速度较低，操作范围较小而占据的空间相对较大。

2．圆柱坐标型操作机

这类操作机在水平转台上装有立柱，水平臂可沿立柱上下运动并可在水平方向伸缩，如图1b所示。其工作范围较大，运动速度较高，但随着水平臂沿水平方向伸长，其线位移分辨精度越来越低。3．球坐标型操作机

也称极坐标型操作机，工作臂不仅可绕垂直轴旋转，还可绕水平轴作俯仰运动，且能沿手臂轴线作伸缩运动，如图12c所示。其操作比圆柱坐标型更为灵活，并能扩大机器人的工作空间，但旋转关节反映在未端执行器上的线位移分辨率是一个变量。4．关节型操作机

这类操作机由多个关节联接的机座、大臂、小臂和手腕等构成，大小臂既可在垂直于机座的平面内运动，也可实现绕垂直轴的转动，如图1d所示。其操作灵活性最好，运动速度较高，操作范围大，但精度受手臂位姿的影响，实现高精度运动较困难。二．操作机腰部、臂部和腕部结构

1.腰部结构

操作机腰部包括机座和腰关节，机座承受机器人全部重量，要有足够的强度和刚度，一般用铸铁或铸钢制造，机座要有一定的尺寸以保证操作机的稳定，并满足驱动装置及电缆的安装。腰关节是负载最大的运动轴，对末端执行器运动精度影响最大，故设计精度要求高。腰关节的轴可采用普通轴承的支承结构，图1所示为PUMA机器人腰部结构。其优点是结构简单、安装调整方便，但腰部高度较高。现在大多数机器人的腰关节均采用大直径交叉滚子轴承支承的结构，既可使机座高度大大降低，又具有更好的支承刚度。2．臂部结构

臂部的作用是连结腰部和腕部，实现操作机在空间中的运动。手臂的长度尺寸要满足工作空间的要求，由于手臂的刚度、强度直接影响机器人的整体运动刚度，同时又要灵活运动，故应尽可能选用高强度轻质材料，减轻其重量。在臂体设计中，也应尽量设计成封闭形和局部带加强肋的结构，以增加刚度和强度。手臂结构可分为伸缩型结构、旋转伸缩型结构和屈伸型结构。图2示出了PUMA560机器人小臂传动结构。3．腕部结构

腕部用来连接操作机手臂和末端执行器，并决定末端执行器在空间里的姿态。腕部一般应有2～3个自由度，结构要紧凑，质量较小，各运动轴采用分离传动。图3a所示为P-100机器人腕部结构（其中，轴1～轴3为手臂轴，未画出）是一种典型的3轴分立型式，图3b为JRS-80机器人的手腕原理图，本图是类似P100典型手腕的实际结构的一种型式。

三．操作机整机设计原则和设计方法

1.操作机整机设计原则

（1）最小运动惯量原则

由于操作机运动部件多，运动状态经常改变，必然产生冲击和振动，采用最小运动惯量原则，可增加操作机运动平稳性，提高操作机动力学特性。为此，在设计时应注意在满足强度和刚度的前提下，尽量减小运动部件的质量，并注意运动部件对转轴的质心配置。

（2）尺度规划优化原则当设计要求满足一定工作空间要求时，通过尺度优化以选定最小的臂杆尺寸，这将有利于操作机刚度的提高，使运动惯量进一步降低。

（3）高强度材料选用原则

由于操作机从手腕、小臂、大臂到机座是依次作为负载起作用的，选用高强度材料以减轻零部件的质量是十分必要的。（4）刚度设计的原则

操作机设计中，刚度是比强度更重要的问题，要使刚度最大，必须恰当地选择杆件剖面形状和尺寸，提高支承刚度和接触刚度，合理地安排作用在臂杆上的力和力矩，尽量减少杆件的弯曲变形。

（5）可靠性原则

机器人操作机因机构复杂、环节较多，可靠性问题显得尤为重要。一般来说，元器件的可靠性应高于部件的可靠性，而部件的可靠性应高于整机的可靠性。可以通过概率设计方法设计出可靠度满足要求的零件或结构，也可以通过系统可靠性综合方法评定操作机系统的可靠性。

（6）工艺性原则

机器人操作机是一种高精度、高集成度的自动机械系统，良好的加工和装配工艺性是设计时要体现的重要原则之一。仅有合理的结构设计而无良好的工艺性，必然导致操作机性能的降低和成本的提高。2．操作机的设计方法和步骤

（1）确定工作对象和工作任务

开始设计操作机之前，首先要确定工作对象、工作任务。

1）焊接任务

2）喷漆任务

3）搬运任务4）装配任务（2）确定设计要求

1）负载

2）速度3）精度

4）示教方式

5）工作空间

6）尺寸规划

7）减速器的选用

机器人总体设计机器人总体设计的主要内容有：确定基本参数，选择运动方式，手臂配置形式，位置检测，驱动和控制方式等。然后是进行结构设计，同时，要对各部件的强度、刚度进行必要的验算。一、系统分析

1．根据机器人的使用场合，明确所使用机器人的目的和任务。2．分析机器人所在系统的工作环境，包括机器人与已有设备的兼容性。3．分析系统的工作要求，确定机器人的基本功能和方案。

举例：鸡蛋分检包装系统中的机器人（1）下面以鸡蛋分检包装系统为例，介绍机器人的系统分析方法。明确机器人的目的和任务：从传送带拾取一个鸡蛋；把蛋置于强光下照射，测定蛋是否透光（有无胚胎生长）；根据蛋有无胚胎，把蛋放入废品箱或包装箱内。举例示图1：基本工作流程举例：鸡蛋分检包装系统中的机器人（2）分析机器人所在系统的工作环境：包括工作车间的平面布置，相互间的位置关系等。举例示图2：机器人与环境的关系举例：鸡蛋分检包装系统中的机器人（3）分析系统的工作要求：循环时间≤3.0s每次循环有三种不同的运动：移动到传送带并拾取一只鸡蛋；移动到照射位置；把鸡蛋放入纸箱或废品区。一个循环中需要三次暂停：闭合手爪0.2s；完成照射0.05s；开启手爪放蛋0.2s每只鸡蛋重量≤85g；手爪重量≤369g位置分辨率最低为1.27mm确定机器人的自由度及运动范围：初步分析：机器人满足上面提出的条件，应该具备一个旋转运动和两个直线运动。仔细分析：还应该有一个附加旋转运动以对蛋进行定向排列。因为当手臂移动和转动时，鸡蛋的取向会发生改变。确定技术参数为：伸缩运动：45.7~61.0cm腰部旋转：±90°腕部旋转：360°腕部垂直移动：50.8cm初步确定机器人的结构：二、技术设计

1．机器人基本参数的确定（1）：

自由度的确定臂力的确定

工作范围的确定

1．机器人基本参数的确定（2）：

运动速度的确定：

主要是根据生产需要的工作节拍分配每个动作的时间，进而根据机械手各部位的运动行程确定其运动速度。定位精度的确定：机器人的定位精度是根据使用要求确定的。而要达到这样的精度取决于机器人的定位方式、运动速度、控制方式、臂部刚度、驱动方式、缓冲方法等。夹紧工件手臂升降伸缩运动回转运动工作节拍5分钟每一个动作都由5个关节协同完成综合分配每个关节的运动速度运动速度确定举例2．机器人运动形式的选择（1）：

根据机器人的运动参数确定其运动形式，然后才能确定其结构。常见的运动形式有以下几种：2．机器人运动形式的选择（2）：

直角坐标型：机器人的主体结构的关节都是移动关节。特点：结构简单，刚度高。关节之间运动相互独立，没有耦合作用。占地面积大，导轨面防护比较困难。2．机器人运动形式的选择（3）：

圆柱坐标型：圆柱坐标式机器人主体结构具有三个自由度：腰转、升降和伸缩。亦即具有一个旋转运动和两个直线运动。特点：通用性较强；结构紧凑；机器人腰转时将手臂缩回，减少了转动惯量。受结构限制，手臂不能抵达底部，减少了工作范围。2．机器人运动形式的选择（4）：

球面坐标式（极坐标）：

机器人主体结构具有三个自由度，两个旋转运动和一个直线运动。特点：工作范围较大；占地面积小；控制系统复杂2．机器人运动形式的选择（5）：

SCARA机器人：有3个旋转关节，其轴线相互平行，在平面内进行定位和定向。另一个是移动关节。这种结构轻便、响应快。特点：结构轻便，响应快；适用于平面定位和在垂直方向进行作的场合。

2．机器人运动形式的选择（6）：

关节式机器人：关节式机器人的主体结构的三个自由度腰转关节、肩关节、肘关节全部是转动关节。

特点：动作灵活，工作空间大；关节运动部位密封性好；运动学复杂，不便于控制。3．拟定检测传感系统框图：

图例：传感系统框图：4．确定控制系统总体方案，给出框图

图例：控制系统总体方案5．机械结构设计

三、机器人机械系统设计

1．机器人的驱动方式：

机器人的驱动方式有电动、液压和气动三种方式。一台机器人可以只有一种驱动方式，也可以是几种方式的联合。液压传动：具有较大的功率体积比，常用于大负载的场合。气压传动：气动系统简单，成本低，适合于节拍快、负载小且精度要求不高的场合，常用于点位控制、抓取、弹性握持和真空吸附。电动：适合于中等负载，特别适合动作复杂、运动轨迹严格的工业机器人和各种微型机器人。2．关节驱动方式（1）：

分为直接驱动和间接驱动两种方式。

直接驱动：直接驱动的机器人也叫DDR（Directdriverobot），一般指驱动电机通过机械接口直接与关节连接。其特点是驱动电机和关节之间没有速度和转矩的转换。这种驱动方式具有以下特点：A．机械传动精度高；B．振动小，结构刚性好；C．结构紧凑，可靠性高；D．电机的重量会增加转动负担。

关节直接驱动图例：2．关节驱动方式（2）：间接驱动方式：大部分机器人是间接驱动方式。由于驱动器的输出转矩大大小于驱动关节所要求的转矩，所以必须使用减速器。间接驱动特点：可以获得一个比较大的力矩；可以减轻关节的负担；可以把电机作为一个平衡质量；增加了传动误差；结构庞大。间接驱动方式图例（1）：间接驱动方式图例（2）：间接驱动方式图例（3）：3．材料的选择：

选择机器人本体的材料，应从机器人的性能要求出发，满足机器人的设计和制造要求。如：机器人的臂和机器人整体是运动的，则要求采用轻质材料。精密机器人，则要求材料具有较好的刚性。

还要考虑材料的可加工性等。机器人常用的材料有：碳素结构钢、铝合金、硼纤维增强合金、陶瓷等。4．平衡系统的设计

平衡系统的设计是机器人设计中一个不可忽视的问题。平衡系统具有以下作用：安全：防止机器人在切断电源后因重力而失去稳定。

借助平衡系统能降低机器人的构形变化。借助平衡系统能降低因机器人运动，导致惯性力矩引起关节驱动力矩峰值的变化。借助平衡系统能减小机械臂结构柔性所引起的不良影响。平衡系统图例5．平衡系统的工作原理

通常采用平行四边形机构构成平衡系统。其原理是在系统中增加一个质量，与原构件的质量形成一个力的平衡，该平衡系统不随机器人位姿的变化而失去平衡。图例：平行四边形平衡系统：横向力的平衡：纵向力的平衡：5．模块化结构设计：

将每一自由度的轴作为一个单独模块，并由独立的单片机控制，然后用户可根据自己的需要进行多轴组装。这种结构设计具有经济和灵活的特点。图例：模块化设计作业：机器人关节的直接驱动和间接驱动各有何特点？控制系统的数学模型前言

元件和系统微分方程的建立非线性微分方程的线性化

拉普拉斯变换法求解微分方程

传递函数的概念

结构图、信号流图及梅森增益公式闭环系统的传递函数小结前言

在控制系统的分析和设计中，首先要建立系统的数学模型。数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式。描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫动态数学模型。如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程求解，就可以得到系统输出量的表达式，并对系统进行性能分析。

建立数学模型方法有分析法和实验法。分析法是对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所依据的物理或化学规律分别列写相应的运动方程。实验法是给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近。本章重点研究分析法。

自控理论数学模型有多种形式。时域中有微分方程、差分方程和状态方程；复数域中有传递函数、结构图；频域中有频率特性等。2-1控制系统的时域数学模型1线性元件的微分方程解:设回路电流为i(t),由基尔霍夫定律可写出回路方程为ui(t)uo(t)CRLi(t)

例2-1图为由电阻R、电感L电容C组成的无源网络,试列写以ui(t)为输入量,以uo(t)为输出量的网络微分方程.图2-1

RLC无源网络消去中间变量i(t),便得到描述网络输入输出关系的微分方程为(2-1)假定R、L、C都是常数，这是一个二阶常系数线性微分方程,也就是上图无源网络的时域数学模型。例2-2试列图2.2所示电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压ua(t)为输入量，电动机转速ωm(t)为输出量。图中Ra，La分别是电枢电路的电阻和电感；Mc是折合到电动机轴上的总负载转矩。激磁磁通设为常值。

①电枢回路电压平衡方程式中Ea(V)是电枢反电势,它是当电枢旋转时产生的电势,其大小与激磁磁通及转速成正比,方向与电枢电压ua(t)相反,即是反电势系数.(2-2)②电磁转矩方程式中是电动机转矩系数,是电枢电流产生的电磁转矩.(2-3)③电动机轴上的转矩平衡方程(2-4)式中,是电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数;是电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量.由式(2-2)~式(2-4）消去中间变量ia(t),Ea及Mm(t),便可得到以m(t)为输出量,以ua(t)为输入量的直流电机微分方程为(2-5)工程中电枢电路电感La较小,常忽略不计,因而上式可简化为(2-6)式中Tm=RaJm/(Rafm+CmCe)是电动机机电时间常数(s);K1=Cm/(Rafm+CmCe),K2=Ra/(Rafm+CmCe)是电动机传递系数.如果Ra和Jm都很小而忽略不计时,式(2-6)还可进一步简化为这时,m(t)与ua(t)成正比,于是,电动机可作为测速发电机使用.(2-7)例2-3

图2-3a)所示为弹簧、质量、阻尼系统。当受外力F(t)作用时，要求写出系统的微分方程。F(t)x(t)mF2(t)F1(t)图2-3机械位移系统b)F(t)x(t)mKfa)质量m上受力情况如图示。根据牛顿第二运动定律有：（2-8）式中:——阻尼器阻力。其大小与运动速度成正比，方向与运动方向相反，阻尼系数为f，即：——弹簧力。设为线性弹簧，根据虎克定律有：K——弹簧刚度联立以上三式并整理得：（2-9）假定m、k、f均为常数，上式就是二阶常系数线性微分方程。从以上分析可以发现,物理结构不同的元件或系统,可以具有相同形式的数学模型,例如，前述的RLC无源网络和弹簧-质量-阻尼器机械系统的数学模型均是二阶微分方程，我们称之为相似系统.相似系统揭示了不同物理现象间的本质相似关系，利用它可以(1)用一个简单系统去研究与其相似的复杂系统;(2)为控制系统的计算机数字仿真提供了基础.(3)二阶系统是一个十分典型的、有代表性的系统.综上所述，列写元件微分方程的步骤可归纳如下：根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用，确定其输入量和输出量；分析元件工作中所遵循的物理或化学规律，列写相应的微分方程；消去中间变量，得到输出量与输入量之间关系的微分方程，便是元件时域的数学模型。一般应将微分方程写为标准形式，即与输入量有关的项写在方程的右端，与输出量有关的项写在方程的左端，方程两端变量的导数项均按降幂排列。2控制系统微分方程的建立

建立系统微分方程时，先由系统原理线路图或方块图，分别列写组成系统各元件的微分方程；然后，消去中间变量便得到描述系统输出量与输入量之间关系的微分方程。

解系统被控对象是电动机（带负载），系统的输出量是转速ω，参据量是ui。系统由给定电位器、运算放大器I、运算放大器Ⅱ、功率放大器、测速发电机、减速器等组成。分别列写各元部件微分方程：例2-4试列写图2-4所示速度控制系统的微分方程。图2-4R2运算放大器I

给定电压ui与速度反馈电压ut合成，产生偏差电压并放大运算放大器Ⅱ

u2与u1之间的微分方程为功率放大器采用晶闸管整流装置,k3为比例系数直流电动机直接引用例2-2所求得的直流电动机微分方程式(2-6)齿轮系设速比为i，电机转速ωm经齿轮系减速后变为ω有测速发电机其输出电压ut与转速ω成正比Kt为比例系数（2-10）3线性系统的基本特性叠加原理两个外作用同时加于系统所产生的总输出，等于各个外作用单独作用时分别产生的输出之和，且外作用的数值增大若干倍时，其输出亦相应增大同样的倍数。因此对线性系统进行分析和设计时，如果有几个外作用同时加于系统，则可将它们分别处理，依次求出各个外作用单独加入时系统的输出，然后将它们叠加。4线性定常微分方程的求解当系统微分方程列写出来后，只要给定输入量和初始条件，便可对微分方程求解，并由此了解系统输出量随时间变化的特性。线性定常微分方程的求解方法有经典法、拉氏变换法和数值计算方法。

用拉氏变换法求解线性系统的微分方程时,可以得到控制系统在复数域的数学模型—传递函数.传递函数不仅可以表征系统的动态性能,而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响.拉普拉斯变换方法求解的优点：拉普拉斯变换法可以直接将微分方程变换成代数方程，简化求解过程；可以同时获得解的瞬态分量和稳态分量；可以求得微分方程的全解。4.1拉普拉斯(Laplace)变换（参见附录A）⑴定义：设函数f(t)当t

≥0时,f(t)有定义，且积分在s的某一域内收敛,则称F(s)为f(t)的拉氏变换，记作F(s)=L[f(t)],F(s)又称为象函数，f(t)称为原函数。

(2-11)(s是一个复参量)若F(s)是f(t)的拉氏变换，称f(t)为F(s)的拉氏逆变换，记作f(t)=L-1[F(s)].F(s)和f(t)为一个拉氏变换对。⑵拉氏变换表表2－1拉氏变换表(参见教材表A-3)f(t)F(s)(t)11(t)1/st1/

s2tn-1/(n-1)!1/sne-at1/(s+a)sint/(s2+2)costs/(s2+2)

1b－a(e-at－e-bt)1/(s+a)(s+b)②位移定理：⑶基本定理设F(s)=L[f(t)],F1(s)=L[f1(t)],F2(s)=L[f2(t)],α,β为常数①线性定理：③相似定理：α为实常数④微分定理：当f(t)及其各阶导数的初始值都为零时：⑤积分定理：

式中：为在处的值LL⑥终值定理：⑷拉氏反变换定义：拉氏反演积分求拉氏逆变换的方法在实际使用时，采用部分分式展开法，即将复杂函数展开成简单函数的和当：时⑦初值定理：其中：可查表。一般地，象函数F(s)是复变数s的有理代数分式例2-5解(1)A(s)=0无重根时，可有或(2-12)根据拉氏变换的线性性质有(2-13)则有根据式(2-12)根据式(2-13),得原函数(2)A(s)=0有重根时重根项的待定系数(2-14)故有原函数(2-15)例2-6根据式(2-14)根据式(2-12)根据式(2-15)4.2拉氏变换发求解微分方程算例例2-7在例2-1中，若已知L＝1H，C＝IF，R＝lΩ，且电容上初始电压uo(0)=0.1V，初始电流i(0)=0.1A，电源电压ui(t)=1V。试求电路突然接通电源时，电容电压uo(t)的变化规律。ui(t)uo(t)CRLi(t)解在例2-1中得网络微分方程为对网络微分方程两边求拉氏变换并代入已知数据，经整理后有在上式中，前两项是由网络输入电压产生的输出分量，与初始条件无关，故称为零初始条件响应；后一项则是由初始条件产生的输出分量，与输入电压无关，故称为零输入响应，它们统称为网络的单位阶跃响应。用拉氏变换法求解线性定常微分方程的过程可归结如下：考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，将微分方程转换为变量s的代数方程；由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式；对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。5非线性微分方程的线性化实际上所有现实中的系统都不是线性的，为了便于分析和求解，通常要对系统进行“理想化”和“线性化”处理；手段:a.忽略非线性;b.小偏差线性化法,取某平衡状态点A,泰勒级数展开,小范围内以直代曲.

一般地,自动控制系统在正常情况下都处于一个稳定的工作状态，而其被控量的偏差一般不会很大，只是“小偏差”。在建立控制系统的数学模型时，通常是将系统的稳定工作状态作为起始状态，仅仅研究小偏差的运动情况，因而这种小偏差线性化方法对于控制系统大多数工作状态是可行的。2-2控制系统的复数域数学模型-传递函数

拉氏变换法求解系统微分方程时，可得到控制系统在复数域中的数学模型—传递函数。传递函数不仅可表征系统的动态性能，且可用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。经典控制论中广泛应用的频率法和根轨迹法，就是以传递函数为基础的，传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念。1传递函数的定义和性质⑴定义线性定常系统的传递函数,定义为初始条件为零时,输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,记为G(S),即:（2-16）设线性定常系统的n阶线性常微分方程为设r(t)和c(t)及其各阶导数在t=0时的值均为零,即零初始条件,对上式中各项分别求拉氏变换,令C(s)=L[c(t)],R(s)=L[r(t)]可得s的代数方程为式中于是,由定义得系统的传递函数为

(2-17)ui(t)uo(t)CRLi(t)例2-8试求例2-1RLC无源网络的传递函数解:该网络微分方程已求出,如式(2-1)

在零初始条件下,对上式进行拉氏变换,令Uo(s)=L[uo(t)],Ui(s)=L[ui(t)]得(2-18)由传递函数定义得网络传递函数为(2-19)⑵性质①传递函数是复变量s的有理真分式函数,具有复变函数的所有性质.有m≤n且所有系数均为实数.

②传递函数是一种用系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式,它只取决于系统或元件的结构和参数,而与输入量的形式无关,也不反映系统内部的任何信息.因此,可以用图2-5的方块图表示一个具有传递函数G(s)的线性系统.图2-5传递函数的图示G(s)R(s)C(s)③传递函数与微分方程有相通性.在零初始条件下，若将微分方程的算符d/dt用复数s置换便得到传递函数;反之亦可.④传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t).脉冲响应g(t)是系统在单位脉冲输入时的输出响应,此时,

传递函数是在零初始条件下定义的,控制系统的零初始条件有两方面的含义:一是指输入量是在t≥0时才作用于系统,因此在t=0-时输入量及其各阶导数均为零;二是指输入量加于系统之前,系统处于稳定的工作状态,即输出量及其各阶导数在t=0-时的值也为零.现实的工程控制系统多属此类情况.⑶物理意义例2-9试求例2-2电枢控制直流电机的传递函数解:在例2-2中已求得电枢控制直流电机简化后的微分方程为(2-20)根据线性系统叠加原理,可分别求出ua(t)到m(t)和Mc(t)到m(t)的传递函数.先求,为此令Mc(t)=0,则有在零初始条件下,对上式各项求拉氏变换,则得(2-21)由传递函数定义,于是有(2-22)同理,令ua(t)=0,可求得(2-23)式中,---------称为传递函数的零点;-------称为传递函数的极点.2传递函数的零点和极点传递函数的分子多项式和分母多项式经因式分解后,可写为如下形式(2-24)传递函数的零点和极点可以是实数,也可是复数,系数K*=b0/a0称为传递系数或根轨迹增益.这种用零点和极点表示传递函数的方法,在根轨迹法中使用较多.在复数平面上表示传递函数的零点和极点时,称为传递函数的零极点分布图.在图中一般用表示零点,用表示极点.传递函数的分子多项式和分母多项式经因式分解后,也可以写为如下因子连乘积的形式(2-25)式中,一次因子对应于实数零极点,二次因子对应于复数零极点.称为时间常数,称为传递系数或增益.传递函数的这种表示形式在频率法在使用较多.显然，传递函数的极点就是微分方程的特征根。3典型元部件的传递函数

为建立系统的数学模型，必须首先了解各种元部件的数学模型及其特性。⑴电位器电位器是一种把线位移或角位移变换为电压量的装置.在控制系统中,单个电位器用作为信号变换装置,如图2-6(a)所示;一对电位器可组成误差检测器,如图2-6(b)所示.图2-6电位器及其特性空载时,单个电位器的电刷角位移θ(t)与输出电压u(t)的关系曲线如图2-6(c)所示.图中的阶梯形状是由绕线线径产生的误差,理论分析时可用直线近似.由图可得输出电压为式中,是电刷单位角位移对应的输出电压,称电位器传递系数(V/rad),其中E是电位器电源电压(V),是电位器最大工作角(rad).对上式求拉氏变换,可得电位器的传递函数为上式表明,电位器的传递函数是一个常值,故称比例元件,可用图2-6(d)所示的方块图来表示.用一对相同的电位器组成误差检测器时,其输出电压为式中K1是单个电位器的传递系数,是两个电位器电刷角位移之差,称误差角.因此以误差角为输入时,误差检测器的传递函数与单个电位器的传递函数相同,即为在使用电位器时要注意负载效应，即指在电位器输出端接有负载时所产生的影响。图示电位器输出端接有负载电阻Rl时的电路图，设电位器电阻是Rp，可求得电位器输出电压为⑵测速发电机

测速发电机是用于测量角速度并将它转换成电压量的装置.在控制系统中常用的有直流和交流测速发电机,如图2-7所示.图2-7(a)是永磁式直流测速发电机的原理线路图,其输出电压与转子角速度的关系为图2-7测速发电机示意图式中Kt

是测速发电机输出斜率,表示单位角速度的输出电压.在零初始条件下,对上式拉氏变换可得直流测速发电机的传递函数为或分别用方块图表示如下:

sKtU(s)

KtU(s)图2-8测速发电机的方块图图2-7(b)是交流测速发电机的示意图.在结构上它有两个互相垂直放置的线圈,其中一个是激磁绕组,接入一定频率的正弦额定电压;另一个是输出绕组.当转子旋转时,输出绕组产生与转子角速度成比例的交流电压u(t),其频率与激磁电压频率相同,其传递函数及方块图亦同直流测速发电机.⑶电枢控制直流伺服电动机直流伺服电动机在控制系统中广泛用作执行机构,用来对被控对象的机械运动实现快速控制.根据例2-9的式(2-22)和式(2-23)可用下列方块图表示三种情况下的直流伺服电动机.⑷两相伺服电动机两相伺服电动机具有重量轻、惯性小、加速特性好的优点,是控制系统中广泛应用的一种小功率交流执行机构.两相伺服电动机由互相垂直配置的两相定子线圈和一个高电阻值的转子组成.定子线圈的一相是激磁绕组,另一相是控制绕组,通常接在功率放大器的输出端,提供数值和极性可变的交流控制电压.两相伺服电动机的转矩-速度特性曲线有负的斜率,且呈非线性.图2-9(b)是在不同控制电压ua时,实验测取的一组机械特性曲线.图中的虚线是线性化曲线,其线性化方程可表示为图2-9两相伺服电动机及其特性式中Mm是电动机输出转矩,m

是电动机角速度,CΩ=dMm/dm是阻尼系数,即机械特性线性化的直线斜率,Ms是堵转转矩,由图2-9(b)可得Ms=CMua.由前面两式消去中间变量Ms和Mm,并在零初始条件下求拉氏变换,可求得两相伺服电动机的传递函数为或式中Km=CM/(fm+CΩ)是电动机的传递系数,Tm=Jm/(fm+CΩ)是电动机时间常数。可见，两相伺服电机和直流电机的传递函数在形式上完全相同。⑸无源网络为了改善控制系统的性能,常在系统中引入无源网络作为校正元件.无源网络通常是由电阻、电容和电感组成.求无源网络的传递函数,可用前述的方法,即列写网络微分方程，进行拉氏变换，从而得到输出量与输入量间的传递函数。此外还可采用复数阻抗法.用复数阻抗法表示电阻时仍为R,电容的复数阻抗为1/Cs,电感的复数阻抗为Ls.

图2-1的RLC无源网络用复数阻抗表示后的电路如图2-10所示.图中Z1=R+Ls,Z2=1/Cs.由图可直接写出电路的传递函数为Z1Z2uiuo图2-10复阻抗表示的RLC电路应该注意,求取无源网络传递函数时,一般假设网络输出端有无穷大的负载阻抗,输入内阻为零,否则应考虑负载效应.图2-11中,两个RC网络不相连接时,可视为空载,传递函数分别为图2-11负载效应示意图若将G1(s)与G2(s)两方块串联连接,如图2-11右端,其传递函数为但是,若将两个RC网络直接连接,则由电路微分方程可求得连接后电路的传递函数为单容水槽、电加热炉和双容水槽的传递函数2-3控制系统的结构图与信号流图

控制系统的结构图和信号流图是描述系统各元部件之间信号传递关系的数学图形,它们表示了系统中各变量之间的因果关系以及对各变量所进行的运算,是控制理论中描述复杂系统的一种简便方法.

与结构图相比,信号流图符号简单,更便于绘制和应用.但是,信号流图只适用于线性系统,而结构图也可用于非线性系统.1系统结构图的组成和绘制

控制系统的结构图是由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向线组成,它包含四种基本单元:⑴信号线.带有箭头的直线,箭头表示信号的流向,在直线旁标记信号的时间函数或象函数，如图2-12(a);⑵引出点(测量点).表示信号引出或测量的位置,从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全性同，如图2-12(b);⑶比较点(综合点).对两个以上的信号进行加减运算,“+”号表示相加，“-”号表示相减，“+”号可省略，如图2-12(c);⑷方框(环节).对信号进行的数学变换,框内为元部件或系统的传递函数,如图2-12(d).方框可视作单向运算的算子，方框的输出量等于其输入量与框内传递函数乘积,C(s)=G(s)U(s)。图2-12结构图的基本组成单元

绘制系统结构图时，首先考虑负载效应分别列写各元部件的微分方程或传递函数，并将它们用方框表示；然后根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各方框连接便得到系统的结构图。结构图上可以用方框进行数学运算，也可以直观了解各元部件的相互关系及其在系统中所起的作用。而且，从系统结构图可以方便地求得系统的传递函数。所以系统结构图也是控制系统的一种数学模型。

结构图中的方框与实际系统的元部件并非是一一对应的。一个实际元部件可以用一个方框或几个方框表示；而一个方框也可以代表几个元部件或是一个子系统，或是一个大的复杂系统。例2-10

绘制如图2-13所示RC无源网络的结构图图2-13RC无源网络

解将无源网络视为一个系统，组成网络的元件就对应于系统的元部件。设电路中各变量如图中所示，应用复阻抗概念，根据基尔霍夫定律写出以下方程：

按照这些方程可分别绘制相应元件的方框图如图2-14(a)-(d)所示。然后用信号线按信号流向依次将各方框连接起来，便得到无源网络的结构图，见图2-14(e).图2-14RC无源网络结构图2结构图的等效变换和简化由系统结构图通过等效变换(简化)可方便地求取闭环系统的传递函数或系统输出量响应。实际上，该过程对应于由元部件运动方程消去中间变量求取系统传递函数过程。复杂系统结构图，其方框间的连接是错综复杂的，但方框间的基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。结构图简化的一般方法是移动引出点或比较点，交换比较点，进行方框运算将串联、并联和反馈连接的方框合并。在简化过程中应遵循变换前后变量关系保持等效的原则，具体而言，就是变换前后前向通路中传递函数的乘积应保持不变，回路中传递函数的乘积应保持不变。（l）串联方框的简化（等效）传递函数分别为G1(s)和G2(s)的两个方框，若G1(s)的输出量作为G2(s)的输入量，则G1(s)与G2(s)称为串联连接。图2-15方框串联连接及其简化（2）并联方框的简化（等效）

传递函数分别为G1(s)和G2(s)的两个方框，如果它们有相同的输入量，而输出量等于两个方框输出量的代数和，则G1(s)与G2(s)称为并联连接。G1(s)G2(s)R(s)C(s)C1(s)C2(s)(a)R(s)C(s)(b)图2-16方框并联连接及其简化（3）反馈连接方框的简化（等效）G(s)H(s)R(s)C(s)(a)E(s)B(s)图2-17方框的反馈连接及其简化R(s)C(s)(b)(s)⑷比较点和引出点的移动

为便于方框的简化运算，有时需移动比较点或引出点位置。这时应注意移动前后必须保持信号的等效性，且比较点和引出点之间一般不宜交换其位置。此外，“-”号可在信号线上越过方框移动，但不能越过比较点和引出点。表2-2结构图简化（等效变换）的基本规则例2-11试简化图2-18的结构图,并求系统传递函数C(s)/R(s).图2-18例2-11系统结构图-__-_____图2-19例2-11系统结构图的简化例2-12试简化图2-20的结构图,并求系统传递函数C(s)/R(s).图2-20例2-12系统结构图解在图中由于G1(s)与G2(s)之间有交叉的比较点和引出点，不能直接进行方框运算，但也不可简单地互换其位置。最简便方法是按规则(5)和规则(8)分别将比较点前移,引出点后移；然后进一步简化直至求得系统传递函数。3信号流图的组成及性质该图起源于用图示法描述线性方程式，是由节点和支路组成的一种信号传递网络。节点代表方程式中的变量，以小圆圈表示；支路是连接两节点的定向线段，相当于乘法器。信号流图的基本性质

(1)节点标志系统的变量。自左向有顺序设置，每个节点标志的变量是所有流向该节点的信号之代数和，而从同一节点流向各支路的信号均用该节点的变量表示。(2)支路相当于乘法器，信号流经支路时被乘以支路增益。(3)信号在支路上只能沿箭头单向传递,且信号流图不惟一。源节点(输入节点)

在该点上只有信号输出支路，没有信号输入支路，一般代表系统的输入量。名词术语阱节点(输出节点)该点上只有输入支路而没有输出支路，代表输出量。混合节点在该点上既有输入支路又有输出支路。若从混合节点引出一条具有单位增益的支路，可将混合节点变为阱节点.4信号流图的绘制(1)由系统微分方程绘