第五章电磁波的辐射ElectromagneticWaveRadiation

第五章电磁波的辐射ElectromagneticWaveRadiation

本章所研究的问题是电磁波的辐射。方法和稳恒场情况一样，当考虑由电荷、电流分布激发电磁场的问题时，引入势的概念来描述电磁场比较方便。本章首先把势的概念推广到一般变化电磁场情况，然后通过势来解辐射问题。本章主要内容电磁场的矢势和标势推迟势电偶极辐射磁偶极辐射和电四极辐射电磁波的干涉和衍射电磁场的动量§5.1电磁场的矢势和标势VectorandScalarPotentialofElectromagnetic1、用势描述电磁场为简单起见，只讨论真空中的电磁场。由Maxwell’sequations出发这里大家知道，齐次方程，显然的散度为零意味着是某个矢量的旋度，即的物理意义可由下式看出：即在任一时刻，矢量沿任一闭合回路L的线积分等于该时刻通过以L为边线的曲面S的磁通量。在非稳恒情况下，。因而不能象在静电场时那样引入电势来描述电场。一般情况下，电场一方面受到电荷的激发，另一方面也受到变化磁场的激发。因此，是有源和有旋的场，的等式中必然包含矢量，从而由Faraday电磁感应定律可得：因为时间和空间皆为独立变量，故与可交换位置。于是故

可以看成一个矢量矢量的旋度为零，意味着它可表示为某个标量函数的梯度，因此这里，仍用来表示这个标量函数，并且右边采用“负号”以便与时间无关时仍回到静电场情形中去，即电场为

至此，我们既可以直接用场量、来描述电磁场，也可以用矢量和标势一起来描述电磁场，而两种描述方式的等价性的桥梁（bridge）就是注意：a)当与时间无关，即时,且这时就直接归结为电势；

b)绝对不要把中的标势与电势混为一谈。因为在非稳恒情况下，不再是保守力场，不存在势能的概念，这就是说现在的，在数值上不等于把单位正电荷从空间一点移到无穷远处电场力所做的功。为了区别于静电场的电势，把这里的称为标势（Scalarpotential)。c)

在时变场中，磁场和电场是相互作用着的整体，必须把矢势和标势作为一个整体来描述电磁场。2、规范变换和规范不变性

虽然和，以及和是描述电磁场的两种等价的方式，但由于、和、

之间是微分方程的关系，所以它们之间的关系不是一一对应的，这是因为矢势可以加上一个任意标量函数的梯度，结果不影响，而这个任意标量函数的梯度在中对要发生影响，但将中的

与此融合也作相应的变换，则仍可使保持不变。

现在来研究，唯一地决定场的势可以确定到什么程度。设为任意的标量函数，即，作下述变换式：于是我们得到了一组新的，很容易证明：由此可见，和描述同一电磁场，换句话说，对于同一电磁场和，其势的选择并不是唯一的，通过变换式可以找到无穷组而对应同一个场。从变换式可以看出，矢势仅仅确定到一个任意函数的梯度；标势仅仅确定到同一任意函数的时间导数。因为势和缺乏唯一性，我们可以按照一定的附加条件去挑选我们所需要的一组势，这些附加条件通常是势之间的关系，称为规范条件(Gaugecondition)，不同的场合可以选择不同的规范条件。从物理观点来看，物理上可测量的量一定是规范不变的，因此描述涉及电磁现象的物理规律——方程形式都应当在规范变换下保持不变，这就称为规范不变性(Gaugeinvariance)。而变换式称为规范变换(Gaugetransformation)。a)

库仑规范(Coulombgauge)库仑规范条件为，即规定是一个有旋无源场（横场）。这个规范的特点是的纵场部分完全由描述（即具有无旋性)，横场部分由描述（即具有无源性）。由可见，项对应库仑场，对应着感应场。

b)

洛仑兹规范(Lorentzgauge)

洛仑兹规范条件为，即规定是一个有旋有源场（即包含横场和纵场两部分），这个规范的特点是把势的基本方程化为特别简单的对称形式。3、达朗贝尔(d’Alembert)方程

从Maxwell’sequations出发推导矢势和标势所满足的方程，得到：即再由得到：即应用，并将上述两个结论式公式整理，且得到这两个方程是互相关联的，、混杂在同一个方程中，而且两个方程的形式也不对称。a)采用库仑规范上述方程化为b)采用洛仑兹规范()上述方程化为这就是所谓达朗贝尔（d’Alembert）方程。4、举例讨论

试求单色平面电磁波的势Solution:

单色平面电磁波在没有电荷，电流分布的自由空间中传播，因而势方程（达朗贝尔方程）变为波动方程：其解的形式为：由Lorentz规范条件，即得这表明，只要给定了，就可以确定单色平面电磁波，这是因为：0（对于单色平面波而言）如果取，即只取具有横向分量，那么有从而得到：因此有：其中：如果采用库仑规范条件，势方程在自由空间中变为当全空间没有电荷分布时，库仑场的标势，则只有其解的形式为由库仑规范条件得到即保证了只有横向分量，即，从而得到通过例子可看到：库仑规范的优点是：它的标势描述库仑作用，可直接由电荷分布求出，它的矢势只有横向分量，恰好足够描述辐射电磁波的两种独立偏振。

洛仑兹规范的优点是：它的标势和矢势构成的势方程具有对称性。它的矢势的纵向部分和标势的选择还可以有任意性，即存在多余的自由度。尽管如此，它在相对论中显示出协变性。因此，本书以后都采用洛仑兹规范。§5.2推迟势RetardedPotential本节主要是求解达朗贝尔（d’Alembert

）方程，并阐明其解的物理意义。1、达朗贝尔方程的解

不管是矢势还是标势，在Lorentz规范条件下都满足同样的达朗贝尔方程。而达朗贝尔方程式是线性的，它反映了电磁场的叠加性，故交变电磁场中的矢势和标势均满足叠加原理。因此，对于场源分布在有限体积内的势，可先求出场源中某一体积元所激发的势，然后对场源区域积分，即得出总的势。又因矢势的方程与标势的方程在形式上相同，故只需求出的方程的解即可。根据标势所满足的方程：设坐标原点处有一假想变化电荷Q(t)，其电荷体密度为，此时电荷辐射的势的达朗贝尔方程为除在原点以外的空间，因而得到因为点电荷的场分布是球对称的，若以r表示源点到场点的距离，则不依赖于角变量，只依赖于r和t.也就是说，与和φ无关，仅是r和t的函数，即而且除原点外，满足波动方程上式的解是球面波，考虑到r增大时势减弱，所以作如下代换将此代入上式即这个方程式是一维空间的齐次波动方程，其通解为式中的f和g是两个任意函数，故有此解的第一项表示由场源向外辐射的球面波，第二项则表示向场源会聚的球面波。式中f和g是的任意函数。其具体形式由场源条件而定。当我们研究辐射时，电磁场是由原点处的电荷发出的，它必然是向外发射的波。因此在辐射问题中应取g=0，而函数f的形式应由原点处的电荷变化形式决定。为此，考察上述解过渡到恒定场的情况，即取g=0，c→∞，则将该式与恒定场中Q所激发的电势比较，则得因此在交变电磁场中应有相似的解，即故交变场源所激发的势为如果点电荷不在原点处，而是在点上，令r为点到场点的距离，有如果场源电荷分布在有限体积V内，对于一般变化电荷分布，它所激发的标势为：因矢势的微分方程与标势的微分方程相似，故其解也相似，所以一般变化电流分布所激发的矢势为：2、推迟势（RetardedPotential)达朗贝尔方程的解为：它给出了分布在有限体积内的变化电荷与变化电流在空间任意点所激发的标势的矢势。必须强调指出,该式中的表示场点坐标，表示源点坐标。和分别表示t时刻在点处的标势和矢势的值，和分别表示时刻在处的的值。值得注意的是：电荷密度和电流密度中的时刻是而不是t。这说明：

时刻在处电荷或电流产生的场并不能在同一时刻

就到达点，而是要一个传输时间△t，而且，由于t>，故t时刻的势和是晚于场源辐射的时刻，因此将此时的和称为推迟势。

综上所述，推迟势的重要性在于说明了电磁作用是以有限速度向外传播的，它不是瞬时超距作用。换句话说：电荷、电流辐射电磁波，而电磁波以速度脱离电荷、电流向外传播。这就是推迟势所描写的物理过程。3、推迟势满足Lorentz条件

利用电荷守恒定律，我们可以验证推迟势满足Lorentz规范条件。已知电磁场的势为式中则有其中则而

所以这里对r的函数而言，有。又因为即于是0另外：由此得到：要使上式保持成立（恒等），只有即得和的解满足Lorentz条件。§5.3电偶极辐射ElectricDipoleRadiation电磁波是以交变运动的电荷系统辐射出来的，在宏观情形电磁波由载有交变电流的天线辐射出来；在微观情形，变速运动的带电粒子导致电磁波的辐射。本节研究宏观电荷系统在其线度远小于波长情形下的辐射问题。1、计算辐射场的一般公式

当电流分布给定时，计算辐射场的基础是的推迟势：若电流是一定频率ω的交变电流，有因此式中为波数如果令式中因子eikr是推迟作用因子，它表示电磁波传到场点时有相位滞后kr。根据Lorentz条件，可求出标势：由此可见，由矢势的公式完全确定了电磁场。另外，根据电荷守恒定律且有，只要给定电流，则电荷分布ρ也自然确定了。从而标势也就随之而确定了，因而在这种情况下，有在电荷分布区域外面，，所以故得2、矢势的展开式

对于矢势注意到其中三个线度问题：

第一，电荷分布区域的线度l，它决定积分区域内的大小；

第二，波长的线度；

第三，电荷到场点的距离r。而本节研究分布于一个小区域内的电流所产生的辐射。所谓小区域是指：对于r和λ的关系，可分为三种情况：

a)近区（似稳区）且有kr<<1，推迟因子eikr~1，因而场保持稳恒场的主要特点，即电场具有静电场的纵向形式，磁场也和稳恒场相似。b)感应区（过渡区），r~λ，但满足r>>l。这个区域是一个过渡区域。它介于似稳区和辐射区的过渡区域中。c)远区（辐射区）r>>λ，而且也保证r>>l。

在此区域中场强和均可略去的高次项，该区域内的场主要是横向电磁场。现在主要讨论电流分布于小区域而激发的远区场。oxyzPl选坐标原点在电流分布区域内，则与l同数量级，。由图可知：由二项式展开得到（略去等高次项）：由此得到根据小区域的意义，则因此，在计算辐射场时只须保留的最低次项。而所以分母中可以去掉项。但分子不能去掉项，这是因为这项贡献一个相因子：所以涉及的是小参数，相位差一般是不能忽略的，因此要保留，这样得到：把相因子对展开，得从而得到矢势的展开式为：展开式的各项对应于各级电磁多极辐射。3、偶极辐射

研究展开式的第一项：由于由于积分区域包含了全部电荷、电流存在的空间，因而在包围该区域的边界面上不可能有电流出去，即S面，从而有故得现在讨论计算辐射场的技巧问题：在计算辐射场时，需要对作用算符由于讨论远区场时，只保留的最低次项，因而算符不需作用到分母上，而仅需作用到相因子上即可达到要求，作用结果相当于代换：由此得到，辐射场为

如果取球坐标，原点在电荷电流分布区域内，并以方向为极轴，则由上式得到：沿纬线上振荡，沿经线上振荡。z故得到：该式表明：磁力线是围绕极轴的园周，总是横向的；电力线是经面上的闭合曲线，由于在空间中，线必须闭合。因此不可能完全横向，只有当略去的高次项后，才能近似地为横向。由此得到一个结论：电偶极辐射是空间中的横磁波（TMW）。4、辐射性能的几个重要参数

衡量一个带电系统辐射性能的几个重要参数，是它的辐射功率和辐射角分布，这些问题都可以通过能流密度求得答案。a)辐射场的能流密度在波动区域中，电磁场能流密度的平均值为

b)辐射场的角分布所谓辐射场的角分布，就是讨论辐射的方向性，在平均能流密度中，因子表示电偶极辐射的角分布。辐射角分布(Angulardistributionofradiation)定义为：在方向单位立体角内平均辐射能流，即当R一定时，显然由此可见z这就是我们在日常生活中，经常通过拨动收音机或电视机天线的方位为获得最佳音响和清晰图象的缘故。

c)辐射功率单位时间内通过半径为R的球面向外辐射的平均能量，称为辐射功率（Radiationpower）。把对球面积分即得总辐射功率，即

如果偶极子作简谐振动，角频率为ω，且有则从而得到故若保持电偶极矩的振幅不变，则辐射功率正比于频率ω的四次方，即频率变化时，辐射功率迅速变化。5、综合叙述几个问题

a)电磁波的产生因为辐射功率与球面半径无关，辐射场是脱离电荷、电流而独立存在的电磁场，这种场总是

以球面波形式沿矢径方向向外传播，且传播的速度为，可见辐射场与电磁波的性质完全相同，可以断言：辐射场就是电磁波。b)电磁波与机械波的区别机械波必须依靠媒质来传递，它是能量在媒质中的传播。例如声波的传播是借助空气中的分子振动把能量传递出去。机械波不能在真空中传播。电磁波的传播是场本身的运动，它完全不需要依赖于媒质，电磁波能在真空中传播。并且其传播速度最快。

c)场与实物的比较从粒子物理观点出发，构成一切实物和场都是一些基本粒子。基本粒子有其不同的物理性质（质量，电荷等），而共性是波—粒二象性。电子是实物的组成因子，它具有粒子性和波动性（电子的衍射），场（电磁波）是在大量光子在空间按一定概率（几率）分布而形成的，光子具有粒子性和波动性，也就是说，光就是自由电磁波。我们看到实物是在场的帮助之下，设有光（场）的帮助，在茫茫的黑夜里我们将什么也看不见。

d)电动力学的局限性因为辐射功率与电子的加速度平方成正比，即，而，这说明：只要带电粒子作加速运动时就有电磁辐射。如果把这一结论搬到原子物理学上，就会出出荒唐的结果。根据半经典的原子结构理论，原子中有一个带正电的原子核，核外有带负电的电子以一定的轨道围绕着核作园周运动，电子能量越大，轨道半径也越小，依照经典力学，维持一个粒子作园周运动必有一个向心力，因而必有一个向心加速度。有加速度，必有辐射。辐射意味着电子能量损失，轨道半径将随之减小，最后电子必然要落到原子核上。这一困境的出现暴露了经典电动力学的局限性。其实，关键在于我们把自由电磁场看成一种连续的波，它可以连续地放出。如果引入光子的概念，并考虑泡利不相容原理，就会看到：有加速度未必一定有辐射，电子也不会落到原子核上。关于这一点，已超出了经典电动力学的范围，我们将不去研究它。§5.4磁偶极辐射和电四极辐射RadiationofMagneticDipoleandElectricQuadrupole

本节研究矢势的展开式的第二项，讨论磁偶极矩和电四极矩产生的辐射。1、矢势的展开式第二项的物理内容

已知矢势的展开式为：该式的第一项，属于电偶极辐射，那么第二项到底属于什么的辐射呢？为了弄清这个问题，我们把被积函数写为：标量数而是一个张量，我们把它分解为对称部分和反对称部分：因而的展开式的第二项为：先看第二项：由于因此第二项积分部分为：可见第二项导致的辐射是磁偶极辐射。再看第一项：把它看成对所有带电粒子求和，则得因为，所以上式可写为：式中是点电荷系的电四极矩。由此可见第一项导致的辐射是电四极矩的辐射。至此，的展开式第二项的物理内容为：即磁偶极辐射和电四极辐射是在的展开式中同一级项中出现。2、磁偶极辐射

为了清楚起见，先计算磁偶极辐射项：在辐射区域中，由此可见辐射区的电磁场为：而又因为还有从而得到而01讨论：将电偶极辐射场和磁偶极辐射场比较，即通过以上比较，有由此可见，磁偶极辐射的能流密度为：而故得其中：为磁矩的振幅，为极角（以方向为极轴），其辐射图形如电偶极辐射相同。磁偶极辐射的总辐射功率：3、电四极辐射

这里由的展开式第二项计算电四极辐射项：为方便计，定义一个矢量：则矢势为：辐射区域的电磁场为相应地辐射平均能流密度为：4、举例讨论

例1：一电流线圈半径为a，激发电流振幅为I0,角频率为ω，求辐射功率。Solution:电流线圈的磁矩为，即然而根据磁偶极辐射的辐射功率得到因为因此得到例2：求如图所示的电四极子以频率ω振幅时的辐射功率和角分布。Solution:该体系的电四极矩张量为：+Q-2Q+Qoll由此可见，辐射角分布由因子确定，如图所示。辐射功率为：因为故§5.6电磁波的干涉和衍射InterferenceandDiffractionPhenomenonofElectromagneticWave本节所要研讨的是如下两个问题：第一、由Maxwell’sequations的线性条件知道，电磁场服从叠加原理，这就是说，当空间有两列以上电磁波同时存在时，空间各点的总场强等于这些电磁波的场强矢量和。讨论叠加现象属于电磁波的干涉(Interference)问题；第二、电磁波在传播过程中，会绕过障碍物而继续传播，这种现象属于电磁波的衍射(diffraction)问题。1、电磁波的干涉现象(Interferencephenomenonofelectromagneticwave)

设空间有两列电磁波，它们具有相同的振幅和相同的频率，分另由S1、S2、两点同时发出，则在t时刻它们在p点的电场强度分别为：S1S2r1r2pp点的总场强为：根据三角函数关系式，即得令，称为光程差，故得讨论：

a)合成振幅与光程差有关，当时，振幅最大为，即

时，振幅最小为0，这说明：叠加的结果电场强度的振幅在空间一些地方加强了，另一些地方减弱了这种现象叫做干涉(Interfereuce)。b)当光程差为半光波长的偶数倍时，合成波振幅最大；当光程差为半波长的奇数倍时，合成波振幅为0。这可以解释物理光学中的干涉现象，也足以说明电磁波包含了一定频段范围的光波。2、电磁波的干涉条件

是否任何两个电磁波都能产生干涉呢？答案是否定的。要产生干涉，必须满足一定的条件。

a)如果两个波振幅互相垂直，即一个沿x方向传播，另一个沿y方向传播，合成波为这两个电场强度矢量互相独立，彼此没有影响，因而不可能产生干涉现象。因此得到：

两列电磁波产生干涉的第一个条件是：它们的电场强度和磁场强度都必须分别具有相同的振动方向。b)如果注意到：测量总是在一定时间间隔内进行的，因而测量到的任何一个物理量都不是瞬时值，而是在某一段时间内的平均值，如果两个电磁波频率不同，这两个波在p点将不具有固定的位相差。代替的将是这种随时间变化的位相差将使空间各点合成波的振幅随时间变化迅速。频率相差愈大，这种变化愈快。其结果使各点合成场强平均值差别大大减小，以至消灭。因此无法观察到干涉现象，故有：

两列电磁波产生干涉的第二个条件是：它们的频率必须相同。

c)理想的单色波是不存在的，任何有实际意义的波总是一个有限的波列。如果两列波的光程差太大，那么就有可能在某些地方一个波列已经通过，而另一个波列尚未通过（到达）。这样，两列波自然也不可能产生干涉现象。因此得到：

两列电磁波产生干涉的第三个条件是：两列波的光程差不能太大。d)如果两列电磁波的振幅悬殊较大，在叠加过程中小的一列波所起的作用将微小到能不起作用的地步，当然也不能显示出干涉现象。因此得到：

两列电磁波产生干涉的第四个条件是：两列波的振幅不能悬殊太大。

上述四个干涉条件，在物理光学中叫做相干条件（Conditionofcoherence)。3、电磁波的衍射

当电磁波在传播过程中遇到障碍物或者透过屏幕上的小孔时，会导致偏离原来入射方向的出射电磁波，这种现象称为衍射现象（diffraction

phenomenon）。衍射现象的研究对于光学和无线电波的传播都是很重要的。电磁波的衍射问题，是本节要讨论的第二个问题。即要讨论在一个封闭面上电磁波的分布给定后，计算曲面所包围的体积内各点场的分布，或计算通过障碍物或小孔后的电磁波角分布，即求出衍射图样。

a)亥姆霍兹方程(Helmholtz’sequation)

在无源空间中，电磁场满足的方程为这是电磁场的运动方程，它们的每一个分量都满足波动方程。电磁场由两个互相耦合的矢量场构成，用严格的矢量场理论来讨论衍射问题较为复杂。一般是采用把电磁场的每一直角分量看作标量场，用样量场的衍射理论来求解。这时用一个标量函数代表的任一分量，就有方程为只讨论单色平面波时，有将此代入波动方程中去，即得其中，该式是亥姆霍兹方程，是讨论衍射问题的一个重要方程。b)格林函数（Green’sfunction)和静电场情形一样，设是亥姆霍兹方程相应的格林函数：式中由于而又因为且由此得到：注意：亥姆霍兹方程是无源空间的波动方程，而格林函数所满足的方程是单位源集中在点波动方程。因此两者相同的是：它们都是波动方程；不同的是：一是无源方程，一是点源方程。c)格林公式(Green’sformuls)把G和代入到格林公式中，并以带撇号表示积分变量，则有其中是从区域V内指向外部的面元，如果设是指向区域V内的法线，则上式成为：这就是格林公式。

d)基尔霍夫公式(Kirchhoff’sformuls)把格林公式中的函数，看作是我们要寻找的、描述电磁场的、满足亥姆霍兹方程的标量函数，把G看成是已知的，是满足的格林函数。因为将此代入格林公式中，得展开后，等式左边为所以这就是基尔霍夫公式。讨论：①公式把区域V内任一点处的场用V的边界面S上的和表示出来，是惠更斯原理的数学表示。

②公式中的因子表示曲面S上的点向V内点传播的波。波源的强度由点上的和值确定。因此，曲面上每一点可以看作次级光源发射的z波的叠加。

③

公式不是边值问题的解，它仅是把用边值表示出的积分表达式。

e)矩形孔的夫琅和费衍射夫琅和费衍射(Fraunhofer’sdiffraction)指的是：一平行光线入射到矩形孔上，发生衍射，根据实际情况，设矩形孔的边长为2a和2b，除矩形孔外，其它部分不透光。or观察点因此，基尔霍夫公式中对闭合面的积分，只对矩形孔积分：假设在孔面上，入射波是平面波，波矢量为，即其中：为原点处的值。由于和的方向不同，但由于衍射不改变波的频率和波长，可见k1和k2的大小却应该相等，即k1=k2=k，因此有展开得到：这里是由孔面指向观察点的，是由积分面指向观察点的。把z轴与孔垂直，这时且有略去高次项，得由于所以得到：而且，光强I和振幅的模平方成正比，即由此可知。如果用、、表示与x、y、z轴的头角，即当光垂直入射到矩形孔面时，有故这表明：光强I=0的位置，即暗条纹的位置，由（n,m=1,2,3,···）确定的方向上，由于在矩形孔的一边很长时，如当第一条暗纹的方向，沿y方向不出现衍射花样，这时这就是单缝衍射。§5.7电磁场的动量MomentumofElectromagneticField电磁场和带电体之间有相互作用力。场对带电粒子施以作用力，粒子受力后，它的动量发生变化，同时电磁场本身的状态亦发生相应的改变。因此，电磁场也和其他物体一样具有动量。辐射压力是电磁场具有动量的实验证据。本节从电磁场与带电物质的相互作用规律出发导出电磁场动量密度表达式。1、电磁场的动量密度和动量流密度

考虑空间某一区域，某内有一定电荷分布，区域内的场和电荷之间由于相互作用而发生动量转移。另一方面，区域内的场和区域外的场也通过界面发生动量转移，由于动量守恒，单位时间从区域外通过界面S传入区域内（V）的动量应等于V内电荷的动量变化率加上V内电磁场的动量变化率。故由Maxwell’sequations和Lorentz力公式可导出电磁场和电荷体系的动量守恒定律。场对带电体的作用为Lorentzforce，在Lorentzforce作用下带电体的机械动量变化为下面利用真空中的场方程把等式中的电荷和电流消去，把Lorentzforcedensity改写为：考虑对称性，因为

将此构成一个恒等式：把此式与的表达式相加，则有其中因为：式中是单位张量，即（直角坐标），与方向一致。同理得到：而且这样一来，则有或者化为其中至此，可以把机械动量的变化率写成讨论：

a)若积分区域V为全空间，则面积分项为零，而根据动量守恒定律，带电体的机械动量的增加等于电磁场的动量的减少，因此称为电磁动量，而把称为电磁场动量密度(electromagneticfieldmomentumdensity)，从而得到或者即这说明，若把带电体和电磁场看作一个封闭的力学体系，则体系的机械动量和电磁动量之和是守恒的。注意：对于平面电磁波，有这里的是电磁波的传播方向单位矢量，根据电磁动量密度公式即可得到一定频率的电磁波的平均动量密度这里的w是电磁场能量密度即这个关系式在量子化后的电磁场也是成立的，量子化后的电磁场由光子组成，每个光子的能量为，其中，h是普朗克常数，ω是频率。从而可以看出：每个光子所带的动量

b)若积分区域V为有限空间，则面积分项不为零，即

机械动量动量流电磁动量因为等式左边项表示机械动量，右边第二项代表了电磁动量，因此右边第一项也必然具有动量的意义，而它是面积分，所以把它解释为穿过区域V的边界面S流入体内的动量流。故称为电磁场动量流密度(electromagneticfieldmomentumflowdensity)。下面再看动量流密度的物理意义：因为此式左边第一项代表带电体与电磁场的作用力，右边的项代表体积V内的电磁场动量的时间变化率。如果把该式看成是场的运动方