第六章样本及抽样分布-第二节

第六章----第八章知识结构图数理统计抽样分布

统计推断常用的统计量四个重要分布参数估计假设检验正态总体的样本均值与方差的分布(重要统计量的分布)矩估计法点估计

区间估计极大似然估计法均值的区间估计方差的区间估计均值的检验方差的检验单个总体两个总体正态总体

在上节所介绍内容中已经知道：样本是进行统计推断的依据。

第二节抽样分布

问题的提出

亦即用样本去推断总体情况，需要对样本进行一定的“加工”，这就要构造一些样本的适当函数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来。这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量它是完全由样本所决定的量但在实际应用时，往往不是直接使用样本本身，而是针对不同的问题构造样本的适当函数，利用这些样本的函数进行统计推断。1.定义设是来自总体X的一个样本，是的函数。若g是连续函数且g中不含任何未知参数,则称是一个统计量。一.统计量的定义

统计量是样本的函数，它是一个随机变量。▲▲其中:是的样本值

称为的观察值注

2.几个常用的统计量样本均值：样本方差：它反映了总体均值的信息它反映了总体方差的信息(1).(2).(3).样本标准差：(4).样本k阶原点矩：(5).样本k阶中心矩：

k=1,2,…它反映了总体k阶矩的信息它反映了总体k阶中心矩的信息~(5)均是随机变量，▲▲若总体X的k

阶原点距存在，这个结论表明：▲关于与总体分布函数相应的统计量

—---经验分布函数的概念与作法请见浙大教材P161--P162注实质上它们是样本函数的数字特征；它们的观察值是具体的实数值，仍称为样本均值、样本方差、样本

k

阶原点距与样本

k

阶中心距。则当时有：证明见浙大教材P161样本的

k阶距依概率收敛到总体的

k阶距。矩估计法的理论根据3.抽样分布统计量作为随机变量，因而就有一定的分布，这个分布就称为统计量的“抽样分布”。故有：统计量的分布称为抽样分布

二.几个重要的分布设是来自正态分布N(0,1)的样本，则称统计量：定义.分布1.记为：为服从自由度为n

的分布.自由度n

是指中所包含独立变量的个数分布的密度函数为：来定义。其中：伽玛函数通过积分：其密度函数的图形如下：▲▲注若，则n=2n=1n=4n=6n=11xf(x)0（参见教材P171图6.1）▲相互独立，则分布的上分位点：称满足：对于给定的的点为分布的上分位点。分布的可加性：若且其图形如下：▲▲面积=xf(x)0对于不同的与，有表可查（见教材P265的附表4）

一般:当时可直接查表当时可用近似公式：例如：费歇R.AFisher证明是正态分布的上分位点或：记为T～t(n)为服从自由度为

n的

t分布.设X～N(0,1),Y～,且X与Y相互独立，则称随机变量：t分布2.

定义.

t分布是英国统计学家哥塞特（G0sset）首先发现的，并以学生(student)的笔名在英国的《Bi0metrike》杂志上发表的一篇文章中提出了他的研究结果.▲注故t分布也称为学生分布。t分布的概率密度函数为：它非常象正态分布图形,关于y轴对称▲xt(x)0n=2n=25n=（参见教材P173图6.3）其图形如下：T分布的上分位点:称满足条件:▲当充分大时，即当充分大时，t分布可以近似看作是标准正态分布；但当较小时，t分布与正态分布的差异是不能忽略的。▲若T～t(n)，则有：当时当时▲的点为t分布的上分位点。对于给定的0面积=对于不同的与，有表可查（见教材P264的附表3）

一般:当时可直接查表当时可用近似公式：(用正态分布近似)例如：由上分位点定义及h(t)对称性得:▲F分布

设X与Y相互独立，则称统计量：为服从自由度n1及n2的F分布，记作：

F~F(n1,n2)

若F~F(n1,n2)，则F的概率密度为：3.定义.▲注x0其图形如下：（参见教材P174图6.5）▲若则▲若则：当时，当时，▲称满足条件:F分布的上分位点:的点为F分布的上分位点。对于给定的x0面积=对于不同的与，有表可查

（见教材P268的附表5）

例如:

正态分布▲分布的上分位的性质：4.（请自己复习其图形及性质等）三.正态分布的样本均值与样本方差的分布

定理1

(样本均值和样本方差的分布)设X1,X2,…,Xn是取自正态总体的样本，是其样本均值和样本方差则和相互独立只证（1），（2）与（3）的证明见教材P175—P176证明:(1)相当于a=1/n,b=0代入到y=ax+b中因为若则有：由已知又则：即n取不同值时样本均值的分布n取不同值时的分布推论.推论的实质是把服从一般正态分布的随机变量化为标准正态分布的一个方法。设是总体的一个样本，则▲注正态分布。它类似于把一个随机变量经线性变换化为服从标准推论的证明，只需在定理1(1)式的证明中令：即可.对于一般的有：▲▲由推论定理2.设X1,X2,…,Xn是取自正态总体分别为样本均值和样本方差,则有：证明:由定理1的结论与推论并且两者相互独立由分布的定义得：的样本,定理3.且X与是取自Y的样本。Y相互独立，是取自X的样本，分别是这两个样本的样本均值，和分别是这两个样本的样本方差。和

则有：证明:而相当于y=ax+b中a=-1,b=0其中：从而由定理1推论由分布的可加性则由

t分布定义得：例1.在总体中随机抽取一容量