汕头市2023年一模文科数学试题(含答案)

绝密★启用前试卷类型：A2023年汕头市普通高考第一次模拟考试文科数学本试题卷共5页，24题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，，则=A． B．C．D．2．若实数满足（为虚数单位），则A．B．C．D．3．已知等差数列的前项和为，且，则=A．2B．C．D．4．小明与爸爸放假在家做蛋糕，小明做了一个底面半径为10cm的等边圆锥（轴截面为等边三角形）状蛋糕，现要把1g芝麻均匀地全撒在蛋糕表面，已知1g芝麻约有300粒，则贴在蛋糕侧面上的芝麻约有A．100B．200C．114D．2145．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图1，描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油（图2）（图2）（图1）（图1）6．执行如图2所示的程序框图，输出的结果是A．56B．54C．36D．647．平行四边形中，，，，，则的值为A．10B．12C.14D．168．函数的导数为，若方程的根小于1，则实数的取值范围为A．B．C．D．9．函数的图象与轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数的图象，只需将的图象A．向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度10．若平面区域夹在两条平行直线之间，则这两条平行直线间的最短距离为A．B．C.D．11．已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于、两点，过、分别作、的垂线，两垂线交于点，若到直线的距离小于，则双曲线的渐近线斜率的取值范围是A．B．C．D．12．已知一个四棱锥的正（主）视图和俯视图如图3所示，其中，则该四棱锥的高的最大值为A．B．C．4D．2（图3）（图3）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22~23题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本题共4小题，每小题5分。13．设函数，已知，则__________．14．已知椭圆的左焦点是，分别是椭圆上顶点和右顶点，为直角三角形，则椭圆的离心率为__________．15．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，若三棱锥体积的最大值为2，则球的表面积为__________．16．设数列的前项和为，已知，，则=__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，且满足．（1）求角的大小；（2）已知，的面积为，求边．18.（本小题满分12分）如图4，在四棱锥中，，，，．（1）求证：；（2）当几何体的体积等于时，求四棱锥的侧面积．（图4）（图4）19.（本小题满分12分）某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸x（mm）之间近似满足关系式（b、c为大于0的常数）．按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：尺寸x（mm）384858687888质量y(g)16.818.820.722.42425.5质量与尺寸的比0.4420.3920.3570.3290.3080.290（1）现从抽取的6件合格产品中再任选2件，求恰有一件优等品的概率；（2）根据测得数据作出如下处理：令，得相关统计量的值如下表：75.324.618.3101.4（ⅰ）根据所给统计量，求y关于x的回归方程；（ⅱ）已知优等品的收益（单位：千元）与的关系为，当优等品的质量与尺寸之比为时，求其收益的预报值．（精确到0.1）附：对于样本，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，.20．（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，是上关于焦点对称的两点，在点、点处的切线相交于点．（1）求的方程；（2）直线交于两点，且的面积为，求的方程．21.（本小题满分12分）已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围．请考生在第22，23题中任选一题作答．作答时一定要用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑(都没涂黑的视为选做第22题)。22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的极坐标方程；（2）射线与曲线，分别交于，两点（异于原点），定点，求的面积．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）若，求不等式的解集；（2）关于的不等式有解，求实数的取值范围．2023年汕头市普通高考第一次模拟考试文科数学参考答案及评分标准第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号123456789101112答案ABCBDBDADCBA说明：第15题的答案，也可以是；第16题的答案，也可以是或写为。第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22~23题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本题共4小题，每小题5分。题号13141516答案三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分12分）（1）解：∴由正弦定理得：---2分-------3分-----4分又.........................5分∴--------6分解：，即：--------8分又由余弦定理得：--11分故：-------12分【方法2】，即：..............①--------8分又.............②由①②解得：..................9分由余弦定理得：--11分故：---------12分18．（本小题满分12分）（1）解：（解法一）连结，取的中点，连结，则直角梯形中，，即：--------------------------2分平面，平面--------------------------4分又-----------------------5分由得：----------------------6分给分标准：证明或任意一个垂直给2分（解法二），，且-------------------2分，---------------------4分----------------------6分给分标准：用文字说明用勾股定理证明垂直且没有详细证明过程最多给4分；有证明中任意两个三角形为直角三角形给2分（2）解：----------------------------8分，，又----------------------------10分四棱锥的侧面积为---------12分19．（本小题满分12分）（1）解：由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间内，即则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，3件为非优等品------1分现从任选2件，共有、、、、、、、、、、、、、、15种方法-----2分设任选2件恰有一件优等品为事件，则事件包含、、、、、、、、共9种方法------------------------3分由古典概型有，故所求概率为----------------------------4分（2）解：对（）两边取自然对数得(5分)由，得，且----------------------------6分（ⅰ）根据所给统计量及最小二乘估计公式有----------------------------7分，得，故--------------------------8分所求y关于x的回归方程为----------------------------9分（ⅱ）由（ⅰ）可知，，则----------------------------10分当，即时---------------------------11分得收益的预报值（千元）．----------------------------12分20．（本小题满分12分）（1）解：依题意，由抛物线的对称性可知：，，---------------1分由得：，故在点、点处的切线的斜率分别为和----------------------------2分则在处的切线方程为，即----------------------------3分代入，得，故----------------------------4分所以抛物线的方程为----------------------------5分（2）解：直线的斜率显然存在，设直线，、由得：----------------------------7分由，----------------------------8分直线方程为：，所以直线恒过定点----------------------------9分，即，即----------------------------11分所以直线方程为：----------------------------12分21．（本小题满分12分）（1）解：函数的定义域为----------------------------1分又------------------2分当时，在上，，是减函数-------------------------3分当时，由得：或（舍）所以：在上，，是减函数在上，，是增函数----------------------------5分（2）解：对任意，都有成立，即：在上-----------------6分由（1）知：当时，在上是减函数，又，不合题意----------------------------7分当时，当时，取得极小值也是最小值，所以：----------------------------8分令（）所以：在上，，是增函数----------------------------10分又----------------------------11分所以：要使得，即，即，故：的取值范围为----------------------------12分解法2:，……6分对于任意，都有成立，即……7分…………8分，，则，，……9分又，……10分，……11分，……12分22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程（1）解：曲线的直角坐标方程为：----------------------------------------2分(有转化正确，但最终写错，可给1分)由，得：曲线的极坐标方程为．-------------------------------4分（没有给出转化公式扣1分，没有给出转化公式但有在做题中体现转化过程，可不扣分）法一：解：点到射线的距离为-----------------------------------------6分----------------------9分（两个极径每求一个可得1分，两个2分，算对极径差值得1分）则-------------------------------10分（如，则距离d这步得分可算在这里.）法二：（2）解：将曲线的极坐标方程为由，得：由得由得-------------------------------6分(每求对一个交点坐标得1分，两个都对得2分)-------------------------------7分点M到直线-------------------------------8分-------------------------------10分23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（1）解：当a=1时，原不等式