山东省烟台市莱阳第二中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析

山东省烟台市莱阳第二中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设a＞0，b＞0

()A．若，则a＞b；B．，则a＜b；C．若，则a＞b；D．若，则a＜b；参考答案：2.已知A，B，C，D是球O的球面上四个不同的点，若，且平面DBC⊥平面ABC，则球O的表面积为（

）A. B. C.6π D.5π参考答案：A【分析】由题意画出图形，求出多面体外接球的半径，代入表面积公式得答案．【详解】如图，取BC中点G，连接AG，DG，则，，分别取与的外心E，F，分别过E，F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于O，则O为四面体的球心，由，得正方形OEGF的边长为，则，四面体的外接球的半径，球O的表面积为．故选：A．3.已知函数，则下列说法中，正确的是（

）A.f(x)的最小值为－1B.f(x)的图像关于点对称C.f(x)在区间上单调递增D.将f(x)的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，得到参考答案：C【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过三角函数的最值判断的正误；三角函数的对称性判断的正误；三角函数图象变换判断的正误，推出结果即可．【详解】解：由已知得：，最小值是，故选项错误；，，解得，对称中心为，所以选项错误；将的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，，故选项错误；利用排除法，正确答案．故选：．【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，三角函数的化简以及最值的判断单调性以及对称性的判断，是中档题．4.已知集合A.{l} B.{l，2} C.{0,1,2,3} D.{－1,0,1,2,3}参考答案：B【分析】先求集合B，再求两个集合交集.【详解】因为，所以，因为，所以,所以,故选B.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，侧重考查数学运算的核心素养.5.已知函数f（x）=，若f（﹣a）+f（a）≤2f（1），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） B．[﹣1，0] C．[0，1] D．[﹣1，1]参考答案：D【考点】5B：分段函数的应用．【分析】判断f（x）为偶函数，运用导数判断f（x）在[0，+∞）的单调性，则f（﹣a）+f（a）≤2f（1）转化为|a|≤1，解不等式即可得到a的范围．【解答】解：函数f（x）=，将x换为﹣x，函数值不变，即有f（x）图象关于y轴对称，即f（x）为偶函数，有f（﹣x）=f（x），当x≥0时，f（x）=xln（1+x）+x2的导数为f′（x）=ln（1+x）++2x≥0，则f（x）在[0，+∞）递增，f（﹣a）+f（a）≤2f（1），即为2f（a）≤2f（1），可得f（|a|））≤f（1），可得|a|≤1，解得﹣1≤a≤1．故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的应用：解不等式，注意运用导数判断单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．6.已知是的零点，且，则实数、、、的大小关系是A．

B．

C．

D．参考答案：答案：A7.已知函数，则f（x）的值域是（）A．[﹣1，1] B． C． D．参考答案：D【考点】正弦函数的定义域和值域．【分析】去绝对值号，将函数变为分段函数，分段求值域，在化为分段函数时应求出每一段的定义域，由三角函数的性质求之．【解答】解：由题=，当时，f（x）∈[﹣1，]当时，f（x）∈（﹣1，）故可求得其值域为．故选：D．8.已知一长方体的体对角线的长为l0，这条对角线在长方体一个面上的正投影长为8，则这个长方体体积的最大值为（）A．64 B．128 C．192 D．384参考答案：C【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】以投影面为底面，得正方体的高为6，设长方体底面边长分别为a，b，则a2+b2=64，由此能求出这个长方体体积的最大值．【解答】解：以投影面为底面，得到正方体的高为=6，设长方体底面边长分别为a，b，则a2+b2=64，∴这个长方体体积V=6ab≤3（a2+b2）=192．∴这个长方体体积的最大值为192．故选：C．【点评】本题考查长方体的体积的最大值的求法，考查基本不等式、长方体性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．9.已知曲线y=x2-1在x=xo点处的切线与曲线y=l-x3在x=xo点处的切线互相平行，则xo的值为（

）。A．0

B．0或

C．

D．0或参考答案：答案：B10.已知a＞b＞0，则下列不等关系式中正确的是(

)A．sina＞sinb B．log2a＜log2b C．a＜b D．（）a＜（）b参考答案：D【考点】不等关系与不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由函数的单调性，逐个选项验证可得．【解答】解：选项A错误，比如取a=π，b=，显然满足a＞b＞0，但不满足sina＞sinb；选项B错误，由函数y=log2x在（0，+∞）上单调递增可得log2a＞log2b；选项C错误，由函数y==在[0，+∞）上单调递增可得＞；选项D正确，由函数y=在R上单调递减可得（）a＜（）b；故选：D．【点评】本题考查不等关系与不等式，涉及常用函数的单调性，属基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为

。参考答案：略12.已知函数，则

▲

．参考答案：略13.已知集合A=且，则实数的取值范围是

．参考答案：14.已知满足约束条件，为坐标原点，，则的最大值是

________.

参考答案：答案：

15.不等式≥1的解集为M，若﹣2?M，则实数a的取值范围为

．参考答案：（﹣∞，﹣3）∪[2，+∞）．16.设函数，则的值为________.参考答案：【分析】利用函数的性质得f（5）＝f（2）＝f（﹣1），由此能求出f（5）的值．【详解】∵函数，∴f（5）＝f（2）＝f（﹣1）＝（﹣1）2﹣2﹣1．故答案为：．17.设为椭圆上一动点，为圆的任意一条直径，则的最大值是___________.参考答案：8三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（，θ为参数）若以坐标系原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（ρ∈R）．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）将曲线C2向下平移m（m＞0）个单位后得到的曲线恰与曲线C1有两个公共点，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）将曲线C2向下平移m（m＞0）个单位后得到的曲线对应方程为y=x﹣m，利用特殊位置求出m的值，即可求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C1的参数方程为（，θ为参数），消去参数得到曲线C1的普通方程：（x﹣2）2+y2=4（2≤x≤4，﹣2≤y≤2），…（3分）曲线C2的极坐标方程为（ρ∈R），直角坐标方程为C2：y=x．…（Ⅱ）将曲线C2向下平移m（m＞0）个单位后得到的曲线对应方程为y=x﹣m，则当直线与圆相切时：，即，…（8分）又直线恰过点（2，﹣2）时，m=4，可得：…（10分）【点评】本题考查三种方程的转化，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．19.等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和．

参考答案：略20.设函数

(1)当时，求函数的最大值；(2)令（）其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围；(3)当，，方程有唯一实数解，求正数的值．参考答案：略21.已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，，，分别是，的中点．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）证明：平面；（Ⅲ）求二面角的余弦值．参考答案：(1)证明（2）取中点,证明平面‖(3)二面角的余弦值为略22.本小题满分12分）一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高。现对10名成年人的脚掌长与身高进行测量，得到数据（单位均为）作为样本如下表所示.

（1）在上表数据中，以“脚掌长”为横坐标，“身高”为纵坐标，作出散点图后，发现散点在一条直线附近，试求“身高”与“脚掌长”之间的线性回归方程；（2）若某人的脚掌长为，试估计此人的身高；（3）在样本中，从身高180cm以上的4人中随机抽取2人作进一步的分析，求所抽取的2人中至少有1人身高在190cm以上的概率．(参考数据：，，，)参考答案：解：(1)记样本中10人的“脚掌长”为，“身高”为，则，∵，，∴

，

∴（2）