数电课件第一章(新)

概述第1章数字电路基础逻辑代数中的三种基本运算本章小结逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本定理逻辑函数及其表示方法逻辑函数的公式化简法具有无关项的逻辑函数及其化简逻辑函数的卡诺图化简法主要要求：

了解数字电路的特点和分类。了解脉冲波形的主要参数。1.1.1概述模拟电路电子电路分类数字电路

传递、处理模拟信号的电子电路

传递、处理数字信号的电子电路数字信号时间上和幅度上都断续变化的信号

模拟信号时间上和幅度上都连续变化的信号数字电路中典型信号波形一、数字电路与数字信号

此处应多讲点模拟量数字量的相互转换模拟量到数字量:

A/D转换数字量到模拟量:

D/A转换二、模拟电路和数字电路的应用范畴模拟电路:放大小信号和大信号

分立元件放大和集成运放放大电源、硬件滤波、模拟信号产生等数字电路:控制、记忆、计数、运算、显示等输出信号与输入信号之间的对应逻辑关系逻辑代数只有高电平和低电平两个取值导通(开)、截止(关)便于高度集成化、工作可靠性高、抗干扰能力强和保密性好等研究对象分析工具信号电子器件工作状态主要优点三、数字电路特点

将晶体管、电阻、电容等元器件用导线在线路板上连接起来的电路。将上述元器件和导线通过半导体制造工艺做在一块硅片上而成为一个不可分割的整体电路。根据电路结构不同分分立元件电路集成电路根据半导体的导电类型不同分双极型数字集成电路单极型数字集成电路以双极型晶体管作为基本器件以单极型晶体管作为基本器件例如

CMOS例如

TTL、ECL四、数字电路的分类集成电路分类集成度电路规模与范围小规模集成电路

SSI1~10门/片或10~100个元件/片逻辑单元电路包括：逻辑门电路、集成触发器中规模集成电路

MSI10~100门/片或

100~1000个元件/片逻辑部件包括：计数器、译码器、编码器、数据选择器、寄存器、算术运算器、比较器、转换电路等大规模集成电路

LSI100

~

1000

门/片或

1000

~100000

个元件/片数字逻辑系统包括：中央控制器、存储器、各种接口电路等超大规模集成电路

VLSI大于

1000门/片或大于

10万个元件/片高集成度的数字逻辑系统

例如：各种型号的单片机，即在一片硅片上集成一个完整的微型计算机根据集成密度不同分UmtrtfTtw

脉冲幅度Um：脉冲上升时间tr：脉冲下降时间tf：脉冲宽度tw

：脉冲周期T

：脉冲频率f

：占空比q

：脉冲电压变化的最大值

脉冲波形从

0.1Um上升到

0.9Um所需的时间脉冲上升沿

0.5Um到下降沿

0.5Um所需的时间脉冲波形从

0.9Um下降到

0.1Um所需的时间周期脉冲中相邻两个波形重复出现所需的时间1秒内脉冲出现的次数f=1/T

脉冲宽度

tw与脉冲周期

T的比值

q=tw/T

五、脉冲波形的主要参数

理解

BCD码的含义，掌握

8421BCD码，了解其他常用

BCD码。主要要求：

掌握十进制数和二进制数的表示及其相互转换。了解八进制和十六进制。1.1.2

数制和码制

(一)

十进制(Decimal)

(xxx)10或

(xxx)D

例如(3176.54)10

或(3176.54)D

数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、91×1011×100

5×10-1

1×10-2权权权

权

数码所处位置不同时，所代表的数值不同

(11.51)10

进位规律：逢十进一，借一当十10i

称十进制的权

10称为基数0~9

十个数码称系数数码与权的乘积，称为加权系数十进制数可表示为各位加权系数之和，称为按权展开式

(3176.54)10=3×103+1×102+7×101+6×100+5×10-1+4×10-2一、数制

计数的方法

(用来表示数的大小)例如0+1=11+1=1011+1=10010–1=1

(二)

二进制(Binary)

(xxx)2或

(xxx)B

例如(1011.11)2或(1011.11)B

数码：0、1

进位规律：逢二进一，借一当二

权：2i

基数：2

系数：0、1

按权展开式表示

(1011.11)2=1×23+0×22+1×21+1×20+1×2-1+1×2-2

将按权展开式按照十进制规律相加，即得对应十进制数。=8+0+2+1+0.5+0.25(1011.11)2=(11.75)10

=11.75(1011.11)2=1×23+0×22+1×21+1×20+1×2-1+1×2-2

(三)

八进制和十六进制

进制数的表示计数规律基数

权数码八进制

(Octal)

(xxx)8

或(xxx)O逢八进一，借一当八

8

0~7

8i

十六进制(Hexadecimal)

(xxx)16

或(xxx)H

逢十六进一，借一当十六160

~

9、A、B、C、D、E、F

16i例如

(437.25)8=4×82+3×81+7×80+2×8-1+5×8-2=256+24+7+0.25+0.078125=(287.328125)10

例如(3BE.C4)16=3×162+11×161+14×160+12×16-1+4×16-2=768+176+14+0.75+0.015625=(958.765625)10

二、不同数制间的关系与转换

对同一个数的不同计数方法

(一)

不同数制间的关系

二、不同数制间的关系与转换

不同数制之间有关系吗？十进制、二进制、八进制、十六进制对照表77011176601106550101544010043300113220010211000110000000十六八二十F17111115E16111014D15110113C14110012B13101111A121010109111001981010008十六八二十1.500

1整数0.750

0

(二)

不同数制间的转换

1.各种数制转换成十进制2.十进制转换为二进制［例］将十进制数

(26.375)10转换成二进制数

26

6

1

3

01

10

12(26)10=(11010)2

×2

×21.000

1.37522220.375

×2一直除到商为

0为止

余数13

0按权展开求和整数和小数分别转换整数部分：除

2取余法

小数部分：乘

2取整法读数顺序读数顺序

.011每位八进制数用三位二进制数代替，再按原顺序排列。八进制→二进制3.二进制与八进制间的相互转换二进制→八进制(11100101.11101011)2=(345.726)8

(745.361)8=(111100101.011110001)2

补0(11100101.11101011)2=(?)8

11100101.11101011

00

345726从小数点开始，整数部分向左

(小数部分向右)

三位一组，最后不足三位的加0补足三位，再按顺序写出各组对应的八进制数。补01110010111101011一位十六进制数对应四位二进制数，因此二进制数四位为一组。4.

二进制和十六进制间的相互转换

(10011111011.111011)2=(4FB.EC)16

(3BE5.97D)16=(11101111100101.100101111101)2

补0(10011111011.111011)2=(?)16

10011111011.11101100

4FBEC0

十六进制→二进制:每位十六进制数用四位二进制数代替，再按原顺序排列。二进制→十六进制:从小数点开始，整数部分向左(小数部分向右)

四位一组，最后不足四位的加0补足四位，再按顺序写出各组对应的十六进制数。补010011111011111011例如：用四位二进制数码表示十进制数0~90000→00001→10010→20011→30100→40101→50110→60111→71000→81001→9将若干个二进制数码0和1按一定规则排列起来表示某种特定含义的代码称为二进制代码，简称二进制码。用数码的特定组合表示特定信息的过程称编码

三、二进制代码（即可表示数值信息，也可表示文字和符号信息）

常用二进制代码自然二进制码二-

十进制码格雷码奇偶检验码

ASCII码

(美国信息交换标准代码)

例如：用三位自然二进制码表示十进制数0~7：

000→0001→1010→2011→3100→4101→5110→6111→7

(一)

自然二进制码

按自然数顺序排列的二进制码

(二)

二-十进制代码

表示十进制数

0~

9十个数码的二进制代码(又称BCD码

即

BinaryCodedDecimal)

1位十进制数需用4位二进制数表示，故BCD码为4位。

4位二进制码有16种组合，表示0~

9十个数可有多种方案，所以BCD码有多种。常用二-

十进制代码表1111111111001110111010111101011110101100011010011011010110000100010001000011001100110010001000100001000100010000000000009876543210

十进制数1100101110101001100001110110010101000011余3码2421(B)2421(A)5421码8421

码无权码

有权码1001100001110110010101000011001000010000权为

8、4、2、1比8421BCD码多余3取四位自然二进制数的前10种组合，去掉后6种组合1010~1111。用BCD码表示十进制数举例：

(36)10

=()8421BCD

(4.79)10=()8421BCD

(01010000)8421BCD=

()10注意区别BCD码与数制：

(150)10=(000101010000)8421BCD

=(10010110)2=(226)8=(96)16

60110

30011

4.0100.70111910010101500000

(三)

可靠性代码

奇偶校验码组成

信

息

码：需要传送的信息本身。

1位校验位：取值为0或1，以使整个代码

中“1”的个数为奇数或偶数。

使“1”的个数为奇数的称奇校验，为偶数的称偶校验。

8421奇偶校验码01001110019110000100081011100111700110101106001011010151010000100400011100113100100001021000100001100000100000校验码信息码校验码信息码8421偶校验码8421奇校验码十进制数格雷码(Gray码，又称循环码)

0110最低位以

0110为循环节次低位以

00111100为循环节第三位以

0000111111110000为循环节…….011001100110001111000011110000001111111100000000000011111111特点:相邻项或对称项只有一位不同典型格雷码构成规则：ASCII码（美国标准信息交换码）通常，人们可通过键盘上的字母、符号和数值向计算机发送数据和指令，每一个键符可用一个二进制码表示，ASCII就是其中的一种。它是用7位二进制码表示的，可以表示128个符号，任何符号和控制功能都由高3位b6b5b4和低4位b3b2b1b0确定。例如对所有控制符有b6b5=00，而对其它符号有b6b5=01、10、11。比如字母ab6b5b4b3b2b1b0=1100001

字母Ab6b5b4b3b2b1b0=1000001用于描述客观事物逻辑关系的数学工具，又称布尔代数(BooleAlgebra)或开关代数。逻辑指事物因果关系的规律。

逻辑代数描述客观事物间的逻辑关系，相应的函数称逻辑函数，变量称逻辑变量。逻辑变量和逻辑函数的取值都只有两个，通常用1和0表示。与普通代数比较用字母表示变量，用代数式描述客观事物间的关系。

相似处相异处运算规律有很多不同。一、逻辑代数1.1.3算术运算和逻辑运算逻辑代数中的1和0不表示数量大小，

仅表示两种相反的状态。

注意例如：开关闭合为1晶体管导通为1电位高为1

断开为0截止为0低为0二、逻辑体制

正逻辑体制负逻辑体制规定高电平为逻辑1、低电平为逻辑0规定低电平为逻辑1、高电平为逻辑0通常未加说明，则为正逻辑体制三、真值表将逻辑变量所有可能取值的组合与其一一对应的逻辑函数之间的关系以表格的形式表示出来。基本逻辑函数

与逻辑或逻辑非逻辑与运算(逻辑乘)

或运算(逻辑加)

非运算(逻辑非)

1.与逻辑决定某一事件的所有条件都具备时，该事件才发生灭断断亮合合灭断合灭合断灯

Y开关

B开关

A开关

A、B都闭合时，灯

Y才亮。

规定:开关闭合为逻辑1断开为逻辑0灯亮为逻辑1灯灭为逻辑0

真值表111YAB000001010逻辑表达式Y=A·B

或Y=AB

与门

(ANDgate)若有0出0；若全1出1

1.2逻辑代数中的三种基本运算一、三种基本运算开关A或B闭合或两者都闭合时，灯Y才亮。2.

或逻辑

决定某一事件的诸条件中，只要有一个或一个以上具备时，该事件就发生。灭断断亮合合亮断合亮合断灯

Y开关

B开关

A若有1出1若全0出0

000111YA

B101110逻辑表达式Y=A+B

或门

(ORgate)

≥1

3.非逻辑决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生。开关闭合时灯灭，开关断开时灯亮。

AY0110Y=A

1

非门(NOTgate)

又称“反相器”

二、常用复合逻辑运算

由基本逻辑运算组合而成

与非逻辑(NAND)先与后非若有

0

出

1若全

1

出

0100011YA

B101110011或非逻辑(NOR)先或后非若有

1

出

0若全

0

出

1100YA

B001010与或非逻辑(AND–OR–INVERT)先与后或再非异或逻辑(Exclusive–OR)若相异出1若相同出0同或逻辑(Exclusive-NOR，即异或非)若相同出1若相异出0000011YAB101110100111YAB001010注意：异或和同或互为反函数，即[例]试对应输入信号波形分别画出下图各电路的输出波形。解：Y1有0出0全1出1

01100110

00110011Y2Y3相同出

0相异出

1三、逻辑符号对照

国家标准曾用标准美国标准一、基本公式

逻辑常量运算公式逻辑变量与常量的运算公式0

·

0

=

00

·

1

=

01

·

0

=

01

·

1

=

10

+

0

=

00

+

1

=

11

+

0

=

11

+

1

=

10–1律重迭律互补律还原律0+A=A1+A=11·A=A0·A=0A+A=AA·A=A

1.3逻辑代数的基本公式和常用公式二、基本定律

(一)

与普通代数相似的定律交换律A+B=B+AA·B=B·A结合律(A+B)+C=A+(B+C)(A·B)·C=A·(B·C)分配律A(B+C)=AB+AC

A+BC=(A+B)(A+C)

普通代数没有！利用真值表逻辑等式的证明方法

利用基本公式和基本定律

(二)

逻辑代数的特殊定理吸收律A+AB=A

A+AB=A(1+B)=A

0011111011011100A+BA·BA

B0011001000011100A·BA+BA

B

(二)

逻辑代数的特殊定理吸收律A+AB=A

推广公式：思考：(1)

若已知

A+B=A+C，则

B=C吗？

(2)

若已知

AB=AC，则B=C吗？

推广公式：摩根定律(又称反演律)1.4逻辑代数的基本定理

(一)

代入规则（也叫代入定理）A

A

A

A均用代替A均用代替B均用C代替利用代入规则能扩展基本定律的应用。

将逻辑等式两边的某一变量均用同一个逻辑函数替代，等式仍然成立。变换时注意：(1)

不能改变原来的运算顺序。(2)

反变量换成原变量只对单个变量有效，而长非

号保持不变。可见，求逻辑函数的反函数有两种方法：利用反演规则或摩根定律。原运算次序为

(二)

反演规则（也叫反演定理）对任一个逻辑函数式

Y，将“·”换成“+”，“+”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到原逻辑函数的反函数。

(三)

对偶规则对任一个逻辑函数式

Y，将“·”换成“+”，“+”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，则得到原逻辑函数式的对偶式

Y。

对偶规则：两个函数式相等，则它们的对偶式也相等。

应用对偶规则可将基本公式和定律扩展。变换时注意：(1)

变量不改变

(2)

不能改变原来的运算顺序A+AB=AA·(A+B)=A

1.5逻辑函数及其表示方法1.5.1逻辑函数

从前面已经讲到的各种逻辑关系中可以看到，当输入变量的取值确定之后，输出变量的取值也随之而定，因而输入与输出之间是一种函数关系，我们将这种函数关系称之为逻辑函数，写作

Y=F（A，B，C，……）建立一个逻辑函数的步骤：

1、确定逻辑变量、逻辑函数及其个数；

2、根据它们之间的因果关系，列出真值表；

3、根据真值表写出逻辑函数表达式。例1：举重裁判电路1.5.2逻辑函数的表示方法以及各表示方法之间的转换逻辑函数的表示方法真值表逻辑函数式逻辑图卡诺图1.

真值表列出输入变量的各种取值组合及其对应输出逻辑函数值的表格称真值表。列真值表方法(1)按

n位二进制数递增的方式列出输入变量的各种取值组合。(2)

分别求出各种组合对应的输出逻辑值填入表格。00000111011101111111011110110011110101011001000111100110101000101100010010000000YDCBA输出变量输入变量4个输入变量有

24

=16种取值组合。2.

逻辑函数式表示输出函数和输入变量逻辑关系的表达式。又称逻辑表达式，简称逻辑式。逻辑函数式一般根据真值表、卡诺图或逻辑图写出。

(1)找出函数值为

1的项。(2)将这些项中输入变量取值为

1的用原变量代替，取值为

0的用反变量代替，则得到一系列与项。(3)将这些与项相加即得逻辑式。真值表逻辑式例如

ABC1000111100110101000100100100YCBA011010001111

逻辑式为3.

逻辑图运算次序为先非后与再或，因此用三级电路实现之。由逻辑符号及相应连线构成的电路图。

根据逻辑式画逻辑图的方法:将各级逻辑运算用相应逻辑门去实现。例如画的逻辑图反变量用非门实现与项用与门实现相加项用或门实现[例1]图示为控制楼道照明的开关电路。两个单刀双掷开关

A和

B分别安装在楼上和楼下。上楼之前，在楼下开灯，上楼后关灯；反之，下楼之前，在楼上开灯，下楼后关灯。试画出控制功能与之相同的逻辑电路。(1)

分析逻辑问题，建立逻辑函数的真值表11YAB0000110110(2)

根据真值表写出逻辑式解：方法：找出输入变量和输出函数，对它们的取值作出逻辑规定，然后根据逻辑关系列出真值表。设开关A、B合向左侧时为0状态，合向右侧时为1状态；Y表示灯，灯亮时为1状态，灯灭时为0状态。则可列出真值表为主要要求：

了解逻辑函数式的常见形式及其相互转换。

了解逻辑函数的代数化简法。1.6逻辑函数的代数化简法

理解最简与-

或式和最简与非式的标准。

1.6.1逻辑函数的最简形式化简意义使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路，从而节省元器件、优化生产工艺、降低成本和提高系统可靠性。不同形式逻辑式有不同的最简式，一般先求取最简与-

或式，然后通过变换得到所需最简式。一、逻辑函数式化简的意义与标准

最简与-

或式标准(1)乘积项(即与项)的个数最少(2)每个乘积项中的变量数最少用与门个数最少与门的输入端数最少

最简与非式标准(1)非号个数最少(2)每个非号中的变量数最少用与非门个数最少与非门的输入端数最少

逻辑式有多种形式，采用何种形式视需要而定。各种形式间可以相互变换。二、逻辑函数式的几种常见形式和变换

例如与或表达式

或与表达式与非-

与非表达式或非-

或非表达式与或非表达式转换方法举例

与或式与非式

用还原律

用摩根定律

或与式或非式与或非式

用还原律

用摩根定律

用摩根定律

1.6.2常用的化简方法运用逻辑代数的基本定律和公式对逻辑式进行化简。并项法

运用，将两项合并为一项，并消去一个变量。吸收法

运用A+AB

=A和，消去多余的与项。消去法

运用吸收律

，消去多余因子。配项法通过乘或加入零项进行配项，然后再化简。此例也可用别的方法化简，例如用反演定理先把第二项拆开。综合灵活运用上述方法

[例]化简逻辑式解：

应用[例]化简逻辑式解：

应用应用AB用板书推导[例]化简逻辑式解：

应用用摩根定律直接用反演定理也可得到此结果主要要求：

掌握最小项的概念与编号方法，了解其主要性质。掌握用卡诺图表示和化简逻辑函数的方法。理解卡诺图的意义和构成原则。

掌握无关项的含义及其在卡诺图化简法中的应用。1.7逻辑函数的卡诺图化简法代数化简法

优点：对变量个数没有限制。缺点：需技巧，不易判断是否最简式。

卡诺图化简法优点：简单、直观，有一定的步骤和方法易判断结果是否最简。

缺点：适合变量个数较少的情况。一般用于四变量以下函数的化简。

一、代数化简法与卡诺图化简法的特点

n个变量有2n种组合，可对应写出2n个乘积项，这些乘积项均具有下列特点：包含全部变量，且每个变量在该乘积项中(以原变量或反变量)只出现一次。这样的乘积项称为这n个变量的最小项，也称为n变量逻辑函数的最小项。1.

最小项的定义和编号

(一)最小项的概念与性质二、最小项与卡诺图最小项是一个特殊的乘积项。如何编号？如何根据输入变量组合写出相应最小项？例如

3变量逻辑函数的最小项有

23=8个将输入变量取值为1的代以原变量，取值为0的代以反变量，则得相应最小项。

简记符号例如

1015m5m44100ABC111110101100011010001000最小项ABCm7m6m5m4m3m2m1m0输入组合对应的十进制数765432102.

最小项的基本性质

(1)

对任意一最小项，只有一组变量取值使它的值为

1，

而其余各种变量取值均使其值为

0。三变量最小项表110000000111101000000110100100000101100010000100100001000011100000100010100000010001100000001000ABCm7m6m5m4m3m2m1m0ABC(2)

不同的最小项，使其值为

1的那组变量取值也不同。(3)

对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为

0。(4)

对于变量的任一组取值，全体最小项的和为

1。

例如ABC+ABC=AB3.

相邻最小项

两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，称为相邻最小项，简称相邻项。例如

三变量最小项

ABC

和

ABC

相邻最小项重要特点：两个相邻最小项相加可合并为一项，

消去互反变量，化简为相同变量相与。

(二)

最小项的卡诺图表示将n变量的2n个最小项用2n个小方格表示，

并且使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻，这样排列得到的方格图称为n变量最小项卡诺图，

简称为变量卡诺图。卡诺图是一个特定的方格图，图中每个小方格代表了逻辑函数的一个最小项，而且任意两个相临小方格所代表的最小项只有一个变量不同。变量取0的代以反变量取1的代以原变量AB二变量卡诺图0101000110110001AB0101m0m1m2m30123ABAAB

BABABABAB四变量卡诺图01

3

245

7

61213

15

14891110三变量卡诺图ABC01000111

10

m6m7m4m2m3000m0m5001m16

7

5

4

2

3

1

0ABCD00011110000111

10以循环码排列以保证相邻性变量取0的代以反变量取1的代以原变量ABCD00011110000111

1001

3

245

7

61213

15

14891110ABCD相邻项在几何位置上也相邻卡诺图特点：循环相邻性同一列最上与最下方格相邻同一行最左与最右方格相邻板书如何写出卡诺图方格对应的最小项？

已知最小项如何找相应小方格？

例如

原变量取1，反变量取0。1001？ABCD0001111000011110

为了用卡诺图表示逻辑函数，通常需要先求得真值表或者标准与-

或式或者与-

或表达式。因此，下面先介绍标准与-

或式。任何形式的逻辑式都可以转化为标准与-或式，而且逻辑函数的标准与

-

或式是唯一的。

(一)

逻辑函数的标准与

-

或式三、用卡诺图表示逻辑函数每一个与项都是最小项的与

-

或逻辑式称为标准与

-

或式，又称最小项表达式。

如何将逻辑式转化为标准与-或式呢

？

[例]

将逻辑式化为标准与或式。(3)

利用A+A=A，合并掉相同的最小项。0000m00001m11100m121101m131111m15=m0+m1+m12+m13+m15=∑m(0,1,12,13,15)解：(1)

利用摩根定律和分配律把逻辑函数式展开为与或式。AB+(2)

利用配项法化为标准与或式。

(二)

用卡诺图表示逻辑函数

(1)

求逻辑函数真值表或者标准与-

或式或者与-

或式。

(2)

画出变量卡诺图。

(3)

根据真值表或标准与

-

或式或与

-

或式填图。基本步骤用卡诺图表示逻辑函数举例

已知标准与或式画函数卡诺图

[例]

试画出函数Y=∑m(0,1,12,13,15)的卡诺图解：(1)

画出四变量卡诺图(2)

填图逻辑式中的最小项m0、m1、m12、m13、m15

对应的方格填1，其余不填。ABCD0001111000011110

0

1324576

12

13

151489

11

10

11

111

已知真值表画函数卡诺图[例]

已知逻辑函数Y的真值表如下，试画出Y的卡诺图。解：(1)

画3变量卡诺图。ABCY00010010010101101001101011011110ABC0100011110

6

7

5

4

2

3

1

0m0m2m4m6

1

1

1

1(2)找出真值表中Y=1

对应的最小项，在卡诺图相应方格中填1，其余不填。四、用卡诺图化简逻辑函数

化简规律

2

个相邻最小项有

1个变量相异，相加可以消去这

1个变量，化简结果为相同变量的与；

4个相邻最小项有2个变量相异，相加可以消去这2个变量，化简结果为相同变量的与；

8个相邻最小项有3个变量相异，相加可以消去这3个变量，化简结果为相同变量的与；……

2n个相邻最小项有

n个变量相异，相加可以消去这

n个变量，化简结果为相同变量的与。消异存同

ABCD000111100001111011例如

2个相邻项合并消去

1个变量，化简结果为相同变量相与。ABCD+ABCD=ABDABCD000111100001111011例如

2个相邻项合并消去

1个变量，化简结果为相同变量相与。ABCD+ABCD=ABDABCD0001111000011110例如1111ABCD+ABCD+ABCD+ABCD=ACD+ACD=AD

4个相邻项合并消去2个变量，化简结果为相同变量相与。8个相邻项合并消去3个变量A11111

111已知一般表达式画函数卡诺图解：(1)

将逻辑式转化为与或式(2)

作变量卡诺图找出各与项所对应的最小项方格填1，其余不填。

[例]已知，试画出Y的卡诺图。AB+ABCD0001111000011110(3)

根据与或式填图

11111111

1

1

AB对应最小项为同时满足A=1，

B=1的方格。BCD对应最小项为同时满足B=1，C=0，D=1的方格AD对应最小项为同时满足A=0，D=1的方格。画包围圈规则（1）包围圈必须包含2n个相邻1方格，且必须成方形。先圈小再圈大，圈越大越是好；（2）1方格可重复圈，但须每圈有新1；（3）每个“1”格须圈到，孤立项也不能掉。同一列最上边和最下边循环相邻，可画圈；同一行最左边和最右边循环相邻，可画圈；四个角上的1方格也循环相邻，可画圈。注意ABCD+ABCD+ABCD+ABCD卡诺

图化

简法

步骤画函数卡诺图将各圈分别化简对填1的相邻最小项方格画包围圈

将各圈化简结果逻辑加

m15

m9

m7

m6

m5

m4

m2

m0解：(1)画变量卡诺图[例]用卡诺图化简逻辑函数

Y(A,B,C,D)=∑m(0,2,4,5,6,7,9,15)ABCD0001111000011110(2)填卡诺图11111111(3)画包围圈abcd(4)将各图分别化简圈2个可消去

1个变量，化简为3个相同变量相与。Yb=BCD圈4个可消去

2个变量，化简为2个相同变量相与。孤立项Ya=ABCDYc=

AB循环相邻

Yd=

AD(5)将各图化简结果逻辑加，得最简与或式解：(1)画变量卡诺图[例]用卡诺图化简逻辑函数

Y(A,B,C,D)=∑m(0,2,5,7,8,10,12,14,15)ABCD0001111000011110(2)填卡诺图11111111(4)求最简与或式

Y=1消1个剩3个(3)画圈消2个剩2个

4个角上的最小项循环相邻找

AB

=11,C

=

1

的公共区域找

A

=

1,

CD

=

01

的公共区域找

B

=

1,

D

=

1

的公共区域解：(1)画变量卡诺图ABCD0001111000011110(2)填图11(4)化简(3)画圈[例]用卡诺图化简逻辑函数0011m30100m411111111要画吗？Y=补充内容:A:可以通过合并卡诺图中的0得到/Y的最简与或式,再得到Y.[例]已知某逻辑函数的卡诺图如下所示，试写出其最简与或式。ABCD000111100001111011

1

111

1

1110

011

1

1解：

0方格很少且为相邻项，故用圈0法先求Y的最简与或式。1111111111合并1得到：合并0的两种情况：（1）当0的数目远远少于1的数目时；（2）需要将函数化简为最简与-或非式，或者或非-或非表达式。ABCD000111100001111010

0

110

0

1111

110

0

1圈1：圈0：B:有些情况下,同一逻辑函数的最简函数式不是唯一的.[例]已知函数真值表如下，试用卡诺图法求其最简与或式。ABCY00010011010001111001101011011111注意：该卡诺图还有其他画圈法可见，最简结果未必唯一。解：(1)画函数卡诺图ABC01000111

101

1

1

1

1

1(3)化简(2)画圈Y=1

1

1

1

1

1ABC0100011110约束项和随意项都不会在逻辑函数中出现，所对应函数值视为1或0都可以，故称无关项。

不允许出现的无关项又称约束项；客观上不会出现的无关项又称随意项。

五、具有无关项的逻辑函数的化简

1.

无关项的概念与表示无关项是特殊的最小项，这种最小项所对应的变量取值组合或者不允许出现或者根本不会出现。

例如8421码中，1010~1111这6种代码是不允许出现的。例如A、B

为连动互锁开关，设开为

1

,

关为

0,

则

AB

只能取值

01

或

10

,

不会出现

00

或11。有三个逻辑变量A、B、C，它们分别表示一台电动机的正转、反转和停止命令，A=1表示正转，B=1表示反转，C=1表示停止。ABC的取值只可能是001、010、100中的某一种，而不能是000、011、101、110、111中的任何一种。因此ABC是一组具有约束的变量。上面的约束条件可以表示为或者无关项在卡诺图和真值表中用“”“”来标记，在逻辑式中则用字母d和相应的编号表示。

2.

利用无关项化简逻辑函数无关项的取值对逻辑函数值没有影响。化简时应视需要将无关项方格看作

1或

0，使包围圈最少而且最大，从而使结果最简。合理利用无关项可使逻辑式更简单将d10看成0,其余×看成1

将×看成0

ABCD00011110000111

1011

1111×××××××显然左图化简结果最简

解：(1)画变量卡诺图[例]用卡诺图化简函数

Y=∑m(0,1,4,6,9,13)+∑d(2,3,5,7,10,11,15)ABCD00011110000111

10(2)填图11111(4)写出最简与

-

或式最小项(3)画包围圈无关项1×××××××

0×[例]已知函数

Y的真值

表如下，求其最简

与

-

或式。ABCY000100110100011×1000101111001110解：(1)画变量卡诺图ABC0100011110

×

1

1

1(4)写出最简与

-

或式(2)填图(3)画包围圈

×要画圈吗？解：(1)画变量卡诺图ABCD0001111000011110(2)填图(4)求最简与-

或式(3)画包围圈1111求最简与非式基本方法是：先求最简与或式，再利用还原律和摩根定律变换为最简与非式。[例]求函数的最简与非式11××××××××(5)求最简与非式分析题意称约束条件，表明与项AB和AC对应的最小项不允许出现，因此

AB和AC对应的方格为无关项。本章小结数字电路是传递和处理数字信号的电子电路。它有分立元件电路和集成电路两大类，数字集成电路发展很快，目前多采用中大规模以上的集成电路。数字电路的主要优点是便于高度集成化、工作可靠性高、抗干扰能力强和保密性好等。

数字电路中的信号只有高电平和低电平两个取值，通常用

1表示高电平，用

0表示低电平，正好与二进制数中

0和

1对应，因此，数字电路中主要采用二进制。常用的计数进制有